Two-layer fluid에서 높이 비에 따른 혼합

조은숙, 김효

박영*, 박철수*, 홍성호*

서울시립대 화학공학과

* 한국가스공사 연구개발원

Mixing with the height ratio in a two-layer fluid

Eun Sook Cho, Hyo Kim

Young Park*, Chul Soo Park*, and Sung Ho Hong*

Dept. of Chemical Engineering, University of Seoul

*R & D Center, Korea Gas Corporation

서론

초기에 isothermal한 소금물과 증류수로 안정하게 층화된 계의 바닥을 가열한다. 이 때 전체 부피는 일정하지만 초기에 두 층의 부피 비를 변화시키면서 층이 혼합되기까지 높이 비에 따른 혼합양상을 비교 분석하였다. 이러한 계에서 관찰할 수 있는 현상들 중 대표적으로 소금과 열이 동시에 확산하며 발생하는 이중확산대류와 온도구배에 의한 자연대류현상을 들 수 있다.

실험

직경이 30cm, 높이는 50cm인 원형 pyrex 탱크에 소금물과 증류수를 층화시킨다. 탱크하부에서 가열방식은 constant temperature로서 set point는 180℃로 해주었고 이는 PID control 방식으로 유지되었다. 소금물과 증류수는 0.5L:3.5L, 1.0L:3.0L, 1.5L:2.5L, 2.0L:2.0L, 2.5L:1.5L, 3.0L:1.0L, 그리고3.5L:0.5L로 7가지 경우로 나누어 전체 부피는 4L로 일정하게 하여 층화를 시켜주었고 각각의 혼합 현상에 대하여 비교 분석하였다. 탱크는 cylindrical shape라 단면적이 일정하므로 각 층의 부피에 대한 비는 높이의 비와 같다. 이때 소금물의 농도는 0.27%∼0.7%로 변화시켜 주었는데 이는 증류수 층과의 밀도 차가 약 0.002∼0.005g/cm3가 난다.

농도측정을 위한 전기 저항 측정은 한 개의 백금 probe로 이루어졌고 온도는 위치가 고정된 7개의 thermocouple과 백금 probe와 함께 움직이는 1개의 thermocouple로 측정되었다. 이때 고정된 7개의 thermocouple은 바닥으로부터 1□부터 5.9□까지 0.7□간격으로 일직선상에 배치되었다. 참고로 전체 층은 6.6□이었고 혼합시간은 8개의 thermocouple의 온도 값이 같아지는 시점으로 잡아 주었다. 실험 과정 중 혼합시간에 영향을 줄 수 있는 인자들, 즉, 외부온도와 습도, 그리고 초기 두 층의 온도 등의 영향을 최소화하기 위해 가급적 일정하게 맞춰주었는데 실험탱크의 외부온도인 실내 온도는 26.41±0.72℃, 상대습도는 평균 61.72%, 그리고 초기 두 층의 온도는 25.24±1.06℃이었다.

결과 및 고찰

Fig.1은 소금물과 증류수의 전체 부피는 4L로 일정하게 하고 소금물의 부피를 0.5L에서 3.5L까지 0.5L 씩 증가시킬 때 층간의 부피 비에 따른 혼합시간과의 관계를 나타낸다. 여기서 우선적으로 부피 비에 상관없이 소금물의 농도가 진해질수록 혼합하는데 시간이 오래 걸림을 알 수 있다. 이는 소금물의 농도가 진해질수록 초기 밀도 차가 커져 경계면의 안정도가 커지기 때문이다.

또 주목할 점은 소금물과 증류수의 부피비가 2.5L:1.5L일 때 가장 늦게 합쳐진다는 것이다. 전체 두 층 양은 4L로 늘 일정하기에 가열해 주어야 하는 전체 질량은 대략 4kg으로 거의 일정하다. 부피 비에 따른 질량의 차이는 소금물 용액에 따른 몇 gram의 소금에 불과하다. 하지만 불과 이 몇 gram의 차이 때문에 혼합양상이 Fig. 5처럼 현저히 차이가 난다는 말은 이치에 맞지 않는다. 그리고 아래층이 두꺼워질수록 소금의 양이 많아져야 하므로 혼합하는데 시간이 오래 걸려야 하는데 2.5L:1.5L라는 critical point가 있다는 것은 단순히 이런 가열해야하는 전체 질량의 증가에만 그 원인이 있지 않다는 것을 입증한다. 그리고 이러한 원인을 고찰하기 위해 Fig. 2, Fig. 3 그리고 Fig. 4의 경우를 살펴보았다.

Fig. 2는 0.7% 소금물과 증류수를 부피 비 1L:3L로 층화시킨 후 바닥을 가열하면서 시간에 따른 온도변화를 나타낸 그래프이다. 이렇듯 아래층의 양이 위층에 비해 상대적으로 적을 때는 층이 혼합될 때 아래층의 온도가 매우 빠르게 하강함을 알 수 있다. 반면에 이 때에는 위층의 온도는 거의 상승하지 않는다. 그리고 합쳐지기 전 아래층과 위층의 온도차는 매우 크다. 즉 이때에는 큰 온도차를 내면서 갑자기 합쳐지는 경향이 있다. 이는 아래층의 부피가 작을 때 우선 가열되어야 할 부분의 양이 작기 때문에 열이 경계면을 통해 전달이 된다 하더라도 빨리 뜨거워진다. 아래층의 두께가 작을수록 빨리 대류가 일어날 것이다. 그리고 그 강도는 두께가 작을수록 클 것이다. 왜냐하면 온도차에 의한 밀도 차의 부력에 의해서 자연대류가 발생하게 되는데 만약 그 온도차가 같다고 할 때 두께가 얇다면 두꺼운 쪽보다 Temperature gradient가 크게 되고 이에 따라 density gradient도 매우 크게된다. 그리고 중력에 불안정해진 density gradient로 안정해지기 위한 뒤집어지는 힘이 커지게 될 것이다. 따라서 이로 인해 대류가 형성이 되고 층의 두께가 얇을수록 층 내에서의 대류 속도는 빠를 것이고 이것이 빠르면 위층으로의 열과 물질 전달도 좀더 수월해질 것이다. 왜냐하면 물질이든 열이든 전도에 의해서 이동이 되는 것보다는 대류에 의해 이동이 되는 속도가 훨씬 빠르기 때문이다. 따라서 아래층의 두께가 작을수록 층은 빨리 합쳐질 것이다. 그리고 아래층을 누르는 위층의 양이 많기에 그 압력으로 인하여 뜨겁고 가벼운 유체가 뒤집어지지 못하고 조금 더 뜨거운 상태로 유지되다가 위층의 밀도보다 가벼워질 때 비로소 뒤집어 진다. 하지만 이 때 그 양이 미비하므로 위층의 온도변화에 큰 영향을 주지 못한다. 그리고 혼합시간은 아래의 두 경우에 비해서 가장 짧은 편이었다.

Fig. 3은 Fig. 2와 같은 0.7% 소금물과 증류수를 2L:2L로 층화시킨후 바닥을 가열하면서 시간에 따른 온도변화를 나타낸 그래프이다. 두 층의 양이 거의 비슷하므로 혼합 시, 온도에 있어서 두 층 모두 변화가 있다. 즉 위층의 온도는 올라가고 아래층의 온도는 하강해서 두 온도의 거의 중간 값을 나타낸다. 그리고 혼합하는데 Fig. 2와 4의 경우에 비추어 볼 때 가장 오래 걸리는 편이었다.

Fig. 4는 3L:1L로 층화시킬 때의 그래프인데, 이처럼 위층의 양이 상대적으로 적을 때 혼합 시, 위층의 온도가 서서히 상승하고 반면에 아래층의 온도는 거의 변화가 없다. 이때에는 우선 가열되어야 하는 아래층의 양이 매우 많다. 따라서 아래층에서 대류가 형성되는 시간이 Fig. 2의 경우보다 오래 걸릴 것이다. 하지만 위층은 얇기 때문에 대류 하는 데 시간이 적게 걸릴 것이다. 그리고 층이 합쳐질 때 차가운 위층이 아래로 내려온다 하더라도 그 양은 아래층에 비해 작으므로 아래층 온도는 크게 변화하지 않는다. 혼합시간은 Fig. 2보다는 긴 편이고 Fig. 3보다는 짧은 편이었다. 아래층의 양이 많다고 해서 혼합시간이 그에 비례하는 것은 아니다. 왜냐하면 경계면을 통한 열 전달에 의해 발생되는 위층에서의 대류 또한 중요한 인자이기 때문이다. 위층의 양이 적으면(두께가 작으면) 경계면을 통해 전달되는 열이 미비하다 하더라도 위층에서 자연대류는 빨리 발생할 것이다. 극한 상황을 고려할 때 위층의 부피가 0이면 혼합시간은 0이어야 한다. 반대로 아래층의 부피가 0인 경우도 혼합시간이 0이어야 한다. 따라서 위층과 아래층의 높이에 따른 상호작용에 의한, 부피 비에 있어서 critical point가 존재할 것이다. 즉 이를 증명하는 것이 Fig. 4이고 2.5L:1.5L일 때 혼합시간이 제일 길었다.

또 다른 분석을 하기 위해 Fig. 2부터 Fig. 4와 같은 data로 Fig. 5를 얻었다. 세로축의 □는 normalized mixing time으로써 [eqn: t_m over h_1 ( TRIANGLE T_ max )^{1/3}]이며 여기서 [eqn: t_m]은 층간의 온도차가 최대일 때부터 층이 혼합될 때까지의 시간이고 [eqn: TRIANGLE T_max]는 층간의 최대 온도차를 나타낸다. 가로축은 아래층과 위층의 높이의 비를 나타낸다. 여기서 □는 소금물의 농도가 높을수록 커진다. 즉 소금물의 농도가 진할수록 층이 늦게 합쳐진다는 것이다. 그리고 아래층의 두께가 증가할수록 □는 작아진다. 이는 Fig. 1과는 상반된 결과라고 여겨질지도 모른다. 하지만 여기서 차이점은 Fig. 1에서는 초기 두 층 사이에 온도차이가 없을 때인 초기부터, 층이 합쳐질 때까지를 본 것이고 Fig. 5는 두 층 사이에 최대 온도차가 났을 때부터 층이 합쳐질 때까지를 나타낸 것이기 때문에 두 그래프는 서로 다른 대상을 나타낸다.

따라서 초기에 등온이고 농도 차에 의해 층화가 발생한 two-layer fluid에서 바닥으로부터 열의 유입이 있다면 Fig. 4처럼 두 층의 높이 비가 거의 같을 때 혼합하는데 가장 오래 걸릴 것으로 예상된다. 반면에 바닥으로부터 열의 지속적인 유입이 있다하더라도 초기 두 층간에 최대 온도차가 나고 점점 그 차가 줄어갈 경우 높이 비에 따른 양상은 Fig. 5와 같을 것으로 예상할 수 있다.

참고문헌

1. Turner, J. S., "The Coupled Turbulent Transports of Salt and Heat across a     Sharp Density Interface," Int. J. Heat Mass Transfer, 8, 759(1965).

2. Crapper, P. F., "Measurements across a Diffusive Interface," Deep-Sea          Research, 22, 537(1975).

3. Kim, Y. S. and Cho, E. S., "A Study on the Double Diffusivities of Heat     and Mass across a Sharp Density Interface," Theories and Applications      of Chem. Eng., 4(2), 4117(1998).

4. Germeles, A. E. : Adv. Cryo. Eng. 21, 326(1976).

Fig. 1. Volumetric ratio vs. mixing time.

Fig.2. 0.7% 1L:3L two-layer fluid without turbulent patch.

Fig. 3. 0.7% 2L:2L two-layer fluid without turbulent patch.

Fig. 4. 0.7% 3L:1L two-layer fluid without turbulent patch.

Fig. 5. h1/h2 vs. □