흐름이 존재하는 수평 다공질 채널에서의 대류불안정성 해석

정태준, 최창균,[eqn: rm 윤도영^*]

서울대학교 공과대학 응용화학부

광운대학교 공과대학[eqn: rm 화학공학과^*]

An Analysis of Thermal Instability of Convection in a Horizontal Porous Channel with Flow

T.J. Chung, C.K. Choi and D.-Y.[eqn: rm Yoon^*]

Division of Chemical Engineering, Seoul National University

Department of Chemical Engineering, Kwangwoon[eqn: rm University^*]

서론

다공질층 내에서의 자연대류문제가 B□nard-Rayleigh문제와 유사함을 Horton과 Rogers[1]가 보고한 후 이 문제는 많은 학자들에 의해 연구되어 왔다. 초기 정지상태의 자연대류 문제외에도 Wooding[2]과 Sutton[3]에 의해 통과흐름(through flow)이 있을경우 Peclet수에 따른 Darcy-Rayleigh수가 보고되었다. 또한 최근에 Yoon 등[4]은 다양한 경계조건의 문제를 전파이론을 사용하여 해석하였다. 다공질층의 자연대류문제는 지열의 이용, 곡물의 저장, 석유의 추출, 원자로의 단열과 냉각을 수반하는 물질전달 문제뿐만 아니라 제품의 고순도 미세 공정에서의 대류발생 억제가 제기되고 있다.

본 연구에서는 상하부 고정경계면이 일정온도로 유지되는 흐름이 존재하는 다공질 채널에서 대류 불안정성을 전파이론을 사용하여 해석하였으며, 이때 분산효과(dispersion effect)와 관성효과가 계의 안정성에 미치는 영향을 수치해석적으로 살펴보았다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과  같이 균질의 다공성 매질이 깊이 L인 경계면내에 고르게 채워져 있고 공극률이 □라 할 때 이 공극에 비압축성 뉴튼유체가 채워진 다공성 유체층을 기본계로 설정하였다. 밑면이 가열되는 등온가열계로서 유동은 미끄럼 조건(slip condition)이 적용되는 상하 고정 경계면에서 플러그 흐름이라 가정한다. 또한 외력에 의한 밀도변화만을 고려하고 나머지는 온도변화에 무관하다는 Boussinesq가정을 도입하였으며 유체층의 너비는 벽면 효과를 무시할 수 있을 정도로 충분히 넓다.

본 연구의 운동식은 유속이 커질 때 관성효과를 나타내주는 Forchheimer[5]식을 사용하였으며 지배방정식들은 다음과 같다.

[eqn: rm TRIANGLED ·{bold U}=0]                                    (1-a)

[eqn: rm LEFT ( { mu} over {K }+rho_o LEFT | bold U_o RIGHT | RIGHT ) {bold U}=- TRIANGLED P-rho g{vec k}]              (1-b)

[eqn: rm {bold U}· TRIANGLED T= TRIANGLED·(alpha_e TRIANGLEDT)]                        (1-c)

[eqn: rm rho=rho_o [1-beta(T-T_o )]]                        (1-d)

여기서 [eqn: rm bold U ,~ P,~rho_o ,~ mu,~T,~T_o ,~vec k] 는 각각 속도벡터, 압력, 유체의 밀도, 점도, 온도, 초기온도와 수직벡터를 나타낸다. 또한 다공질층내의 강제대류를 설명하는데 중요한 무차원군인 Darcy-Rayleigh수[eqn: rm Ra_D], Forchheimer-Reynolds수[eqn: rm Re_F], Peclet수[eqn: rm Pe_d]는 다음과 같다.

[eqn: rm Ra_D = { g beta Delta T KL} over {alpha_o nu }], [eqn: rm Re_F = { bK LEFT | bold U_o RIGHT | } over { nu}], [eqn: rm Pe_d = { LEFT | bold U_o RIGHT |d } over {alpha_o }]

여기서[eqn: rm g,□,□,alpha_o , b,K,d]는 중력가속도, 부피팽창계수, 동점도, 분자열확산계수, 관성계수, 투수계수와 다공질의 직경을 나타낸다.[eqn: rm alpha_e]는 유효 열확산계수로 분자 열확산계수[eqn: rm alpha_o]와 분산 열확산계수[eqn: rm gamma LEFT | bold U_o RIGHT | d]의 합으로 Scheidegger[6]에 의해 제안되었다.[eqn: rm gamma]는 열전달 실험계에서 1/7부터 1/3사이의 값으로 알려진 실험상수이다.[eqn: rm Ra_D]는 분자에는 자연대류를 유발하는 부력항과 분모에는 자연대류를 억제하는 열확산과 동점도항를 포함하고 있다. 즉[eqn: rm Ra_D]값이 커질수록 자연대류가 발생하기 쉬워진다.

자연대류가 발생하기 이전에는 강제대류가 지배적인 흐름을 좌우한다. 이는 대류 발생시 여러 가지 특성을 규정짓는데 중요한 역할을 하며 다음식으로 나타내어진다.

[eqn: rm { ∂theta_o} over {∂x } =(1+gamma Pe_d ){ ∂^2 theta_o} over {∂z^2 }]                            (2-a)

[eqn: rm theta_o (0,z)=0,~theta_o (x>=0,0)=1,~ theta_o (x,1)=0]            (2-b)

여기서[eqn: rm x=X/LPe],[eqn: rm Pe= LEFT | bold U_o RIGHT | L/alpha],[eqn: rm z=Z/L],[eqn: rm theta_o =(T_o -T_i )/(T_W - T_i )]이며 식 (2-a)를 [eqn: rm zeta =z/x^1/2]의 유사변수를 사용하면 다음의 Leveque형의 해를 얻을 수 있으며 이것은 [eqn: rm x<=0.01]에서 Graetz해와 잘 일치한다.

[eqn: rm theta_o =erfc LEFT [ { zeta} over {2(1+gamma Pe_d )^1/2 } RIGHT ]]                              (3)

길이방향 와류(longitudinal vortex)가 발생하는 임계조건을 조사하기 위해 지배방정식에 기본량과 미소교란량의 합을 대입하여 2차이상의 교란량을 무시하는 선형안정성이론으로부터 다음의 교란방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm { ∂v_1} over {∂y } +{ ∂w_1} over {∂z } =0]                                   (4-a)

[eqn: rm { 1} over {Da } (1+Re_F )v_1 = -{∂p_1 } over {∂y }]                            (4-b)

[eqn: rm { 1} over {Da } (1+Re_F )w_1 = -{∂p_1 } over {∂z } +theta_1]                       (4-c)

[eqn: rm { ∂ theta_1} over {∂x } +Ra w_1 { ∂ theta_o} over {∂z } =(1+gamma Pe_d ) LEFT ( { ∂^2 theta_1} over {∂y^2 }+ { ∂^2 theta_1} over {∂z^2 }RIGHT )]     (4-d)

여기서 Darcy수는[eqn: rm Da =K/L^2]이며 속도, 압력, 온도를 x와 z의 유사변수의 함수로 전환하기 위해 다음과 같은 관계를 도입하였다.

[eqn: rm BMATRIX { {v_1 (x,y,z) } `# {w_1 (x,y,z) }` # {p_1 (x,y,z) }`# {theta_1 (x,y,z)}`}][eqn: rm =][eqn: rm BMATRIX { {(x^1/2 /a)}& { v^*}& {(zeta) }# { x~~~~}& {w^* }& {(zeta) }# {x^1/2 ~~}& { p^*}& {(zeta) }# { }& {theta^* }& {(zeta) }}]exp(iay)

여기서 i와 a는 각각 허수와 무차원 파수를 나타내며 위식을 통해 [eqn: rm p^* ~와 ~v^*]를 생략하면 다음과 같은 안정성 방정식이 유도된다.

[eqn: rm { 1} over {Da^* } (1+Re_F )(D^2 -a^*2 )w^* =-a^* theta^*]                    (5-a)

[eqn: rm Ra^* w^* D theta_o = (1+gamma Pe_d )[D^2 + { zeta} over {2(1+gamma Pe_d ) }D -a^*2 ]theta^*]    (5-b)

[eqn: rm w^* =theta^* =0~~~for~~~~zeta=0 ~~＊~~zeta→∞]                 (5-c)

여기서[eqn: rm D=d/d□]이고,[eqn: rm Ra^*],[eqn: rm Da^*],[eqn: rm a^*],[eqn: rm theta^*]는 열경계층의 길이척도인 [eqn: rm root x]를 이용하여 정의되었고 각각[eqn: rm x^3/2 Ra],[eqn: rm x^-1 Da],[eqn: rm x^1/2 a],[eqn: rm theta_1]를 나타내며[eqn: rm Ra_D^* =Ra^*][eqn: rm Da^*]이다. 앞에서 구한 안정성 방정식을 □outward shooting□방법과 외삽법을 사용하여 [eqn: rm Re_F],[eqn: rm gamma Pe_d],[eqn: rm Ra^*],[eqn: rm Da^*],[eqn: rm a^*]의 고유치 문제로 풀 수 있다.

결과 및 토론

위와 같은 수치해석방법으로[eqn: rm Re_F 와~gamma Pe_d]에 따라[eqn: rm Ra_D^* ~와 ~a^*]의 중립안정곡선을 Fig. 2에 나타내었다. 그래프의 상부와 하부는 각각 불안정한 상태와 안정한 상태를 나타내며 최저값은 임계값을 나타낸다.[eqn: rm Re_F 와~gamma Pe_d]가 증가할수록 임계[eqn: rm Ra_D^*]는 증가하였으며[eqn: rm gamma Pe_d]가 증가할수록 임계파수는 작아졌다. 한편, 유속증가에 따른 관성력항[eqn: rm Re_F]와 임계[eqn: rm Ra_D^*]의 값을[eqn: rm gamma Pe_d]에 따라 Fig. 3에 도시하였다.[eqn: rm Re_F]와[eqn: rm gamma Pe_d]는 각각 분모에 동점도와 분자 열확산항을 포함하고 있어 값이 증가할수록 임계[eqn: rm Ra_D^*]도 선형적으로 증가하게 된다. 이는 관성력이 증가할수록 계가 안정해 지며, 공극크기의 분산효과[eqn: rm gamma Pe_d]값이 커질수록 계가 더욱 안정해짐을  나타낸다.

임계[eqn: rm Ra_D^*]값은 열경계층의 길이척도인 [eqn: rm root x]에 의해 [eqn: rm x^1/2 Ra_D]로 정의되어진 값이므로 이를 통해 임계 대류 발생지점[eqn: rm x_C]에 대한 예측을 할 수 있었다. 이것을Fig. 4에 나타내었다. 즉[eqn: rm Ra_D]값이 증가할수록 자연대류 발생이 용이해져 강제대류 계에서 자연대류가 발생하는 지점이 짧아지는 경향을 보인다.

참고문헌

1. Horton, C.W. and Rogers, F.T.: J. Appl. Phys., 16, 367(1945).

2. Wooding, R.A.: J. Fluid Mech., 15, 527(1962).

3. Sutton, F.M.: Physics Fluids, 13, 1931(1970).

4. Yoon, D.-Y., Kim, D.S. and Choi, C.K.: Korean J. Chem. Eng., 15,           341(1998).

5. Forchheimer, P.H.: Wasserbewegen durch Borden, Zeitschrift des Vereines     Deutcher Ingenieure, 45, 1782(1901).

6. Scheidegger, A.E.: □The Physics of Flow Through Porous Media□,

University of Toronto Press, Toronto(1974).

Fig. 1. Schematic diagram of basic       Fig. 2. Marginal stability curves.

state in consideration.

Fig. 3. Critical conditions.               Fig. 4. Critical distances.