프로화일 압출 다이 설계를 위한 수치 모사

김석균, 이성재

수원대학교 공과대학 고분자공학과

Numerical Simulation for the Design of Profile Extrusion Die

Suk Kyoun Kim, Seong Jae Lee

Department of Polymer Engineering, The University of Suwon, Suwon 445-743, Korea

서론

프로화일 압출공정은 임의의 형상을 지니는 압출물을 설계된 다이를 통해 제조하는 공정으로 이러한 목적의 다이를 설계하기 위해서는 가공할 고분자재료의 유동특성을 파악하여 압출물이 다이출구를 빠져나갈 때 발생하는 압출물 부풀음(extrudate swell) 현상을 우선적으로 이해해야 한다. 유체가 주어진 다이를 통해 대기 중으로 압출될 때 그 단면적이 다이의 단면적 보다 커지는 압출물 부풀음 현상은 고분자 가공공정에 있어 제품의 치수결정, 결정성 분자 및 섬유상의 배향 상태등에 큰 영향을 미치게 되므로 대단히 중요하다.

압출물 부풀음 현상에 대한 수치모사 연구는 1974년 Nickell 등이 비압축성 뉴튼 유체의 미동흐름에 대하여 발표한 이래로 계속되어 왔으며, Reddy와 Tanner에 의해 관성 및 표면장력 효과가 고려되었다. 그러나 이런 연구는 대부분 이차원 압출물 부풀음에 대한 연구가 대부분이었다. 삼차원 압출물 부풀음에 대한 수치모사 연구는 Bush와 Phan-Thien[1], Tran-Cong과 Phan-Thien[2]에 의해 시도되었으며, 유한요소법을 이용하여 삼차원 압출물 부풀음을 수치모사 해석한 연구는 Karagiannis 등[3]과 Shiojima와 Shimazaki[4]에서 찾아 볼수 있다. 최근에는 Mayer 등[5]에서 좀더 복잡한 형태로 발전해 오고 있다.

본 연구는 압출물의 다이 부풀음 현상을 해석한 후, 일반화된 뉴튼 유체의 삼차원 유동장을 해석하여 압력 및 속도를 구하고 이를 바탕으로 자유표면을 수반하는 압출물 부풀음 현상을 정량화한다. 압출물 부풀음에 대한 해석 결과는 원하는 압출물의 형상을 얻기 위한 압출다이의 형상을 설계하는데 활용할 수 있다. 압출다이의 형상이 최종 압출물의 형상에 미치는 영향을 해석하고 이를 바탕으로 원하는 압출물의 형상을 얻기 위한 프로화일 압출다이의 형상을 수치모사 방법으로 설계하고자 한다.

지배방정식과 경계조건

주 흐름 방향을 삼차원 공간에서의 양의 x축 방향으로 하여 정상상태 하에서의 운동방정식, 연속방정식을 표현하면 다음과 같다.

[eqn: rho rm bold v cdot TRIANGLED bold v =-triangled p + triangled cdot bold tau + bold f`]                                     (1)

[eqn: triangled cdot rm bold v =0]                                                        (2)

계의 경계조건은 Fig. 1에 나타내었다. 다이 입구의 흐름은 완전히 발달된 유동장을 부과시켰는데 이것은 다음의 식으로 표현되는 y-z 면에 대한 이차원 흐름을 풀어줌으로써 얻어진다.

[eqn: rm PARTIAL over {PARTIAL y}( eta {PARTIAL u} over {PARTIAL y}) + PARTIAL over {PARTIAL y}( eta {PARTIAL u} over {PARTIAL z}) - {PARTIAL p } over {PARTIAL x} = 0]                              (3)

자유표면에서는 힘이 작용치 않는(traction free) 경계조건을, 출구를 지나 압출된 제일 끝 부분은 일방향 흐름(unidirectional flow)으로 가정했다.

압출물 부풀음의 자유표면 추적기법

유한요소법으로 구성한 알고리듬은 속도장(u, v, w) 및 압력장(p)을 얻게 된다. 여기서 얻은 속도장을 바탕으로 pathline을 따라가면서 다음 식을 풀어 자유표면을 추적하게 된다.

[eqn: rm u over dx = v over dy = w over dz]                                                  (4)

매 계산시 자유 표면의 좌표 변화량은 바로 전 계산 때 얻어진 u, v, w를 이용하여 다음의 식으로 얻을 수 있다.

[eqn: rm TRIANGLE y = integral {v over u }dx],[eqn: rm TRIANGLE z = integral {w over u}dx]                                    (5)

Fig. 1. Domain and boundary conditions in three-dimensional extrudate swell.

이 때 자유표면이 시작되는 관 출구 부분에서는 no slip 조건이기 때문에 증분치를 정의할 수 없게 되는데 이 문제는 open-ended quadrature를 사용하여 해결하였다. 이 방법은 요소의 중앙점을 기준으로 왼쪽 반과 오른쪽 반을 나누어서 적분하는 것으로 중앙점을 양끝점의 평균값이 아니라 독립적으로 움직여 위치를 구할 수 있게 되어 자유표면 모양을 자연스럽게 할 수 있다.

프로화일 다이의 추적기법

먼저 압출물 부풀음 현상을 수치모사하여 압출물의 끝부분 형상을 원하는 압출물의 형상과 비교한다. 원하는 압출물을 제조하기 위한 수정된 다이 형상은 다음의 방법에 의해 결정한다. 수치모사된 압출물의 끝 단면의 좌표를[eqn: rm LEFT ( y_A , `z_A RIGHT )], 다이 입구부의 면좌표를[eqn: rm LEFT (y_I , `z_I RIGHT )], 원하는 압출물 끝 단면의 좌표를[eqn: rm LEFT (y_F , `z_F RIGHT )]라고 할 때, 좌표 변형률[eqn: rm LEFT (F_y , `F_z RIGHT )]는[eqn: rm LEFT ( y_A /y_F , `z_A /z_F RIGHT )]가 되어 보정된 압출다이의 면좌표는 다음과 같이 계산된다.

[eqn: rm y={y_I over F_y} , ``z={z_I over F_z}]                                                (6)

또한 계산이 매번 수행되는 동안 압출물 부풀음 수치모사와 압출다이의 형상 추적을 동시에 진행시켜 수렴 속도가 빨라지도록 처리하였다.

삼차원 프로화일 압출다이 설계를 위해 유한요소 알고리듬의 해를 얻고 자유표면을 추적하여 원하는 압출물 제조를 위한 다이를 추적하여 설계하는 과정을 전체적인 흐름도로 나타내면 Fig. 2와 같다.

Fig. 2. Flowsheet of overall procedure for the numerical design of profile

extrusion die.

결과 및 고찰

정사각형 형태의 압출물 제조를 위한 프로화일 압출다이를 설계하는 문제를 육면체 요소 160개를 사용하여 수치모사하였는데 계산 초기 메쉬와 최종적으로 얻어진 메쉬의 기하학적인 형상은 Fig. 3과 같다. 이는 정사각관을 단면으로 보았을 때 1/4에 해당하는 형상이고 폭과 높이는 각각 1cm, 관의 길이는 3cm, 압출물의 길이는 5cm이다. 최종 수렴된 다이에서 압출되어 부풀음이 일어난 압출물 끝부분의 형상은 원하는 정사각형 단면 형상을 지닌 압출물의 형상과 일치하고 있다. 최종적으로 설계된 다이 형상과 원하는 압출물의 단면 형상을 Fig. 4에 함께 비교하여 나타내었다. 관의 중심부분에서 직교 방향일 때 부풀음은 상대적으로 많이 이루어지고 있음을 알 수 있고 관중심에서 대각선 방향의 부풀음은 오히려 최종 압출물이 다이의 형상보다 약간 줄어듦을 알 수 있다.

이상에서 고찰한 바와 같이 본 연구의 주안점은 압출물 부풀음에 대한 수치모사를 통하여 보다 견고한 치수 안정성을 요구하는 압출다이를 설계하여 프로화일 압출다이의 제작을 위한 예측 설계자료로 활용할 수 있다는 점이다. 앞으로 보다 더 일반적이고 정교한 수치모사를 하기 위해서는 다양한 형상에 대한 검증이 요구되며, 비등온 공정, 점탄성 유체, 단섬유강화 고분자 복합재료 압출제조에 적용하기 위한 연구 분야의 확대, 다이 설계 기법에 대한 연구 뿐만 아니라 수치모사를 위한 전처리, 후처리 기능을 지원해 줄 CAD(Computer Aided Design) 및 그래픽 기능의 접목 과정도 중요한 연구분야가 될 것이다.

(a)                             (b)

Fig. 3. Perspective view of a three-dimensional finite element mesh

(a) initial mesh, (b)  final mesh.

Fig. 4. Cross-sectional view of converged die shape(solid line) for square

extrudate(dotted line): 1/4 view of square extrudate end.

참고문헌

1. M. B. Bush and N. Phan-Thien, J. Non-Newt. Fluid Mech., 18, 211 (1985).

2. T. Tran-Cong and N. Phan-Thien, J. Non-Newt. Fluid Mech., 30, 37 (1988).

3. A. Karagiannis, A. N. Hrymak and J. Vlachopoulos, Rheol. Acta, 28, 121 (1989).

4. T. Shiojima and Y. Shimazaki, J. Non-Newt. Fluid Mech., 34, 269 (1990).

5. H. J. Mayer, C. Stiehl, E. Roeder, J. Mater. Processing Technol., 70, 145 (1997).