회분식 공정과 회분식 증류공정을 복합한 다목적공정에서의 공정운용전략 모델개발

하진국, 이의수

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

동국대학교 화학공학과

Optimal Operations of Multi-purpose Plants with batch distillation

for the Manufacturing of Fine Chemical Products

Jin-Kuk Ha, Euy Soo Lee

Department of chemical engineering, Dongguk University

서론

정밀화학 제품들의 생산은 대부분 엄격한 품질 수준을 요구하는 고부가가치 제품들로써 소량생산을 특징으로한다. 이를 위하여는 엄밀한 규격의 원료 확보 및 고도의 제품 품질관리가 요구된다. 따라서 정밀화학제품 생산공정에서 회분식 정밀 증류공정이 중요한 공정 요소 중의 하나로 부각되고있다. 이에 따라 본 연구에서는 이들 단위공정의 해석과 운용전략을 마련하고 그 결과를 반응기 및 단순 분리기, 저장조로 구성되는 기초적인 회분식 공정구조에 접목시킴으로써 통합화된 회분식 공정의 설계 및 운용모델을 개발하고자 한다. 본 연구에서는 우선 회분식 증류공정의 공정변수를 회분공정의 생산계획모델에 통합시키기 위한 표현방법을 개발하였으며, 이를 근거로 회분식 증류공정이 포함된 다목적 회분식 공정에서의 최소생산시간을 위한 조업순서를 결정하는 MILP 모델을 개발하였다.

본론

회분식 증류 공정은 하나의 장치에서 소량의 다양한 제품을 생산해 내는 것을 목적으로하고 있다. 따라서 공정의 운용과 관련한 다양한 변수가 존재하며, 이들 변수간에도 강한 상관 관계가 존재한다. 우선 고려될 수 있는 문제는 원료로부터 제품의 분리순서(separation sequence)를 결정, 또한 회분식 증류 탑으로부터 제품을 분리할 경우, 일차적으로 고려되는 공정 운용의 문제는 제품생산 시간을 최소화하거나(minimum time) 규격에 맞는 제품을 최대한 분리하는 문제(maximum distillate)이다. 이들 문제를 달성하기 위하여 주로 환류비 정책(reflux ratio policy)이 공정운용 변수로 도입되고 있다. 이외에도 공정운용전략과 관련하여 생산제품 및 중간증류제품(cut waste)의 생산계획을 결정하기 위한 체계적이 모델의 개발이 요구된다. 이와 관련하여 중간증류제품의 처리 전략이 함께 고려되어야 한다. 본 연구에서는 회분식 증류 공정이 제품의 분리순서 및 환류비 정책이 최적의 해를 가지고 있으며, 또한 중간증류제품의 처리 방안으로 일정한 시간이후에 재순환하여 다시 회분식 증류공정을 거치는 회분식 증류공정을 대상으로 회분식 증류공정이 포함된 다목적 회분식 공정에서의 최소생산시간을 위한 조업순서를 결정하는 혼합정수선형계획법(MILP) 모델을 개발하였다. 본 연구에서는 혼합생산방식(mixed product campaign, MPC)을 고려한 순차적 다목적 회분식 공정의 일정 계획을 위한 수학적 모델을 제안하였다. 이 모델의 조업 순서를 결정하기 위하여 time slot의 개념을 도입하였다, 즉, 필요한 제품의 수만큼의 time slot이 있다. 조업순서를 결정하기 위해 time slot의 개념의 도입은 순차 다목적 회분식 공정의 일정계획을 single machine 문제로 표현할 수 있으며, 회분식 증류 공정을 포함하는 다목적 회분식 공정의 복잡한 생산계획을 보다 쉽게 풀 수가 있다.

Time slot 모델 적용을 위한 회분식 증류공정의 해석

회분식 증류공정을 time slot 모델을 적용하기 위해서는 복잡한 해석을 요구한다. 그림 1에서와 같이 회분식 증류공정이 2성분계 생산공정이면, 원료(P1)이 회분식 증류공정을 거치면 새로운 제품 P2, P3 및 중간증류제품(cut waste) P4를 생산한다. 그리고 회분식 증류공정에서 생산된 제품 P2와 P3는 다음 제품생산경로 단위공정으로 이동하여 최종제품으로 생산될 것이다. 또한 중간증류제품(cut waste) P4는 일정시간 또는 일정용량이 되면, 재순환원료로 다시 회분식 증류공정을 거쳐서 제품 P4와 P5을 생산한다. 제품 P4와 P5는 제품 P2와 P3과 같은 제품이며, 같은 제품생산경로로 다음 단위공정으로 이동할 것이다. 특히, 원료 제품 P1과 중간증류제품(cut waste) P4는 회분식 증류공정 만을 거치는 제품이며, 제품의 yield는 제로(zero)인 제품이다.

그림 1. 다목적 회분식공정에서의 회분식 증류공정의 해석

다목적 회분식 공정의 생산계획에 있어서 조업순서를 결정하기 위해서는 전체 생산공정에서 모든 제품은 제품의 생산경로 즉 time slot k 에 할당되기 위해서는 항상 제품이 첫 단위공정으로 이동할 준비가 되어있어야 한다. 그러나, 위에서 알아본 바와 같이 제품 P2와 P3는 제품 P1이 회분식 증류공정을 거친 이후에 생산되는 제품이다. 또한 제품 P5와 P6 역시 제품 P4가 회분식 증류공정을 거친 이후에 생산되는 제품이다. 그리고, 중간증류제품(cut waste) P4 역시 제품 P1(원료제품)이 회분식 증류 공정을 거친 이후에 생산되는 제품이다. 따라서, 제품 P2, P3, P5와 P6의 제품생산경로의 첫 단위공정이 비워져 있어도 제품 P1과 제품P4가 회분식 증류공정을 거친 이후에 제품 P2, P3, P5와 P6가 생산되어야 각 제품의 첫 단위공정에서 공정을 시작할 수 있다. 따라서 제품 P2, P3, P4, P5와 P6이 항상 제품생산경로의 첫 단위공정에서 조업을 할 수 있도록 준비되게 하는 제약 조건은 다음과 같다.

1) 제품 P2 와 P3 의 time slot k 에 할당 순서는 제품 P1의 time slot k 보다 항상 뒤에 할당받아야한다.

2) 제품 P4 의 time slot k 에 할당 순서는 제품 P1의 time slot k 보다 항상 뒤에 할당받아야 한다.

3) 제품 P5 와 P6 의 time slot k 에 할당 순서는 제품 P4의 time slot k 보다 항상 뒤에 할당받아야 한다.

4) 제품 P5 와 P6 의 time slot k 에 할당 순서는 제품 P2와 P3의 time slot k 보다 항상 뒤에 할당받아야 한다.

위 제약조건 1)∼4)를 만족하는 새로운 이진변수 [eqn: X_ik] 의 제한 조건식 다음과 같다.

[eqn: X_{i,k^' }~ + SUM from {i^' IN S_i } X_{i^' ,k} ~<= ~1]     [eqn: FORALL ~i IN I_s ~,~k~, ~k^' IN K-"{"bark -1 "}",~ k^' <k]

여기서, [eqn: S_i] 와[eqn: I_s]는 제품의 집합을 의미한다. 제약조건 1)∼4)를 예를 들어 보면 다음과 같다. 제약조건에 관련되는 제품들을 각각 time slot k에 할당에 관련된 제품쌍으로 표시하면 (P1, P2), (P1, P3), (P1, P4), (P4, P5), (P4, P6), (P2, P5), (P2, P6), (P3, P5), (P3, P6)로 표시할 수 있다. 그리고, [eqn: I_s]는 제품쌍에서 time slot k 에 먼저 할당을 받아야 하는 제품의 집합을 의미하며, 위 제약조건에서의 [eqn: I_s] = {P1, P2, P3, P4}로 정의된다. 그리고 [eqn: S_i]는 [eqn: I_s] 제품집합의 각각의 제품의 time slot k 보다 뒤에 할당 받아야 하는 제품들의 집합을 의미한다. 즉 [eqn: S_i]=[eqn: S_P1]={P2, P3, P4}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P2]= {P5, P6}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P3]={P5, P6}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P4]={P5, P6}가 된다. [eqn: bark]는 마지막 time slot을 뜻한다.

회분식 증류공정을 포함한 회분식 공정 일정계획 모델

본 연구에서는 회분식 증류공정을 포함한 순차적 다목적 회분식 공정의 일정계획을 위한 MILP의 수학적 모델을 개발하였다. 본 모델에서 채택한 가정은 다음과 같다.

1) 혼합생산방식(mixed product campaign, MPC)에서 순차적 다목적 회분식 공정을 가정한다.

2) 중간저장조의 운영방안은 UIS 정책이다.

3) 최소의 총작업소요시간을 가진 조업 순서는 time slot으로 결정된다.

4) 각각의 생산제품을 위한 특정한 제품 생산 경로의 선택은 time slot으로 결정된다.

5) 회분식 증류공정은 2성분계 공정이다.

6) 중간증류제품(cut waste, P4)은 원료제품(P1)의 one batch 후에 재순환된다.

공정순서 결정을 위한 각각의 제품들이 time slot k에 할당을 위한 이진변수 [eqn: X_ik]는 다음의 제한 조건을 만족해야 한다.

[eqn: SUM from { k IN K } ~ X_ik ~ =~ n_i]         [eqn: FORALL ~i ~IN ~I]

[eqn: SUM from { i IN I } ~ X_ik ~ =~ 1]           [eqn: FORALL ~k ~IN ~K]

[eqn: X_{i,k^' }~ + SUM from {i^' IN S_i } X_{i^' ,k} ~<= ~1]   [eqn: FORALL ~i IN I_s ~,~k, ~k^' IN K-"{"bark -1 "}",~ k^' <k]

여기서, K 는 time slot k의 집합, I 는 제품들의 집합, [eqn: n_i] 는 제품 i 의 batches의 횟수,  [eqn: S_i] 와[eqn: I_s]는 제품의 집합, . [eqn: bark]는 마지막 time slot 이다. 또한 이진변수 [eqn: X_ik] 는 다음과 같이 정의한다.

[eqn: X_ik]  = 1 제품 i 가 time slot k 위치에 있을 때

0 그렇지 않을 때

Time slot k에 있는 단위공정 j를 위한 시작시간 [eqn: Ts_kj] 와 끝나는 시간 [eqn: Te_kj] 및 주어진 제품생산경로에 포함된 연속적인 단위공정 [eqn: j]와 [eqn: j^'] 사이의 시간 그리고 연속적인 time slot 사이의 [eqn: k] 와 [eqn: k+1]의 관계를 나타낸 식들은 아래 식들과 같다.

[eqn: Te_kj ~- ~Ts_kj ~=~ SUM from { i IN I } X_ik P_ij]           [eqn: FORALL ~k IN K~,~j IN J]                         (1)

[eqn: Ts_{k j^' }~-~Te_kj~ >= ~-U(1- SUM from {i IN I }X_ik )]     [eqn: FORALL ~k IN K~,~j IN J-"{"barj "}"~,~barj >j]               (2)

[eqn: Ts_{k+1,j}~-~Te_kj~ >= ~0]                [eqn: FORALL ~k IN K-"{"bark "}"~,~j IN J]                    (3)

Object function : [eqn: min~MS~ >= Te_{bark j}]      [eqn: FORALL ~j IN J]                                (4)

[eqn: SUM from { k IN K } ~ X_ik ~ =~ n_i]         [eqn: FORALL ~i ~IN ~I]                                            (5)

[eqn: SUM from { i IN I } ~ X_ik ~ =~ 1]          [eqn: FORALL ~k ~IN ~K]                                           (6)

[eqn: X_{i,k^' }~ + SUM from {i^' IN S_i } X_{i^' ,k} ~<= ~1]     [eqn: FORALL ~i IN I_s ~,~k, ~k^' IN K-"{"bark -1 "}",~ k^' <k]                  (7)

여기서 [eqn: P_ij] 는 단위공정 j에서 제품 i 의 공정시간, [eqn: U]는 상한값으로 충분히 큰 양의 값을 가지며, [eqn: barj] 는 전체생산공정의 마지막 단위공정을 뜻한다.

적용예제

회분식 증류공정을 포함하는 순차적 다목적 회분식 공정은 총 단위공정이 5 units이 있으며, 8개의 제품을 생산하는 공정이다. 회분식 증류공정은 첫 단위공정에 위치하며, 2성분계 공정이다. 각각의 제품들에 대한 제품생산경로와 생산경로의 각 단위공정에서의 생산시간은 표 1과 같다. 제품 P2, P3와 P4는 제품 P1이 회분식 증류공정을 통해 생산되는 제품들이며, 제품 P4는 회분식 증류공정으로 재순환되는 제품으로 회분식 증류공정을 거쳐 제품 P5와 P6를 생산한다. 여기서 주목해야 할 것은 제품 P1과 P4는 회분식 증류공정을 거치면 제품 yield가 제로(zero)이다. 제품 P1∼P6은 one batch 공정이며, 제품 P7과 P8은 two batches 공정을 한다. 따라서, 본 예제를 이진변수의 제약조건에 적용하면, [eqn: K]= 10, [eqn: n_i] = 10 이다. 제약조건에 관련되는 제품들을 각각 time slot k에 할당에 관련된 제품쌍으로 표시하면 (P1, P2), (P1, P3), (P1, P4), (P4, P5), (P4, P6), (P2, P5), (P2, P6), (P3, P5), (P3, P6)로 표시되며, [eqn: I_s] = {P1, P2, P3, P4}로 정의된다.

표 1. Date for example

제품 unit	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7	P8
unit 1	7			5
unit 2		4			4		4	5
unit 3		5	6		5	6	4
unit 4		5	4		5	4	3	4
unit 5			6			6		4

그리고 [eqn: S_i]는 [eqn: I_s] 제품집합의 각각의 제품의 time slot k 보다 뒤에 할당 받아야 하는 제품들의 집합을 의미하므로, [eqn: S_i]=[eqn: S_P1]={P2, P3, P4}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P2]= {P5, P6}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P3]={P5, P6}, [eqn: S_i]=[eqn: S_P4]={P5, P6}가 된다. 예제에 대한 최소생산시간을 위한 제품의 조업순서와 최소생산시간을 본 연구에서 개발한 MILP 모델식을 가지고 상용 최적화 프로그램 LINGO 6.0을 사용하여 최적해를 구하였다. 그림2 에서와 같이 제품의 최적조업순서는 P1-P8-P7-P4-P3-P8-P2-P7-P6-P5이며, 최소생산시간(MS)은 45시간이다.

그림 2. 최소생산시간을 위한 제품의 최적조업순서

결론 및 향후계획

회분식 증류공정의 운용전략이 전체 회분식 공정의 생산계획과 연계된 통합 생산계획을 위한 모델을 완성하기 위해서는 3단계의 과정을 거치게 된다. 즉 문제들의 표현방법, 평가방법 및 모델해석방법이다. 본 연구에서는 다목적 회분식 공정의 운용방안에서 순차적 다목적 회분식 공정에 대해서만 다루었으며, 회분식 증류공정이 포함된 다목적 회분식 공정에서의 최소생산시간을 위한 조업순서를 결정하는 혼합정수선형계획법(MILP) 모델을 제안하였다. 본 연구는 혼합생산방식(mixed product campaign, MPC)을 고려한 순차적 다목적 회분식 공정의 일정 계획을 위한 수학적 모델을 제안하였다. 향후 개발된 모델의 다양한 예제를 통해 수정 보완을 실시하며, 다양한 중간저장조 운영방안을 고려된 회분식 증류공정이 포함된 비순차 다목적 회분식 공정에 대한 표현방법에 대한 연구와 수학적 모델을 개발하여 보다 현장에 적용가능한 모델을 개발할 것이다.

감사

본 연구는 한국과학재단(1999-1-307-002-3)의 지원에 연구되었으며, 이에 감사드립니다.

참고문헌

1. Voudouris, V. T. and Grossmann, I. E.,□"MILP Model for Scheduling and Design of a Special Class of Multipurpose Batch Plants", Computers and Chem. Eng., 20(11), 1335 (1996).

2. Sungdeuk Moon and Andrew N. Hrymak, "Mixed-Integer Programming Model for Short-Term Scheduling of a Special Class of Multipurpose Batch Plants", Ind. Eng. Chem. Res., 38, 2144 (1999).

3. Schilling, G. and Pantelides, C. C., "Optimal Periodic Scheduling of Multipurpose Plants in the Continuous Time Domain", Computers and Chem. Eng., 21, 1191 (1997).

4. Omar J. Chiotti, Hector E. Salomone and Oscar A. Iribarren, "Selection Of Multicomponent Batch Distillation Sequences", Chem. Eng. Comm., 119, 1-21 (1993).