주파수 응답을 통한 휠름 캐스팅 공정의 안정성 분석

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

이주성, 정현욱, 현재천

고려대학교 화공생명공학과

Stability Analysis of Film Casting Process Using Frequency Response

Joo Sung Lee, Hyun Wook Jung, Jae Chun Hyun

Department of Chemical and Biological Engineering, Korea University

서론

훨름 캐스팅(film casting) 공정은 고분자 휠름을 제조하거나 금속판을 제조하는 공정으로 고분자 용융체가 슬릿다이(slit die)를 통하여 용융 압출되고 압출 속도보다 큰 속도로 회전하는 chill roll에 의해 신장변형이 유도되며 이후 급격히 냉각되고, 고형화되어 휠름을 생산되어지는 과정으로 이루어져 있다. 이러한 연신 과정을 통하여 고분자의 분자 배향이 증진되어 제품의 기계적 물성이 향상시킬 수 있으며, 궁극적으로는 소비자가 원하는 물성을 가지는 제품의 생산을 가능하게 할 수 있다. 그러나 이러한 휠름 캐스팅 공정에서도 방사공정과 마찬가지로 임계연신비 이상에서 휠름의 두께와 폭이 일정한 주기와 진폭으로 지속적으로 진동하는, 연신공명(draw resonance) 현상이라고 불리는 독특한 불안정성이 관찰되어지며, 높은 치수 안정성을 요구하는 제품을 연속적으로 생산하는 휠름 캐스팅 공정에서는 그 중요성이 배가된다[1].

공정에서의 안정성 문제는 제품의 품질 향상과 생산성 향상에 직결되는 문제로 그 중요성이 대두된다. 공정에 대한 안정성을 이론적으로 조사하기 위하여 계에 미소 외란을 도입하고 이 외란이 시간에 따라 증폭 혹은 소멸하는 것을 고유치(eigenvalue)의 부호로 판별하는 선형 안정성 분석을 도입하여 계산하는 방법이 널리 사용되고 있다. 그렇지만 이 선형안정성 분석은 비교적 간단하게 안정성 영역을 파악할 수 있지만, 공정의 물리적 현상의 이해하기에는 한계가 있다.

공정의 민감도 분석은 일정한 주파수를 가지는 sinusoidal한 미세 외란에 대한 선형화 계의 응답을 고찰하는 방법인 주파수 응답(frequency response)에 의해 수행되어질 수 있다. 이 경우 주어진 공정 조건 하에서 휠름의 단면적과 같은 최종 변수의 진폭이나 gain의 거동 역시 외란에 대해 sinusoidal한 변화를 나타냄으로써 Bode plot 혹은 Nyquist plot과 같은 공정의 선형 동특성을 고찰할 수 있다[2-5].

본 연구에서는 신장 변형 공정 중 하나인 휠름 캐스팅 공정을 대상으로 한 주파수 응답을 통하여 공정의 민감도를 분석하며, 또한 이를 확장하여 선형 안정성 분석과 비선형계의 과도응답과 비교해 봄으로써 공정의 안정성을 분석할 수 있는 방법을 제시하고자 한다.

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

본론

그림 1과 같은 등온 휠름 캐스팅 공정을 모사하기 위하기 위한 지배방정식은 Silagy 등 [6]이 제시한 모델을 사용하였다. 또한, 구성방정식으로는 신장유동을 가장 효과적으로 모사할 수 있는 Phan-Thien-Tanner 모델을 사용하였으며, 무차원 수를 이용하면 다음과 같은 지배방정식으로 정리될 수 있다.

연속식: [eqn: {partial (ew)} over {partial t} `+` {partial (ewv)} over {partial x} `=` 0]	(1)

운동식: [eqn: {partial [ ( tau sub xx - tau sub zz )e w ] } over {partial x} `=` 0]	(2)

구성방정식: [eqn: K bold tau `+` De left [{partial bold tau} over {partial t} `+` under DEL cdot under v `-` bold L cdot bold tau `-` bold tau cdot bold L sup T right ] `=` 2 bold D]	(3)

여기서, [eqn: K `=` exp (epsilon `De` rm tr bold tau ), it ~~ bold L `=` under DEL v `-` xi bold D , ~~ 2 bold D `=` [ under DEL `under v + under DEL `under v sup T ]]

계면응력조건: [eqn: sigma sub xx left ( {partial w} over {partial x} right ) sup 2 `=` A sub r sup 2 sigma sub yy]	(4)

경계조건:  [eqn: e`=`e sub 0 `=`1,~ w`=`w sub 0 `=`1,~ v`=`v sub 0 = 1 ~~~rm at~ it x`=`0 rm {~~ for`` all`` t}]

[eqn: v`=`v sub L `=` r ~~~rm at~ it x`=`1 rm {~~ for`` all`` t}]	(5)

여기서, e=무차원 휠름 두께, w=무차원 휠름 폭, v=무차원 거리 방향 속도, □=휠름의 무차원 거리 방향 응력 텐서, □xx=휠름의 무차원 거리 방향 전체 응력, □yy=휠름의 무차원 폭 방향 전체 응력, x=무차원 거리, t=무차원 시간, □,□=PTT 모델의 parameters, Ar=(L/W0) =aspect ratio를 각각 나타내며, 하첨자 0와 L은 각각 다이와 권취점을 의미한다.

이 때, 주파수 응답을 살펴보기 위하여 외란을 도입하고 선형화 한 후 이를 차분화 하면 다음과 같은 식(6)의 형태로 표현할 수 있는 복소 형태의 최종 지배방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: ( i omega bold M `-` bold J ) under k `=` under F]	(6)

여기서 □는 주파수, J는 정상상태에서의 Jacobian matrix, M은 Mass matrix, F는 forcing factor, k는 복소해 vector이다.

이 지배방정식을 계산하기 위하여 정해진 주파수에 대해 외란을 도입해 주게 되는데, 주파수 응답은 외란의 종류에 관계없이 일정한 경향을 나타내므로[7], 본 논문에서는 권취 속도를 변화시키는 방법으로 계산을 수행하였으며, die에서 경계조건이 나타나 있지 않은 응력을 shooting하는 방법으로 chill roll에서의 속도 경계조건을 만족시킬 수 있었다.

결과 및 토의

주파수 분석은 다양한 유형의 외란의 전파와 크기를 넓은 범위의 공정변수에 대해 살펴볼 수 있으며, 외란의 크기가 확대될 수 있는 민감한 조업 조건 범위를 규정할 수 있으며, sinusoidal한 외란에 대한 최종 응답 정보를 제공한다. 그림 2에 보인 바와 같이, 여러 외란들에 대해서 계산된 주파수 응답은 hyperbolic 계의 공명 peak 구조 특성을 나타낸다. 유량에 직접적인 영향을 주는 외란에 대해 낮은 주파수 영역에서는 gain은 1로 나타내어지며, 이는 sine파의 진동이 주파수가 0으로 가는 극한에서 단계함수가 됨을 의미한다. 이와 달리 물질수지 변화에 영향을 주지 않는 다른 외란들에 대해서는 낮은 주파수의 gain은 0이 된다. 또한 주파수가 증가함에 따라 응답의 크기는 점차적으로 증가하여 최대치를 나타내며 진동하는 경향을 보이는데, 주파수 응답 관점에서 이 첫 번째 최대치의 크기를 확인함으로써 공정의 민감도를 나타낼 수 있다. 이 때, 각 peak의 위치는 연신공명의 진동 주기(T)의 정수배가 되며, 첫 번째 peak의 위치는 2□/T값과 일치한다. 또한, 첫 번째 peak 최대치는 선형안정성 분석에서 얻어지는 leading eigenmode의 허수 값과 일치하므로 공정의 안정성 측면에서도 유의미하다고 할 수 있다[6]. 이와 같은 주파수 응답의 경향은 휠름 캐스팅 공정의 각 공정변수에서도 동일하게 나타나며, 이후의 분석에서는 휠름의 면적을 살펴봄으로써 다른 공정 변수를 대표하고자 한다.

그림 3(a)에 보이듯이 Newton 유체를 이용한 휠름 캐스팅 공정의 선형 안정성 분석 결과에서 다이의 폭과 chill roll까지의 거리의 비를 나타내는 aspect ratio가 증가함에 따라 공정의 안정성이 개선되다가 일정한 지점(Ar=1.5)을 지나면서 다시 점차적으로 불안정해 지는 거동을 확인할 수 있다. 또한, 이와 같은 결과는 (b)의 비선형 계에서의 과도 응답(transient response) 분석 결과를 통해서 확인할 수 있다[8]. 이 경우 역시 선형 안정성 분석 결과와 마찬가지로 aspect ratio가 1.5인 지점에서 외란이 급격하게 소멸되며 이보다 작은 값이나 큰 값을 가지는 경우에는 외란이 증폭되어 연신공명을 나타냄을 볼 수 있다. 이와 같은 거동을 주파수 응답 입장에서 분석하면 (c)와 같은 결과를 얻을 수 있으며, 이를 통하여 aspect ratio가 증가함에 따라 공정의 민감도를 나타내는 첫 번째 최대 gain 값이 감소하다가 선형 안정성 분석 결과와 같은 지점에서 역전되는 결과를 보일 수 있으며, 이로부터 민감도 분석 결과가 안정성 분석 결과를 효과적으로 대변하고 있음을 알 수 있다.

이상의 결과를 확장하여 유체의 점탄성을 나타낼 수 있는 Phan-Thien-Tanner 모델에 대하여 적용하였을 때 역시 Newton 유체의 경우와 비슷한 거동을 보임을 알 수 있었으며, 과도응답의 결과 역시 이를 효과적으로 뒷받침 해 주고 있다. 또한, 안정성이 역전되는 aspect ratio는 Deborah 수로 표현되는 유체의 점탄성도가 증가하면서 점차적으로 증가하는 경향을 보임을 확인할 수 있다.(그림 4).

결론

본 논문에서는 Newton 유체 및 PTT 유체를 이용하여 휠름 캐스팅 공정에서의 주파수 응답에 대한 분석을 수행하였으며, 이를 통하여 aspect ratio에 따른 공정의 민감도를 나타낼 수 있었다. Newton 유체의 경우 aspect ratio가 1.5인 지점에서 첫 번째 최대 gain 값이 최소로 나타나고, 이보다 작거나 큰 aspect ratio를 가지는 경우에는 gain이 증가하는 경향을 나타내었다. PTT 유체의 경우 역시 Newton 유체와 비슷한 거동을 보이는 낮은 Deborah 수에서는 aspect ratio가 1.5인 지점을 기준으로 민감도의 변화를 보였지만, 유체의 점탄성도가 증가할수록 - Deborah 수가 증가할수록 - 그 지점은 점차적으로 커지는 경향을 나타냄을 확인할 수 있었다.

또한, 동일한 지배방정식을 이용한 선형 안정성 분석과 비선형 과도 응답 결과를 주파수 응답을 통한 공정의 민감도와 비교함으로써 민감도 분석 결과를 공정의 안정성과 연결 지을 수 있음을 확인하였으며, 이를 통하여 보다 간단한 방법으로 공정의 안정성을 예측할 수 있었다.

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

참고문헌

1. Larson, R.G.: Rheol. Acta, 31, 213 (1992).

2. Kase, S.: J. Appl. Polym. Sci., 18, 3279 (1974).

3. Kase, S., and M. Araki: J. Appl. Polym Sci., 27, 4439 (1982).

4. Devereux, B.M., and M.M. Denn: Ind. Eng. Chem. Res., 33, 2384 (1994).

5. Devereux, B.M.: Ph.D. Thesis, Univ. of California, Berkeley (1994).

6. Silagy, D, Y. Demay, and J.-F. Agassant: Polym. Eng. Sci., 36, 2614 (1996).

7. Jung, H.W., L.E. Scriven, and J.C. Hyun: Proceedings of the 2nd Annual Meeting of the Applied Rheology Center, 31 (2002).

8. Lee, J.S., H.W. Jung, K.-Y. Lee, and J.C. Hyun: J. Non-Newtonian Fluid Mech., 101, 43 (2001).

Fig. 1. Schematics of film casting process	Fig. 2. Frequency response of various process variables for isothermal PTT film casting process

(a)	(b)	(c)

Fig. 3. Comparison of the methods to analyze the process stability for Newtonian fluid (a) linear stability analysis, (b) transient response at r=32, and (c) frequency response at r=32

Fig. 4. Effect of aspect ratio on stability for PTT fluid (□=0.015, □=0.1 and r=30)