사각입력파 응답을 이용한 이차지연 모델의 공정해석

장 돈, 황규석, 김영한*

부산대학교 화학공학과, 동아대학교 화학공학과*

Process Identification of an SOPDT Model Using Square Pulse Response

Don Jang, Kyu Suk Hwang, Young Han Kim*

Dept. of Chem. Eng., Pusan National University

Dept. of Chem. Eng., Dong-A University*

서론

현재 화학공장의 제어에서 가장 많이 사용되는 제어기는 PID-controller이다. 그리고 이 제어기가 가지는 가장 큰 불편함은 적절한 tuning값을 찾아야 한다는 것이다. 이는 화학공장의 공정이 언제나 정상상태가 아닌 start-up, 또는 shut-down, 그리고 기온의 변화나 냉각수의 온도 변화 등의 여러 외란에 의하여 짧은 시간 또는 긴 시간에 대하여 다변적이기 때문이다. 하지만 그때마다 가장 적절한 tuning값을 찾는 것이 쉽지 않은 문제이기 때문에 지금까지 이에 대한 많은 연구결과가 발표되었고, 또 좀 더 성능이 뛰어난 새로운 기법의 개발에 매진하고 있다. 본 연구에서는 이상의 문제점을 해결하는 방법으로 우선 공정의 특성을 파악하는 향상된 방법을 개발하여 제어기의 tuning에 응용하기 위한 기초를 다지고자 한다. 공정규명(Process Identification)의 연구와 관련된 분야에서 기존에 보고된 기법들로는 Relay-feedback(Astr□m and H□gglund:1984), P-controller(Yuwana and Seborg:1982), Huang and Huang(1993)과 Gade and Peruvemba(1994) 등이 있다. 하지만 이상의 기법들에 의한 기법에는 문제점들을 가지고 있다.

우선 Relay-feedback과 P-controller의 경우 계속되는 입력의 결과로 많은 Off-set을 가져오는 단점을 가지고 있다. 그리고 Huang and Huang(1993)과 Gade and Peruvemba(1994) 등이 제시한 기법을 사용할 경우 공정에 고려치 않은 외란이 유입되면 규명의 결과인 parameter의 신빙성이 떨어진다는 단점을 가지고 있다. 이는 규명 과정에서 특정한 지점에서의 data만을 이용하기 때문이다.

이상과 같은 기존의 Process Identification 기법들에 있는 문제점들을 보완하는 기법으로 Least-Square법을 사용하여 우수한 성능을 보이면서 동시에 공정에 유입되는 외란에 대한 강건성을 확보할 수 있도록 하고자 한다.

이론

공정규명(Process Identification)을 하기 위하여 본 연구에서 사용한 모델은 2차의 전달함수에 시간지연 항을 가진 SOPDT(Second Order Plus Delay Time) Model이다. 실제의 공정의 전달함수는 (1)식으로 나타낼 수 있고, 이에 가장 근사한 SOPDT model을 구하기 위해 이에 필요한 parameter를 찾는 것이 본 연구의 목표가 되는 것이다. SOPDT model의 식은 (2)식과 같다.

[eqn: G_p (s) ~=~ {n_m s^m + n_m-1 s^m-1 + … + n_1 s + n_0 } over { d_n s^n + d_n-1 s^n-1 + …+d_1 s +1 }]             (1)

[eqn: G_m (s) ~=~ { K ~ e^{-tau_d s} } over { tau^2 s^2 ~+~ 2zeta tau s ~+~ 1 }]	(2)

(2)식에서 공정의 static gain인 K는 가장 쉽게 구할 수 있는 계수이므로 본 연구에서는 1로 두어서 생략한다. 그리고 시간지연 항인 [eqn: e^{-tau_d s}]는 Second-order Pade approzimation를 사용하였다. 그 결과 아래의 (3)식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: G_m (s) ~=~ {1} over { tau^2 ~ s^2 ~+~ 2zeta tau ~ s ~+~ 1 } { tau_d ^2 ~ s^2 ~-~ 6 tau_d ~ s ~+~12 } over { tau_d ^2 ~ s^2 ~+~6 tau_d ~ s ~+~12 }]	(3)

[eqn: y(s) ~=~ G_m (s) ~ u(s)] 에서 (3)식은 (4)식으로 되고, 이를 정리하면 (5)식으로 나타낼 수 있다.

[eqn: y(s) ~=~ {1} over { tau^2 ~ s^2 ~+~ 2zeta tau ~ s ~+~ 1 } { tau_d ^2 ~ s^2 ~-~ 6 tau_d ~ s ~+~12 } over { tau_d ^2 ~ s^2 ~+~6 tau_d ~ s ~+~12 } ~ u(s)]	(4)

[eqn: PSI_j ~=~ &(tau^2 tau_d ^2 )~y_0j (t) ~+~(6 tau^2 tau_d +2 tau tau_d ^2 zeta ) ~ y_1j (t) +~ (12tau^2 + 12 tau tau_d zeta + tau_d ^2 ) ~ y_2j (t) ##&+~ (24tau zeta + 6 tau_d ) ~ y_3j (t) ~+~ 12 y_4j (t) -~ tau_d ^2 ~ u_2j (t) ~+~ 6 tau_d ~ u_3j (t) ~##&- ~ 12 ~ u_4j (t)]	(5)

where  [eqn: y_ij (t) ~=~ □^-1 ~[ {y(s)} over {s^i }] ~=~ 1 over {(i-1)!} INT _{t_j }^{0 } (t_j -t)^i-1 ~y(t) ~dt]

(5)식에 대하여 Least-Square법을 사용할 때 그 결과가 최소화되는 Parameter가 결국 우리가 궁극적으로 구하고자 하는 결과가 되는 것이다. 이를 수식으로 표현한다면,

[eqn: LAMBDA ~&=~ SUM from { { j}=1} to n PSI_j ^2 ~ = ~ [ Varibles]^2 ~AST~ SUM from { { j}=1} to n [Parameters]_j ^2]	(7)

(7)식에 대하여 각각의 미지수로 편미분하여 그 결과가 0이 되는 [eqn: tau,~ zeta,~ tau_d] 가 그 해가 된다. 즉 아래의 (15)∼(17)식을 만족하는 해를 구하여야 한다.

[eqn: ∂LAMBDA over ∂tau ~=~ SUM from { { j}=1} to n [Parameters]_j ^2 ~ AST ~ ∂ over ∂tau ( [Variables]^2 ) ~=~0]	(8-1)

[eqn: ∂LAMBDA over ∂zeta ~=~ SUM from { { j}=1} to n [Parameters]_j ^2 ~ AST ~ ∂ over ∂zeta ( [Variables]^2 ) ~=~ 0]	(8-2)

[eqn: ∂LAMBDA over ∂tau_d ~=~ SUM from { { j}=1} to n [Parameters]_j ^2 ~ AST ~ ∂ over ∂tau_d ( [Variables]^2 ) ~=~ 0]	(8-3)

행렬간의 연산자로 [eqn: AST]를 사용하였는데, 이는 양쪽 행렬의 같은 위치에 있는 각 원소끼리의 곱의 합으로 정의한다. 이상에서 구한 (8-1)~(8-3)의 3개의 비선형 연립방정식을 만족하는 해가 본 연구에서 구하고자 하는 SOPDT model의 3개의 계수가 되는 것이다.

실험

Example 1 ( without noise )

실제 공정의 전달함수로는 Damping factor의 변화에 따른 성능을 평가하기 위하여 Huang and Huang(1993)과 Gade and Peruvemba(1994)이 사용한 model을 도입하여 그 성능을 비교하였다. Table 1에서 IAE Ratio는 본 연구의 기법으로 구한 IAE와 Huang and Huang(1993) 또는 Gade and Peruvemba(1994)에서 가장 성능이 나은 결과와의 비를 나타낸 것이다. 이 공정의 전달함수는 4차로 (9)식과 같다.

[eqn: G_m~1 (s) ~=~{e^{-tau_d s} } over {(tau^2 s^2 + 2tau zeta s +1) (0.15tau s) (0.1tau s + 1)}]	(9)

Table . Parameter Estimates for Exalple 1 (with T=1.0 and □d=0.4)

		Parameter Estimation Method
□	Parameter	Present	Gade and Peruvemba	Huang and Huang	IAE Ratio
0.75	□	1.0080	1.0292	1.0692	1.14
	□	0.7551	0.7407	0.7293
	□d	0.6280	0.6167	0.5864
	IAE	1.6844E-2	1.4699E-2	3.8443E-2
0.90	□	1.0154	1.0290	0.9908	1.20
	□	0.8996	0.8897	0.9023
	□d	0.6234	0.6188	0.6500
	IAE	1.2807E-2	1.0641E-2	2.3314E-2
1.00	□	1.1009	1.0320	1.0418	1.08
	□	1.8427	0.9861	0.9706
	□d	0.5931	0.6129	0.6076
	IAE	1.0958E-2	1.0181E-2	1.1801E-2
2.00	□	1.1009	1.0544	1.0857	0.88
	□	1.8427	1.9114	1.8610
	□d	0.5931	0.6217	1.0857
	IAE	3.7910E-3	4.5922E-3	4.2971E-3
2.95	□	1.2001	1.0980	1.1021	0.58
	□	2.4903	2.7038	2.6979
	□d	0.5731	1.0980	0.6048
	IAE	1.9648E-3	3.3781E-3	4.1597E-3

Example 2 ( with noise)

여기에서는 다른 크기의 외란이 유입되었을 때 본 기법이 보이는  성능을 파악하고자 한다. 대상공정의 전달함수는 SOPDT를 만족하는 (10)식의 전달함수를 가질 경우이다.

[eqn: G_m~2 (s) ~=~ {e^{-tau_d s}} over {9s^2 + 2.4s +1 }]	(10)

Table 2. Input Noise vs IAE

Max. Noise size	Noise / y(t)	Kp	□	□	□d	IAE
0	0	1.000	3.0019	0.3998	0.9979	0.0017
0.001	0.0049	1.0000	2.9979	0.4002	1.0024	0.0019
0.005	0.0232	1.0000	2.9920	0.4008	1.0093	0.0067
0.01	0.0432	1.0000	2.9846	0.4016	1.0180	0.0130
0.02	0.0761	1.0000	2.9697	0.4031	1.0355	0.0257
0.05	0.1358	1.0000	2.9294	0.4077	1.0888	0.0646
0.1	0.1834	1.0000	2.8452	0.4156	1.1812	0.1325

결과 및 토론

Example 1에서 보듯이 2차가 아닌 공정에 대하여 기존의 연구 결과와 비교하여 underdamping과 overdamping의 경우 성능의 우열에서 IAE를 기준으로 하였을 때 underdamping의 경우에는 기존의 연구결과에 조금 모자라는 성능을, 하지만 overdamping에서는 더 뛰어난 성능을 보이는 것을 확인할 수 있었다. 또 Example 2에서 보듯이 기존의 Huang and Huang(1993) 그리고 Gade and Peruvemba(1994)의 연구 결과에서 기대할 수 없었던 noise에 대한 강건성도 본 연구에서는 가질 수 있다는 것을 보이고 있다. 그리고 더 나아가서 실제 적용에서 필요한 Feedback 공정에 대한 적용의 가능성도 조심스럽게 기대하는 바이다.

참고문헌

1. Tae W. Ham, Young H. Kim, Process Identification Using Pulse Response and       Proportional-	Integral Derivative Controller Tuning with Combined Guidelines. Ind.     Eng. Chem. Res. 1998 37, 2, 487.

2. Astrom, K. J., H□gglund, T., Automatic Tuning of Simple Regulators with           Specifications on	Phase and Amplitude Margins. Automatica 1984, 20, 645.

3. Yuwana, M., Seborg, D. E., A New Method for On-Line Controller Tuning.         AIChE J. 1982, 28,	434.

4. Gade P. Rangaiah, Peruvemba R. Krishnaswamy, Estimating Second-Order plus	Dead Time	Model Parameters. Ind. Eng. Res. 1994, 33, 1867.

5. Su Whan Sung, In-Beum Lee, Byung-Kook Lee, On-line Process Identification       and Automatic Tuning Method for PID Controllers. Chem. Eng. Science 1998, 53,     10, 1847.