REEM을 이용한 삼성분 Flash Drum의 농도 추정

*이태철, 이광순1, 윤태웅2, 양대륙

고려대학교 공과대학 화학공학과

1서강대학교 공과대학 화학공학과

2고려대학교 공과대학 전기전자전파공학부

Composition Estimation of Ternary Flash Drum Using REEM

*Tae Chul Lee, Kwang Soon Lee1, Yoon Tae Woong2, and Dae Ryook Yang

Department of Chemical Engineering, Korea University

1Department of Chemical Engineering, Sogang University

2School of Electrical Engineering, Korea University

서론

화학공정을 모사할 때 종종 측정될 수 있는 출력변수가 중요한 공정변수와 일치하지 않는 경우가 있다.  또한 출력변수에 대한 모델 형태가 양함수의 형태로 표현되지 않는 음함수의 형태로 표현되는 경우가 있다. 이러한 예로서는 증류공정과 pH 중화공정이 있다. 이런 경우 일반적인 모델 인식기법을 이용하면 모델의 비선형성을 해결하기 위해 선형화 단계가 필요하며, 음함수로 표현되는 경우에는 근을 찾기 위해서 계산량이 많은 function solving 단계가 필요하게 된다. 증류공정의 경우 출력변수로는 주로 탑 내의 온도가 선정되나, 중요한 공정변수로는 탑내 유체의 농도가 되므로 이 변수들 사이의 상관 관계를 이용하여 농도를 추정해야 한다. 이성분 증류공정의 경우 이러한 두 변수 사이의 관계를 이용하여 농도를 추정할 수 있으나 다성분계의 경우는 쉽게 얻을 수 없다.

최근 연구에 의하면 Baratti 등이 EKF를 이용하여 다성분계의 농도를 추정하는 방법에 대해 이론적 실험적으로 입증하였다[1,2]. 그러나 일반적으로 EKF를 실제 공정에 적용할 때 공정의 잡음에 대한 정확한 정보가 없는 경우 추정된 변수가 발산하거나 편차가 생기는 경우가 발생하게 된다[6]. 본 연구에서는 이러한 단점을 보안한 RPEM에 바탕을 둔 새로운 변수예측방법인 REEM을 고안하였다. 이 REEM 방법은 RPEM에서 criterion으로 측정된 출력과 예측된 상태변수 및 파라미터를 이용하여 얻은 출력모델식의 에러를 선정하여 유도한 알고리즘으로 구성하였다. 이러한 REEM으로 출력모델식이 음함수로 표현되는 시스템에 적용하는 경우 계산시간과 선형화단계에서 발생하는 에러를 줄일 수 있는 장점이 있다.

본론

1. Mathematical Model for Flash Drum

본 연구에서는 삼성분계 flash drum의 상세한 모델을 공정으로 사용하였다. 일반적인 다성분 flash drum은 그림 1과 같으며 이 시스템의 모델은 Holland와 Liapis에 논해진 다음과 같은 DAE 모델을 사용하였다[4].

[eqn: {d_u_{i}} over {dt} &= - L over U^L u_i^L - V over U^V u_i^V + F z &(i=1,2,3) # dE over dt &= - L over U^L E^L - V over U^V E^V +E^F + Q # u_i &= u_i^V + u_i^L &(i=1,2,3) # U^V &=sum_i^n , U^L = sum_i^n u_i^L &(i=1,2,3) # y_i &= K_i x_i &(i=1,2,3) # E &= E^V + E^L]	(1)

여기서 u : component holdup, U : total holdup, E : energy of stream, Q : external energy. 이 시스템의 구성물질은 propane, n-butane, n-haxane이며 이러한 탄화수소계열로 구성되어 있기 때문에 열역학 방정식은 SRK를 이용하였다[3]. RPEM과 REEM의 모델로서는 DAE의 일부분인 다음과 같은 모델을 사용하였다.

[eqn: H_m dx_i over dt &= -V y_i -L x_i + F z &(i=1,2,3) # 0&=g(T,x_i , y_i )]	(2)

이 식에서 상태변수는 액상의 몰분율이고 출력인 드럼의 온도는 끊는점 계산법으로 계산하였다.

2. REEM

출력이 음함수로서 표현되는 일반적인 비선형 상태방정식의 모델은 다음과 같다.

[eqn: dot{x} (t|t_i ) &= f(x(t|t_i ), u, theta) + v(t_i ) # 0 &= h(x(t_i ), y(t_i ), theta) &t(t_i <= t <= t_i+1 , i=0,1,2,...)]	(3)

REEM은 criterion function으로 다음과 같은 형태의 식을 사용하였다. 이식은 출력 모델식에 측정된 출력과 추정된 값들을 이용해 구한 식의 나머지로 구성된 식이다.

[eqn: 1 over 2 sum_i^n h^T (hat{x}(t_i ), y(t_i ), theta) h(hat{x}(t_i ),y(t_i ), theta))]	(4)

이 criterion function을 바탕으로 다음과 같은 REEM 알고리즘을 구성할 수 있다.

[eqn: epsilon(t_i ) &= h(x(t_i^+ ),y(t_i ),hat{theta}) # Psi(t_i ) &= d over {d hat{theta}} [h(x(t_i ),y(t_i ),hat{theta}) # hat{Lambda}&= hat{Lambda} + gamma(t_i )[epsilon(t_i ) epsilon^T (t_i ) - hat{Lambda}(t_i-1 ) ] # R(t_i )&=R(t_i-1 ) + gamma(t_i )[Psi(t_i ) {hat Lambda} ^-1 Psi^T (t_i ) -R(t_i-1 )] # hat{theta} (t_i ) &= hat{theta} (t_i-1 ) - gamma (t_i ) R^-1 (t_i ) Psi (t_i ) {hat Lambda} ^-1 (t_i ) epsilon (t_i ) # dot{x} (t|t_i^+ ) &=f(hat{x} (t|t_i^+ ),u,hat{theta})# hat{x}(t_i+1^- ) &=hat{x}(t_i+1^- ) + K (t_i , hat{theta}) epsilon(t_i )]	(5)

본 연구에서는 위에 알고리즘에 파라미터의 변화에 대비할 수 있는 variable forgetting method를 사용하였다.

결론

flash drum의 운전 데이터는 표 1과 같다. Feed flow rate가 주요한 공정의 외란이며, 측정되는 드럼의 온도와 액상의 유량 L의 측정치는 0.05%의 측정잡음에 의해 변조된다. 공정의 입력변수는 feed의 온도이며 이 온도는 ±1K의 PRBS 형태로 입력되어 공정을 exciting 시킨다. 16.7분 동안 모사하였으며 샘플링 시간은 10초이다. (100의 샘플)

표  Nominal process parameters

Symbol	Value	Symbol	Value
F V L P PF H	10 [mole/min] 7.41 [mole/min] 2.59 [mole/min] 1.5 [bar] 15.0 [bar] 11.5 [moles]	x1 x2 x3 T TF Q	0.1744 0.1868 0.6389 258.4 [K] 338.0 [K] 0.0 [Kcal/min]

그림  RPEM을 이용한 공정 변수의 예측: 실제값(직선), 추정치(점선). a) 온도, b) Feed 온도, c) x1, d) x2, e) x3

표  RPEM과 REEM을 이용한 계산시간 비교

	RPEM	REEM
Computation TIme	13.18 sec	8.73 sec

그림 2는 RPEM을 이용한 모델의 인식과정을 보여준다. 결과에서 보듯이 짧은 시간 내에 모든 파라미터가 추정되고 있다. 그림 3은 REEM을 이용하여 flash drum의 상태변수를 추정하는 결과이다. 이 결과에서 보듯이 RPEM을 이용했을 때와 유사한 결과를 얻을 수 있다. 두 가지 경우에 대한 모사시간의 비교는 표 2에 있다. 예상된 결과로서 REEM의 계산속도가 더 빨랐다. 또한 이전의 연구 결과에 의하면 1/3 가량이 필요한 것으로 알려져 있다[6].

그림  REEM을 이용한 공정 변수의 예측: 실제값(직선), 추정치(점선). a) 온도, b) Feed 온도, c) x1, d) x2, e) x3

참고문헌

1.	Baratti, R., Bertucco, A., Rold, A.D., and Morbidelli, M., □Development of a Composition Estimator for Binary Distillation Columns. Application to a Pilot Plant□, Chem. Eng. Sci., 50, 1541 (1995). 1.

2.	Baratti, R., Bertucco, A., Rold, A.D., and Morbidelli, M., □A Composition Estimator for Multicomponent Distillation Columns-Development and Experimental Test on Ternary Mixtures□, Chem. Eng. Sci., 53, 3601 (1998).

3.	Edmister, W.C. and Lee, B.I., □Applied Hydrocarbon Thermodynamics□, Gulf Publishing Co., Houston, Texas, 1984.

4.	Holland C.D. and Liapis, A.I., □Computer Methods for Solving Dynamic Separation Problems□, McGraw-Hill Book Co., 1983.

5.	Lee, T.C., Yang, D.R., Lee, G.S., and Yoon, T.W. : Parameter Identification of pH Process Using Reformulated RPEM□, APCChE 99, 1021 (1999).

6.	Ljung, L : "Theory and Practice of Recursive Identification", the MIT Press, 1983