실시간 최적환류비 결정을 위한 회분식 증류공정 모델

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

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Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

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Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

이영상, 이의수

동국대학교 화학공학과

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

엄밀한 방법을 이용한 회분식 증류탑 모델

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

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화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

이영상, 이의수

동국대학교 화학공학과

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

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Batch Distillation Modeling using Rigorous Method

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Young-Sang Lee, Euy Soo Lee

Department of Chemical Engineering, Dongguk University

서 론

회분식 증류는 회분식 공정산업에 중요한 분리공정으로 널리 사용되고 있다. 최근에는 소량 고부가가치 제품 및 바이오 제품에 대한 필요성의 증가로 회분식 증류의 중요성이 더욱 부각되고 있다. 회분식 증류는 연속식 증류에 비해 장치의 효용성이 뛰어나고, 상대적으로 고순도의 제품을 적은 비용으로 생산할 수 있다. 이러한 장점을 가지고 있는 회분식 증류공정의 모델링 또한 많은 연구[]가 진행되어 왔다. 모델링은 크게 short-cut method 와 rigorous method로 구분된다. short-cut method로 모델링 할 경우 많은 가정들과 특히 에너지 수지를 고려하지 않기 때문에 그 절차 및 계산이 간편하다. 그러나 그 결과가 실제 현상과 차이가 크기 때문에 정확한 회분식 증류에 대한 결과를 얻을 수는 없다. 그에 비해 rigorous method는 에너지 수지를 비롯하여 short-cut method에서 가정 또는 무시한 것들을 모두 고려하여 그 결과의 정확성이 높다. 그러나 너무 많은 계산과정들로 인해 계산시간이 오래 걸린다는 단점이 있다. 그로 인해 rigorous method가 정확한 결과를 보여줌에도 불구하고 실제공정에서 real-time으로 제어하기에는 사용에 제약이 있다. 이에 본 연구에서는 two-point implicit method를 사용하여 모델의 계산시간을 줄이고자 하였으며, 개발된 모델의 신뢰성을 확인하기 위해 pentane(C5)-hexane(C6)-heptane(C7)-decane(C10) 사성분계에 대해서 모델을 적용하고, 상용프로그램인 PRO/II를 이용하여 그 결과를 검증하였다.

이 론

계산을 위해서는 먼저 각 단의 물질수지와 에너지 수지식을 정립하여야 한다. 물질수지와 에너지 수지식에 대한 각 단의 미분 방정식들의 해를 구하기 위해서는 N개의 단수를 가진 탑의 경우 (N+2)×(N+2)인 matrix를 풀어야 하는데 본 연구에서는 matrix를 쉽게 풀고 계산시간을 줄이기 위하여 matrix를 tridiagonal matrix 형태로 나타내는 two-point implicit를 이용하여 계산하였다. 식을 간단히 하기 위해 [eqn: rm U^V]는 [eqn: rm U^L]에 비해 상당히 적은 양이므로 무시하였으며 two-point implicit method를 이용하여 물질수지식을 다음과 같이 수정하였다.

Mass balance

[eqn: rm (v_j+1,i +l_j-1,i -v_j,i -l_j,i )+□(v_j+1,i^0 +l_j-1,i^0 -v_j,i^0 -l_j,i^0 )= {u_j,i } over {□□t }- {u_j,i^0 } over {□□t }]  (3-19)

j=1에서

Start up period (D=0)

[eqn: rm (v_2,i -l_1,i )+□(v_2,i^0 - l_1,i^0 )= {u_1,i } over {□□t } - {u_1,i^0 } over {□□t }]  3-20

Product period

[eqn: rm (v_2,i -l_1,i -d_i )+□(v_2,i^0 - l_1,i^0 -d_i^0 )= {u_1,i } over {□□t } - {u_1,i^0 } over {□□t }] (total condenser) 3-21

j=N에서

[eqn: rm (l_N-1,i -v_N,i )+□(l_N-1,i^0 -v_N,i^0 )= {u_N,i } over {□□t } -{u_N,i^0 } over {□□t }] 3-22

물질수지식의 [eqn: rm l_j,i]항을 없애기 위하여 기-액 평형식을 물질수지식과 같이 사용하여야 하는데 이 때 필요한 기-액 평형식은 다음과 같다.

[eqn: rm y_j,i =K_j,i x_j,i] 또는 [eqn: rm { v_j,i} over {V_j } =K_j,i { l_j,i} over {L_j }=K_j,i { u_j,i} over {U_j }]  3-10

식3-10 에 absorption factor [eqn: rm A_j,i]를 사용하면 [eqn: rm l_j,i]과 [eqn: rm v_j,i]사이에 다음과 같은 관계식이 나온다.

[eqn: rm l_j,i =A_j,i v_j,i] , [eqn: rm u_j,i = {U_j l_j,i } over {L_j }= {U_j } over {L_j }A_j,i v_j,i]  여기서 [eqn: rm A_j,i = {L_j } over {K_j,i V_j }]  3-11

식3-11을 식3-19, 식3-20, 식3-21 과 식3-22에 대입하여 [eqn: rm v_j,i]항으로 묶어 정리하면,

[eqn: rm A_j-1,i v_j-1,i -(1+A_j,i (1+ {U_j } over {L_j □□t}))v_j,i +v_j+1,i =-□(v_j+1,i^0 +l_j-1,i^0 -v_j,i^0 -l_j,i^0 )- {u_j,i^0 } over {□□t }]

3-23

j=1에서

Start up period

[eqn: rm v_2,i -A_l,i (1+ { U_1} over {L_1 □□t })v_1,i =-□(v_2,i^0 -l_1,i^0 )- {u_1,i^0 } over {□□t }] 3-24

Product period

[eqn: rm v_2,i -(1+A_l,i (1+ { U_1} over {L_1 □□t })v_1,i =-□(v_2,i^0 -l_1,i^0 -d_i^0 )- {u_1,i^0 } over {□□t }]  3-25

j=N

[eqn: rm A_N-1,i v_N-1,i -(1+ {U_N } over {V_N K_N,i □□t } )v_N,i =-□(l_N-1,i^0 -v_N,i^0 )- { u_N,i^0} over {□□t }] 3-26

식3-23, 3-24 , 3-25, 3-26을 연립하면 [eqn: rm v_j,i]에 대한 tridiagonal 형태의 matrix가 된며, 이를 풀면 [eqn: rm v_j,i]의 값이 나온다. 이때 Start up에서 [eqn: rm v_1,i =l_1,i] , Product에서 [eqn: rm v_1,i =d_i]이다.

[eqn: rm a_j v_j-1,i +b_j v_j,i +c_j v_j+1,i =d_j]

[eqn: rm BMATRIX { { b_1}& {c_1 }& {0 }&{...}&{0}&{0}# {a_2 }& {b_2 }& {c_2 }&{...}&{0}&{0}# {0 }& {a_3 }& {b_3 }&{...}&{0}&{0}# {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}# {0}&{0}&{0}&{...}&{a_N}&{b_N} } BMATRIX { {v_1,i }# {v_2,i }#{v_3,i }#{...}#{v_N,i} }= BMATRIX { {d_1 }# {d_2 }#{d_3 }#{...}#{d_N} }]  (i=1,2,...,c)

이렇게 계산된 [eqn: rm v_j,i]값으로부터 식3-10과 같은 기-액 평형식으로 [eqn: rm l_j,i] ,[eqn: rm u_j,i]를 계산한다.

물질수지식에서 계산된 결과([eqn: rm u_j,i] ,[eqn: rm l_j,i] ,[eqn: rm v_j,i] , 각 단의 온도)를 에너지수지식에 대입하여

탑내의 액상과 기상의 전체흐름량을 계산 할 수 있다. 에너지수지식을 계산할 때 각 단의

hold-up은 일정하다고 가정한다.

결과 및 고찰

Rigorous method를 이용한 모델의 신뢰성을 알아보기 위해 표.1의 사성분계 혼합물을 대

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

상으로 전산모사하였다. 탑의 단수는 7단, 상용프로그램과 비교할 경우의 환류비는 5로

고정되어 있으며 압력은 1atm, 탑상 제품유량은 50gmole로 일정하다.

Feed property				Product conditions
No.	component	Feed량	Feed 조성	얻고자하는 조성	얻고자 하는 양
1	C5	200 gmole	0.2532	0.98	45gmole
2	C6		0.3180	0.85	45gmole
3	C7		0.3646	-	-
4	C10		0.0642	-	-

표.1 전산모사를 위한 자료

그림 .일정한 환류비에대한 Rigorous method와 상용프로그램의 탑상제품의 시간에 따른 조성변화 결과 비교

그림 . 일정한 환류비에대한 Rigorous method와 상용프로그램과의 탑저제품에 대한 조성변화 결과 비교

그림 . Rigorous method와 상용프로그램의 시간에 따른 조성변화결과

그림 4. Hydrocarbon system에 대한 rigorous method와 상용program의 reboiler와 condenser에서의 시간에 따른열량 변화 결과 비교

Rigorous method를 이용하여 계산한 회분식 증류 공정은 상용 프로그램과 유사한 경향을 나타내고 있다. 상용프로그램의 경우 본 연구에서 개발한 프로그램과 같이 최적의 reflux값을 찾아주는 것이 아니라 사용자가 직접 적절한 값을 입력해 주어야 하기 때문에 직접적인 비교는 불가능하였지만, 두 프로그램 모두 일정한 reflux일 경우에 대한 결과를 통해 간접적인 비교를 해보았을 때 본 연구에서 개발한 회분식 증류 공정 모델은 상용프로그램과 거의 일치하므로 알고리즘상의 문제가 없다고 할 수 있다.

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

결 론

사용 기호

[eqn: rm U_j^V , U_j^L]  : j단에서 기체와 액체의 전체 hold-up

[eqn: rm u_j,i^V ,u_j,i^L]  : j단에 I성분의 기체와 액체의 hold-up

[eqn: rm V_j , L_j]

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Determination of the Real Time Optimal Reflux ratio in the Batch Distillation

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

Young-Sang Lee, Euy Soo Lee

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Department of Chemical Engineering, Dongguk University

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서 론

회분식 증류는 회분식 공정산업에 중요한 분리공정으로 널리 사용되고 있다. 최근에는 소량 고부가가치 제품 및 바이오 제품에 대한 필요성의 증가로 회분식 증류의 중요성이 더욱 부각되고 있다. 회분식 증류는 연속식 증류에 비해 장치의 효용성이 뛰어나고, 상대적으로 고순도의 제품을 적은 비용으로 생산할 수 있다. 이러한 장점을 가지고 있는 회분식 증류공정의 모델링 또한 많은 연구[1-4]가 진행되어 왔다. 모델링은 크게 short-cut method 와 rigorous method로 구분된다. short-cut method로 모델링 할 경우 많은 가정들과 특히 에너지 수지를 고려하지 않기 때문에 그 절차 및 계산이 간편하다. 그러나 그 결과가 실제 현상과 차이가 크기 때문에 정확한 회분식 증류에 대한 결과를 얻을 수는 없다. 그에 비해 rigorous method는 에너지 수지를 비롯하여 short-cut method에서 가정 또는 무시한 것들을 모두 고려하여 그 결과의 정확성이 높다. 그러나 너무 많은 계산과정들로 인해 계산시간이 오래 걸린다는 단점이 있다. 그로 인해 rigorous method가 정확한 결과를 보여줌에도 불구하고 실제공정에서 real-time으로 제어하기에는 사용에 제약이 있다. 이에 본 연구에서는 two-point implicit method를 사용하여 모델의 계산시간을 줄이고자 하였으며, 개발된 모델의 신뢰성을 확인하기 위해 pentane(C5)-hexane(C6)-heptane(C7)-decane(C10) 사성분계에 대해서 모델을 적용하고, 상용프로그램인 PRO/II를 이용하여 그 결과를 검증하였다.

이 론

계산을 위해서는 먼저 각 단의 물질수지와 에너지 수지식을 정립하여야 한다. 물질수지와 에너지 수지식에 대한 각 단의 미분 방정식들의 해를 구하기 위해서는 N개의 단수를 가진 탑의 경우 (N+2)×(N+2)인 matrix를 풀어야 하는데 본 연구에서는 matrix를 쉽게 풀고 계산시간을 줄이기 위하여 matrix를 tridiagonal matrix 형태로 나타내는 two-point implicit를 이용하여 계산하였다. 식을 간단히 하기 위해 [eqn: rm U^V]는 [eqn: rm U^L]에 비해 상당히 적은 양이므로 무시하였으며 two-point implicit method를 이용하여 물질수지식을 다음과 같이 수정하였다.

Mass balance

[eqn: rm (v_j+1,i +l_j-1,i -v_j,i -l_j,i )+□(v_j+1,i^0 +l_j-1,i^0 -v_j,i^0 -l_j,i^0 )= {u_j,i } over {□□t }- {u_j,i^0 } over {□□t }]               3-1

j=1에서

Start up period (D=0)

[eqn: rm (v_2,i -l_1,i )+□(v_2,i^0 - l_1,i^0 )= {u_1,i } over {□□t } - {u_1,i^0 } over {□□t }]                                        3-2

Product period

[eqn: rm (v_2,i -l_1,i -d_i )+□(v_2,i^0 - l_1,i^0 -d_i^0 )= {u_1,i } over {□□t } - {u_1,i^0 } over {□□t }] (total condenser)                 3-3

j=N에서

[eqn: rm (l_N-1,i -v_N,i )+□(l_N-1,i^0 -v_N,i^0 )= {u_N,i } over {□□t } -{u_N,i^0 } over {□□t }]                                  3-4

물질수지식의 [eqn: rm l_j,i]항을 없애기 위하여 기-액 평형식을 물질수지식과 같이 사용하여야 하는데 이 때 필요한 기-액 평형식은 다음과 같다.

[eqn: rm y_j,i =K_j,i x_j,i] 또는 [eqn: rm { v_j,i} over {V_j } =K_j,i { l_j,i} over {L_j }=K_j,i { u_j,i} over {U_j }]                                    3-5

식3-5 에 absorption factor [eqn: rm A_j,i]를 사용하면 [eqn: rm l_j,i]과 [eqn: rm v_j,i]사이에 다음과 같은 관계식이 나온다.

[eqn: rm l_j,i =A_j,i v_j,i] , [eqn: rm u_j,i = {U_j l_j,i } over {L_j }= {U_j } over {L_j }A_j,i v_j,i]  여기서 [eqn: rm A_j,i = {L_j } over {K_j,i V_j }]                   3-6

식3-6을 식3-1, 식3-2, 식3-3 과 식3-4에 대입하여 [eqn: rm v_j,i]항으로 묶어 정리하면,

[eqn: rm A_j-1,i v_j-1,i -(1+A_j,i (1+ {U_j } over {L_j □□t}))v_j,i +v_j+1,i =-□(v_j+1,i^0 +l_j-1,i^0 -v_j,i^0 -l_j,i^0 )- {u_j,i^0 } over {□□t }]3-7

j=1에서

Start up period

[eqn: rm v_2,i -A_l,i (1+ { U_1} over {L_1 □□t })v_1,i =-□(v_2,i^0 -l_1,i^0 )- {u_1,i^0 } over {□□t }]                               3-8

Product period

[eqn: rm v_2,i -(1+A_l,i (1+ { U_1} over {L_1 □□t })v_1,i =-□(v_2,i^0 -l_1,i^0 -d_i^0 )- {u_1,i^0 } over {□□t }]                       3-9

j=N

[eqn: rm A_N-1,i v_N-1,i -(1+ {U_N } over {V_N K_N,i □□t } )v_N,i =-□(l_N-1,i^0 -v_N,i^0 )- { u_N,i^0} over {□□t }]                 3-10

식3-7, 3-8 , 3-9, 3-10을 연립하면 식3-11과 같이[eqn: rm v_j,i]에 대한 tridiagonal 형태의 matrix가 된며, 이를 풀면 [eqn: rm v_j,i]의 값이 나온다. 이때 Start up에서 [eqn: rm v_1,i =l_1,i] , Product에서 [eqn: rm v_1,i =d_i]이다.

[eqn: rm a_j v_j-1,i +b_j v_j,i +c_j v_j+1,i =d_j]

[eqn: rm BMATRIX { { b_1}& {c_1 }& {0 }&{...}&{0}&{0}# {a_2 }& {b_2 }& {c_2 }&{...}&{0}&{0}# {0 }& {a_3 }& {b_3 }&{...}&{0}&{0}# {...}&{...}&{...}&{...}&{...}&{...}# {0}&{0}&{0}&{...}&{a_N}&{b_N} } BMATRIX { {v_1,i }# {v_2,i }#{v_3,i }#{...}#{v_N,i} }= BMATRIX { {d_1 }# {d_2 }#{d_3 }#{...}#{d_N} }]  (i=1,2,...,c)                           3-11

이렇게 계산된 [eqn: rm v_j,i]값으로부터 식3-5과 같은 기-액 평형식으로 [eqn: rm l_j,i] ,[eqn: rm u_j,i]를 계산한다.

물질수지식에서 계산된 결과([eqn: rm u_j,i] ,[eqn: rm l_j,i] ,[eqn: rm v_j,i] , 각 단의 온도)를 에너지수지식에 대입하여

탑내의 액상과 기상의 전체흐름량을 계산 할 수 있다. 에너지수지식을 계산할 때 각 단의

hold-up은 일정하다고 가정한다.

결과 및 고찰

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Rigorous method를 이용한 모델의 신뢰성을 알아보기 위해 표.1의 사성분계 혼합물을

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

대상으로 전산모사하였다. 탑의 단수는 7단, 상용프로그램과 비교할 경우의 환류비는 5로

고정되어 있으며 압력은 1atm, 탑상 제품유량은 50gmole로 일정하다.

Feed property				Product conditions
No.	component	Feed량	Feed 조성	얻고자하는 조성	얻고자 하는 양
1	C5	200 gmole	0.2532	0.98	45gmole
2	C6		0.3180	0.85	45gmole
3	C7		0.3646	-	-
4	C10		0.0642	-	-

표.1 전산모사를 위한 자료

그림 .일정한 환류비에대한 Rigorous method와 상용프로그램의 탑상제품의 시간에 따른 조성변화 결과 비교

그림 . 일정한 환류비에대한 Rigorous method와 상용프로그램과의 탑저제품에 대한 조성변화 결과 비교

그림 . Rigorous method와 상용프로그램의 시간에 따른 조성변화결과

그림 4. Hydrocarbon system에 대한 rigorous method와 상용program의 reboiler와 condenser에서의 시간에 따른열량 변화 결과 비교

그림에서 보는 바와 같이 Rigorous method를 이용하여 계산한 회분식 증류 공정은 상용 프로그램과 유사한 경향을 나타내고 있다. 상용프로그램의 경우 본 연구에서 개발한 프로그램과 같이 최적의 reflux값을 찾아주는 것이 아니라 사용자가 직접 적절한 값을 입력해 주어야 하기 때문에 직접적인 비교는 불가능하였지만, 두 프로그램 모두 일정한 reflux일 경우에 대한 결과를 통해 간접적인 비교를 해보았을 때 본 연구에서 개발한 회분식 증류 공정 모델은 상용프로그램과 거의 일치하므로 알고리즘상의 문제가 없다고 할 수 있다.

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결 론

본 연구에서는 소량생산에 적합하고, 원료의 성분이 일정치 않은 경우에도 공정의 운용성이 높은 회분식 증류 공정에 대하여 rigorous method를 사용하여 모델을 개발 하였다. 개발된 모델의 신뢰성을 확인하기 위하여 상업공정모사기(PRO/II)와 비교하였으며, 그 결과 모델의 신뢰성을 확인할 수 있었다. 또한 two-point implicit method를 사용하여 모델의 계산시간을 줄이고자 하였다. 경우에 따라 차이는 있지만 기존의 rigorous method로 개발된 모델 알고리즘의 경우 optimal값을 결정하기 위해 수 분내지 그 이상의 계산시간이 필요한 반면 본 연구에서 개발한 모델은 계산시간을 1분 이내로 현저히 줄일 수 있었으며, 그로 인해 모델을 on-line(http://no1.dongguk.ac.kr/vlab)에 시범적으로 적용하여 real-time control의 가능성을 시험중에 있다.

사용 기호

[eqn: rm U_j^V , U_j^L]  : j단에서 기체와 액체의 전체 hold-up

[eqn: rm u_j,i^V ,u_j,i^L]  : j단에 i성분의 기체와 액체의 hold-up

[eqn: rm V_j , L_j]   : j단에서 나오는 기체와 액체의 전체 흐름량

[eqn: rm v_j,i ,l_j,i]  : j단에서 나오는 i성분의 기체와 액체의 흐름량

[eqn: rm H_j,i , h_j,i] : j단의 온도,압력 조건하의 단위 mole당 i성분의 기체와 액체의 엔탈피

[eqn: rm t]       : 공정이 진행된 시간

참고 문헌

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

1. R. R. Treybal, Chemical Engineering, October(5), pp.62-63(1970)

2. David B. Van Dongen, Michael F. Doherty, 'On the dynamics of distillation processes-VI. Batch distillation', Program Press Ltd., December(1983)

3. U. M. Diekar and K. P. Madhavan, Ind. Eng. Chem. Res., 30, pp.713-721(1991)

4. H. E. Salmone, O. J. Chiotti and O. A. Iribarren, Ind. Eng. Chem. Res., 36, pp.130-136(1997)