경사진 다공질층에서의 자연대류 와류 불안정성과 CuSO4 수용액 계에서의 이온 물질전달 실험

이동호, 최창균, 윤도영*

서울대학교 공과대학 응용화학부

광운대학교 공과대학 화학공학과*

Vortex Instability in Natural Convection Flow over an Inclined Plate Embedded in a Porous Medium and Experiments of Ionic Mass Transfer in Aqueous CuSO4 Solution Systems

D. H. Lee, C. K. Choi and D. Y. Yoon*

Division of Chemical Engineering, Seoul National University

Department of Chemical Engineering, Kwangwoon University*

서론

등온으로 가열되는 경사진 다공질층에서의 자연대류 와류 불안정성에 대해 전파이론을 적용해 안정성해석을 수행하였으며, 이때 경사각과 분산효과, 관성효과가 계의 안정성에 미치는 영향을 살펴보았다. 또한 열전달과 많은 상사성을 갖는 물질전달계를 택하여 실험을 하고 이를 열전달계로 전환하여 이론적 해석결과와 비교해 보았다. 실험대상으로는 경사진 다공질층에서 전기도금이 진행되는 계를 택하였다. 전기도금계는 경계조건의 제어가 쉽고, 실험결과를 쉽게 열전달계로 전환할 수 있다는 장점 때문에 자연대류 현상을 연구하는 데 많이 사용되어 온 계이다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 정상상태 경계층흐름을 보이는 계에서 경사면이 등온(Tw)으로 가열되는 계에 대해 고려하였다. 2차 자연대류인 정규와동 발생시 여러 가지 특성을 규정짓는 데 중요한 역할을 하는 기본유동에 대한 엄밀해는 Hsu와 Cheng[1], Plumb[2]의 해석방법에 근거하여, 다음과 같이 표현된다.

[eqn: rm (1+barGr`` f' )``f' - theta _0 =0]                                                   (1)

[eqn: rm (1+barB ``Ra_d ``f' )theta _0 '' + (f/2 +barB ``Ra_d ``f'' )theta _0 ' =0]                              (2)

[eqn: rm f(0)= theta _0 (0)-1= f' (INF)=theta _0 ( INF )=0]                                    (3)

이때 상첨자 [eqn: ']은 유사변수 [eqn: zeta]에 대한 미분을 나타내며,[eqn: rm zeta =(z / x)(Ra_x cos gamma )^1/2],[eqn: rm f= psi`` /(alpha _0 (Ra_x cos gamma )^1/2 )],[eqn: rm theta _0 `=` ( T_0 -T_ INF )/( T_w -T_ INF )]로 정의된다. 여기에서 사용되는 중요한 무차원군인 국지 Darcy-Rayleigh 수, Grashof 수는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: rm Ra_x =g`beta`K`x`(T_w -T_INF )/(alpha _0` nu)], [eqn: rm Gr=g`beta`b`K^2`( T_w -T_INF )/nu^2]

또한[eqn: rm barGr = Gr `cos gamma],[eqn: rm barB `Ra_d``=``B`cos gamma``g`beta`K`d_p`(T_w -T_INF ) /(alpha _0` nu )]이며,[eqn: gamma],[eqn: rm b],[eqn: rm B]는 각각 수직으로부터의 경사각, 관성계수, 분산효과를 나타내는 실험상수이다. 그리고[eqn: rm g],[eqn: beta],[eqn: rm K],[eqn: rm alpha_0],[eqn: nu],[eqn: rm d_p]는 중력가속도, 부피팽창계수, 투과도, 분자열확산계수, 동점도, 다공질의 직경을 나타낸다. 또한 국지 Nusselt 수의 정의로부터 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다.

[eqn: rm N u_x = - LEFT [ 1+barB `Ra_d `f' (0) RIGHT ]` theta_0 ' (0) (Ra_x cos gamma )^1/2]                            (4)

위와 같은 기본유동은 온도차가 클 때 평판에 수직으로 작용하는 부력성분에 의해서 불안정하게 되어 경사면의 하류구역의 어느 지점에서 정규와동형태의 2차 자연대류가 발생하여 열전달량이 증가된다. 2차 자연대류 발생지점에서 기본유동에 무한소의 교란량이 중첩된 교란된 유동에 대해 선형안정성이론과 경계층가정을 적용한 후, 전파이론을 사용하면 다음과 같은 안정성 방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm (1+ bar Gr {|tildeboldu}_0 `| )`u^* =theta^* /({barRa}_x tan^2 gamma)]                                      (5)

[eqn: rm (1+ bar Gr {|tildeboldu}_0 `| )`(D^2 -{a^*}^2 ) `w^* = (1+ bar Gr {|tildeboldu}_0 `| )` ( zeta`` D^2 u^* -Du^* )/2]

[eqn: rm + (bar Gr {D`|tildeboldu}_0 `| )`( zeta `Du^* /2 -u^* -Dw^* )- {a^*}^2 theta^* /(SQRT {barRa}_x } tangamma)]  (6)

[eqn: rm (1+barB` Ra_d` f' )`D^2 theta ^* -{a^*}^2 theta ^* = -(f/2+barB` Ra_d` f'' )D theta ^*]

[eqn: rm {+barRa}_x tan^2 gamma ``(w^* - zeta ``u^* /2-barB` Ra_d` Du^* )D theta_0 -barB` Ra_d {barRa}_x tan^2 gamma``` u^*` D theta_0]  (7)

[eqn: rm w^* = theta ^* =0]     for[eqn: rm zeta =0] and[eqn: rm zeta ``-> INF]                                    (8)

여기에서[eqn: rm u^*],[eqn: rm w^*],[eqn: theta^*]는 교란량의 변환된 진폭함수를 나타내며[eqn: rm D]는[eqn: rm d/d zeta]를 의미한다.[eqn: rm {|tildeboldu}_0 `|^2 =(f' )^2 +(zeta `f' -f`)^2 /({4`barRa}_x )]이며[eqn: rm {barRa}_x =Ra_x cos gamma]로 정의된다. 또한[eqn: rm a^* =a`x{/``barRa}_x]이며[eqn: rm a]는 파수를 나타낸다.[eqn: rm x]를 함축하고 있는[eqn: rm {barRa}_x],[eqn: rm a^*] 등의 결정에 있어서, 많은 경계층흐름 문제들에서 유사한 가정을 사용한 것처럼, 이들은[eqn: rm x] 의존성이 미약하여 상수로 사용할 수 있음을 고려하면 위의 안정성 방정식들은[eqn: zeta]만의 상미분방정식으로 간주할 수 있다. 이 식들은[eqn: gamma],[eqn: rm barB` Ra_d],[eqn: rm bar Gr],[eqn: rm {barRa}_x],[eqn: rm a^*]에 대한 고유치 문제로 구성되는데, 경계치 문제를 초기치 문제로 전환시켜 Runge-Kutta 법으로 적분하고, Newton-Raphson 법으로 오차를 줄이는 수치해석방법을 사용하였다.

실험

본 연구에서는 Fig. 2와 같은 황산구리-황산 수용액 계를 사용하였다. 전해조는 직경 5.1 mm 또는 3 mm의 유리구슬로 채워지고 0.1 M CuSO4와 1.5 M H2SO4로 구성된 전해액을 사용하였다. 전원공급과 전류측정을 위해 EG&G PARC Model 263A Potentiostat를 사용하며, 전해액과 음극사이의 비교전압을 측정하기 위한 기준전극으로 calomel 전극을 사용하였다. 양극과 음극은 구리판을 사용하고 음극판의 경사각과 길이를 변화시켜 실험을 수행하였다. 두 개의 전극사이에 전위차가 부여되면 산화반응으로 양극에서 녹아 나온 구리이온이 이동하여 음극에서 환원반응으로 석출된다. 음극에서의 반응은 본질적으로 표면반응이며, 표면에서의 농도변화를 가져온다. 따라서, 음극표면에서 구리이온의 부족으로 인해 얇은 층이 발달하게 되며, 농도구배로 인해 자연대류 경계층 흐름이 형성된다. 전해조내에 부여되는 전위차를 서서히 증가시키면 전해액을 통하여 흐르는 전류밀도가 증가되어 구리의 석출속도가 점점 커지게 된다. 따라서 모액과 표면사이의 농도차이가 더욱 커지게 되며, 모액 농도는 일정하므로 궁극적으로 표면에서의 농도는 0이 된다. 이 때의 전류를 한계전류라 하며 전위차가 증가하여도 전류밀도는 변하지 않는 영역에 존재한다. 이 영역 이상으로 전위차를 증가시키면 음극에서 수소가 발생되는 새로운 반응이 일어나며 전류가 다시 급격히 증가하게 된다. 이러한 한계전류 값으로부터 다음과 같이 평균 Sherwood 수를 결정할 수 있다.

[eqn: rm Sh_L = { I_lim (1-t_n )L} over {C_b `D_0` n`F }]                                                   (9)

여기에서[eqn: rm I_lim],[eqn: rm t_n],[eqn: rm L],[eqn: rm C_b],[eqn: rm D_0],[eqn: rm n],[eqn: rm F]는 각각 한계전류밀도, 전달수, 음극판의 길이, 모액 농도, 분자물질확산계수, 구리이온의 원자가, Faraday 상수이다. 2차유동이 발생하기 이전의 안정한 자연대류 유동에서의 평균 Sherwood 수는 식 (4)로부터 얻을 수 있다.

[eqn: rm Sh_L = -2 LEFT [ 1+barB `Ra_md `f' (0) RIGHT ]` theta_0 ' (0) (Ra_mL cos gamma )^1/2]                        (10)

여기에서[eqn: rm Ra_mL =g`K`L (rho_b -rho_s ) /(D_0` nu`` rho_b )]이며[eqn: rm rho_b],[eqn: rm rho_s]는 벌크와 표면에서의 밀도이다. 본 실험에서 밀도와 점도는 Fenech와 Tobias[3]가 제시한 식을 사용하였고 밀도차이는 Selman과 Newman[4]이 제시한 식을 이용하였다. 또한 분자물질확산계수는 chronoamperometry 법[5]을 사용하여 측정하였다.

결과 및 토론

전파이론에 의한 안정성해석 결과로부터 관성의 영향이 커짐에 따라 즉[eqn: rm barGr]이 증가함에 따라 계가 더 안정해짐을 알 수 있었다. 또한[eqn: rm barB` Ra_d]가 커짐에 따라 임계 Darcy-Rayleigh 수[eqn: rm Ra_x,c]는 최소값을 보인 후 다시 증가함을 알 수 있었다. 이러한 사실은 분산의 효과는 계를 더 안정하게 할 수도 불안정하게 할 수도 있음을 의미한다. 또한 경사면이 수직에 가까울수록 계가 더 안정해짐을 확인할 수 있었다. 전파이론에 의한 결과와 비교하기 위해 수행한 물질전달 실험결과는 Fig. 3에 도시되어 있으며, 이 그림은 경사각과 음극판의 길이를 변화시켜 측정한 한계전류밀도 값으로부터 계산된 평균 Sherwood 수를[eqn: rm Ra_mL cos gamma]에 대해 도시한 것이다. 각각의 경사각에서[eqn: rm Ra_mL cos gamma]가 증가함에 따라, 즉, 음극판의 길이[eqn: rm L]이 커짐에 따라[eqn: rm Sh_L]이 증가함을 볼 수 있다. 식 (10)으로부터 2차적인 와류 불안정성이 발생하기 전에는 평균 Sherwood 수가[eqn: rm Ra_mL cos gamma]의 0.5 승에 비례하여 증가하게 되며[eqn: rm barB` Ra_md]가 2.97과 1.53일 때 실험과 잘 일치함을 알 수 있다. 그러나, 음극판의 길이가 더 길어지면 2차 유동의 발생에 의해 이러한 경향에서 벗어나게 되어 전달량이 더 증가하게 된다. 따라서 식 (10)에서 벗어나기 시작하는 실험값으로부터 와류 불안정성이 발생하는 임계 지점을 결정할 수 있고 이때의[eqn: rm Ra_mL]이 임계 Darcy-Rayleigh 수[eqn: rm Ra_mx,c]가 된다.

Fig. 4는 전파이론으로부터 계산된 임계 Darcy-Rayleigh 수와 실험값을 경사각의 변화에 따라 도시한 것이다. 전파이론에 의한 안정성해석 결과로부터 경사각이 증가함에 따라 계가 더 불안정해짐을 알 수 있으며, 경사각이 20o보다 큰 영역에서의 실험값들로부터 이러한 경향을 확인할 수 있다. 이 때 실험값이 이론값보다 큰 값을 보이는 데, 이는 자연대류 발생에 관한 연구에서 흔히 나타나는 현상으로 불안정성 발생점에서 생긴 교란이 실험적으로 관측되기에는 얼마간의 증폭이 필요하기 때문이다. 또한 수직으로부터의 경사각이 20o보다 작은 영역에서는 실험값이 이론값보다 작아지는 데 이는 와류 불안정성보다 파동 불안정성이 더 빨리 발생하기 때문이며, 수직에 가까울수록 파동 불안정성이 계를 지배함을 알 수 있다.

참고문헌

1. Hsu, C. T. and Cheng, P. : J. Heat Transfer, 101, 660 (1979)

2. Plumb, O. A. : Proc. ASME JSME Thermal Eng. Joint Conf., 2, 17 (1983)

3. Fenech, E. J. and Tobias, C. W. : Electrochemica Acta., 2, 311 (1960)

4. Selman, J. R. and Newman, J. S. : J. Electrochem. Soc., 118, 1070 (1971)

5. Heitz, E. and Kreysa, G. : "Principles of Electrochemical Engineering", VCH	Publishers, New York (1986)

Fig. 1. Schematic diagram of heat          Fig. 2. Schematic diagram of

transfer system considered                 Experimental system.

in present study.

Fig. 3. Comparison of mass transfer   Fig. 4. Comparison of critical condition

correlation with experimental          with experimental data.

data.