제지 공정의 파지 손실 최소화

김동훈, 나성훈, 문일↕

연세대학교 화학공학과

Minimization of Trim Loss Problem in Paper Mill Process

Donghoon Kim, Seounghoon Na, Il Moon↕

Department of Chemical Engineering, Yonsei University

서론

인류의 문화생활에 있어서 필수적인 펄프 및 종이제품의 제조에서 그 다양성과 함께 용도에 따라 여러 가지 규격을 필요로 한다. 제지 공정 중 rewinder에서 만들어진 일정한 폭을 가지는 원료종이의 roll을 수요량에 따라 재단 공정에서 규격에 맞는 종이를 생산하게 된다. 이렇게 여러 종류의 종이를 만들어 내는 제지 공정 중 재단 공정에서는 여분의 파지가 발생하게 된다. 이렇게 발생된 파지의 양이 많아지게 되면 그만큼의 원료비용, 코팅비용, 에너지 비용 및 그 밖의 처리비용 등의 손실이 생기게 된다. 그렇기 때문에 이 파지의 발생되는 양을 최소화시키면서 수요자의 주문을 충족시켜야 하는 문제(trim loss problem)는 제지공정에서 매우 중요한 문제이다. 재단 공정의 일정 계획은 제지 공정 전체의 율속단계로써 전체의 생산성을 좌우하는 매우 중요한 요소이다. 본 연구는 이러한 재단 공정의 일정 계획에 대해 여러 규격의 종이 제조시 발생되는 파지의 양을 최소화하는 동시에 수요자의 주문을 충족시켜주고 나아가서 에너지 비용의 손실도 최소화하는 문제를 해결하고자 하였다.

본론

1. 제지 공정

제지 공정에는 일반적으로 펄프제조, 원료조성, 초지, 코팅, 광택, rewinder, 재단, 포장의 단계로 구성되어짐을 볼 수 있다(Figure 1).

Figure 1. Paper Mill Process

2. MINLP 모델

제지공정 중 본 연구에서 관심 있게 다룬 부분은 재단 공정이다. 이 공정에서는 rewinder에서 생산되는 일정한 규격의 큰 원료 종이 roll을 수요에 따라 여러 규격에 맞게 자르게 되는데 이 때 여분의 종이를 잘라 내어야 한다. 여기서 생기는 파지를 trim loss라고 하고, 이것을 최소화하기 위한 모델링을 하게되면 우선 목적함수를 재단 공정에 대한 원료비용, 재단 패턴을 바꿀 때의 에너지 손실 비용, 발생한 파지 처리비용의 최소화로 두면 다음과 같은 MINLP 형태의 문제가 형성된다.

[eqn: ~min LEFT{{SUM from {{j}=1} to I }(R_j CDOT m_j ~+~C_j CDOT y_i ~+~S_j CDOT T_j CDOT m_j )} RIGHT}]	(1)

subject to

[eqn: {SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij ~-~W_{j,max} ~<=~ 0]	(2)

[eqn: -{SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij ~+~W_{j,max}~-~e_j} ~<=~ 0]	(3)

[eqn: {SUM from {{i}=1} to I} n_ij ~-~N_max ~<=~ 0]	(4)

[eqn: ~y_i ~-~m_j ~<=~ 0]	(5)

[eqn: ~m_j ~-~ M_j CDOT y_j ~<=~ 0]	(6)

[eqn: ~n_{i,order} ~-{SUM from {{i}=1} to I}m_j CDOT n_ij ~<=~ 0]	(7)

[eqn: ~T(j) ~=~ W_{j,max} ~-~ {SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij]	(8)

[eqn: ~i ~=~ 1, . . . , I]	[eqn: ~j ~=~ 1, . . . , J] [eqn: ~m_j ,~n_ij ~IN ~Z^+] [eqn: ~y_j ~IN ~LEFT { 0,1RIGHT }]

3. Parameterization Method

이 MINLP 형태의 모델링은 목적함수에 대한 제약식 (7)이 bilinearity에 의하여 non-convex/non-linear하므로 복잡함을 알 수 있다. 그럼으로 본 연구에서는 parameterization 방법을 이용하여 이러한 bilinearity를 해결하여 수렴성을 개선하고 최적의 해를 구하였다.

Figure 2. Parameterization Algorithm

이 parameterization의 알고리듬(figure 2)은 주 루프 안에서는 매번의 반복 계산마다 ni의 값을 하나씩 증가시키는 for문을 사용하였다. 그리고 n1의 값이 상한값 밖으로 넘어가게 되면 각각의 ni에 대한 모든 가능한 조합들이 생성되고 루프가 끝나게 된다.

이 결과로 얻어진 파라미터를 토대로 파라미터 변수와 관계되어 있는 제약식((2), (3), (4))을 제거하면, 다음과 같은 간단한 형태의 MILP 형태의 모델링으로 바뀌게 됨을 볼 수 있다.

[eqn: ~min LEFT{{SUM from {{j}=1} to I }(R_j CDOT m_j ~+~C_j CDOT y_i ~+~S_j CDOT T_j CDOT m_j )} RIGHT}]	(1)

subject to

[eqn: ~y_i ~-~m_j ~<=~ 0]	(5)

[eqn: ~m_j ~-~ M_j CDOT y_j ~<=~ 0]	(6)

[eqn: ~n_{i,order} ~-{SUM from {{i}=1} to I}m_j CDOT n_ij ~<=~ 0]	(7)

[eqn: ~T(j) ~=~ W_{j,max} ~-~ {SUM from {{i}=1} to I}w_j CDOT n_ij]	(8)

[eqn: ~i ~=~ 1, . . . , I]

[eqn: ~j ~=~ 1, . . . , J]

[eqn: ~m_j ,~n_ij ~IN ~Z^+]

[eqn: ~y_j ~IN ~LEFT { 0,1RIGHT }]

이 간단해진 MILP 모델을 가지고 최적화 패키지를 이용하여 제지공정에서의 Trim loss 문제를 위한 최적화문제를 해결할 수 있다.

적용예제

최근에는 소비자들의 기호가 다양해지고 세분화되어서 대량생산보다는 다품종 소량생산 위주의 산업이 활발하다. 그러므로 여기서의 예제공정도 소규모보다는 대규모의 일정계획을 예제공정으로 잡았다.

Product	Width (mm)	Min. Requirement	Product	Width (mm)	Min. Requirement
1	350	10	7	800	21
2	450	28	8	840	22
3	550	48	9	910	8
4	650	28	10	960	8
5	700	40	11	1010	9
6	740	30	12	1060	8

Table 1. Production Order

Wj,max = 2100(mm)

ej = 100(mm)

Nj,max = 5

lj = 6500(m),

Rj = 1,365,000(won/roll)

Cj = 136,500(won)

Sj = 2,730(won/m2)

위의 주문에 대한 파라미터들을 계산하고 MILP 모델에 계산된 파라미터들을 대입한 후 LINGO를 이용하여 최적해를 계산한 것이 Table 2이다.

Campaign Product	2	9	10	8	22	13	8	6	8	Production for product i	Over -productoin
n1j n2j n3j n4j n5j n6j n7j n8j n9j n10j n11j n12j	1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0	1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0	0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0	0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0	0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0	0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0	0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0	0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1	11 28 49 28 40 30 22 22 8 8 9 8	1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Table 2. Schedule for Production Order

결론

본 연구에서는 제지 공정의 trim loss와 에너지 손실 문제를 최적화하기 위한 MINLP 모델링을 세웠다. 이 모델링의 bilinearity를 해결하기 위하여 파라미터화 알고리듬을 적용하여 제약식을 줄이고 이를 통해 MINLP를 MILP 모델로 바꾸고 최적화 패키지인 LINGO를 이용하여 문제의 목적함수를 최적화하였다.

위 방법은 기존의 방법과는 달리 MINLP 문제를 제약식을 줄이는 파라미터화 기법을 이용하여 문제의 non-convexity/non-linearity를 해결하여 문제를 단순화시킴으로써 결과의 수렴성은 물론이고, 탐색시간을 개선하였고, 총 비용 역시 개선된 결과를 얻을 수 있었다. 또 여기서 수요자의 요청에 따라 꼭 필요한 수량에 대해서 priority를 고려하게 된다면 우리가 원하지 않는 상품에 대해서는 overproduct가 생산되지 않는 범위에서 생산 일정을 최적화 할 수 있다.

결과적으로 본 연구는 주문량이 많고 생산해야 하는 종이의 종류가 많을수록 이전까지의 연구에 비해 더 효율적인 방법임을 알 수 있었다.

기호설명

i: 제지 종류,  j: Cutting 패턴,  Rj: Roll의 가격,  Tj: 파지의 양,  wi: 제지의 폭

Sj: 파지 처리 비용,  Cj: 패턴 변화시 동력비,  yi: 패턴 결정 후 이산변수

참고문헌

1. 고대호, 문일, □회분공정을 위한 동적 생산계획 기법 개발□, 화학공학, Vol. 35, No 3, pp. 338-343 (1997)

2. 문일, 이인범, 정재학, 이호경, □화학공정 생산 및 일정계획□, 아진 (1999)

3. Westerlund, T. Harjunkoski, I. and Isaksson, J., "Solving a production optimization problem in a paper-converting mill with MILP," Computers and Chemical Engineering, Vol. 22, pp. 563-570 (1998)

4. Porn, R., Harjunkoski, I. and Westerlund, T., "Convexification of different classes of non-convex MINLP problems," Computers and Chemical Engineering, Vol. 23, pp. 439-448 (1998)

6. 나성훈, □MINLP를 이용한 제지 공정의 최적 일정 계획 수립□, 연세대학교 (2001)