열교환을 고려한 다품종 회분식 공정의 생산순서와 최적설계

김정찬, 이범석, *이의수

경희대학교 화학공학과,*동국대학교 화학공학과

Optimal Design and Production Sequence of Multi-Product Processes

for Heat Integration

Jeongchan Kim, Bomsock Lee, *Euysoo Lee

Department of Chemical Engineering, Kyunghee University

*Department of Chemical Engineering, Dongguk University

서론

회분식 공정은 최근들어 공정상의 특징인 유연성으로 인해 고분자, 생화학, 제약 등 여러분야에 널리 사용되어 지고 있으며 몇몇 회분식 공정에서는 에너지 사용량이 생산경비의 많은 부분을 차지하고 있다. 따라서 회분식 공정의 에너지 비용절감에 관련된 연구가 다방면에서 진행되어지고 있다. 본 논문에서는 다품종 회분식 공정에서 열교환 뿐만 아니라 제품의 생산 순서까지 함께 고려하여 수학적 모델 해석을 통한 설비비용 및 에너지비용의 최소를 목적으로 하고있다.[1]

본론

본 최적화 문제를 푸는데 있어서 두 부분으로 나누어, 첫 번째는 생산계획과 생산시간을 결정하는 부분, 두 번째는 열교환을 고려한 부분으로 나누어 설명하고자 한다.. 물론 구하고자 하는 최적화 문제의 정확한 해를 구하기 위해서는 이 두가지가 동시에 고려되어야만 한다. 본 논문에서는 실제공정에서 많이 쓰이는 Zero Wait(ZW) policy를 지키며, 단위공정간에 이동하는 batch간의 열교환을 수행하는 countercurrent 열교환방식을 가정하였다.

1. 생산계획

제품의 생산 순서를 결정하는 제약조건들은 제품[eqn: p]가 제품순서 [eqn: i]에 생산될 때 1의 값을 가지는 이산변수(binary variable) [eqn: X_{p,i}]와 각 장치에서 제품의 생산이 끝나는 시간 [eqn: TE_i,k]으로 나타낼 수 있다.

[eqn: X]의 값은 생산순서를 정하는 이산변수이므로 한 순서에 해당하는 각각의 제품중 단 한개의 값만이 1을 가지며 나머지는 0의 값을 가진다.

[eqn: SUM from { p } X_{p,i} =1]    ([eqn: p=1,cdotscdots,P] )                    (1)

하나의 제품은 단지 하나의 순위만을 가지므로 한 순위에서만 1의 값을 가지고 나머지는 0이 된다.

[eqn: SUM_{i} X_p,i =1]    ([eqn: i=1,cdotscdots,I] )                     (2)

각각의 장치에서 각 제품의 생산이 완료되는 시간을 [eqn: TE_i,k] , 공정이 시작되는 시간은 [eqn: TI_i,k] ,  제품의 단위공정시간(unit processing time)은 [eqn: T_{p,k}]라고 하자.

[eqn: TE_i,uk]는 바로 앞의 장치에서 같은 제품의 생산이 끝나야만 다음 장치로 넘어가기 때문에 결국에는 끝나는 시간과 그 제품에 해당하는 단위공정시간을 더한 값보다 크거나 같아야 한다.

[eqn: TE_i,k >= TE_i,k-1 + SUM from { { p}} X_{p,i} T_{p,k}]                   (3)

유사하게 [eqn: i]번째 제품이 장치 [eqn: k]를 떠나려면, [eqn: i-1] 번째 제품이 다음 장치로 이동해야만 가능하다.

[eqn: TE_i,k >= TE_i-1,k + SUM from { { "p"}} X_p,i} T_{"p",k}]                   (4)

장치 [eqn: k+1]이 제품 [eqn: i-1]에 대한 공정을 끝내야만 [eqn: i]번째 제품은 장치 [eqn: k]에서 장치 [eqn: k+1]로 이동할 수 있다.

[eqn: TE_i,k >= TE _{i-1,k+1}]                          (5)

제품 생산의 공정이 끝나는 시간은 공정이 시작하는 시간([eqn: TI_i,k])과 각 장치에 대한 제품의 단위공정시간과의 합으로 표현될 수 있다. 각 제품이 모두 한번씩 생산되는 총 생산주기는 각 장치에서 모든 제품의 생산이 시작해서 한 번씩 끝나는 시간중 가장 큰 값이 되므로

[eqn: T_CT >= SUM from { {k}=1} TE_i,k - TI_i,k]    ([eqn: k=1,cdotscdots,K])                 (6)

가 된다.

각 제품의 일회 생산량([eqn: B_p])은 생산요구량([eqn: R_p])을 생산횟수([eqn: T/T_CT])로 나눈 식으로 구할 수 있고, 각각의 단위공정에서 제품 [eqn: p]의 생산량([eqn: B_p])을 처리하기 위한 장치의 크기는 [eqn: S_{p,k} B_p]로 표현되어질 수 있다. 여기서 [eqn: S_p,k]는 size factor 이다. 공정의 초기설계 단계에서 장치의 크기가 결정되면 각 장치의 구입비용은 대부분 [eqn: a_k {V_k}^ b_k] 의 형태와 같은 지수법칙으로 예측할 수 있으며[4], 이때 [eqn: a_k , b_k]는 장치 [eqn: k]에 대한 비용상수이다. 따라서 회분식 공정의 설비비용은 각 단위장치 구입비용의 합으로 나타내어 진다.

2. 열교환

회분식 공정에서  열교환을 이루기 위해서는 두 batch간의 이동시간이 서로 같은 시각에 이루어져야 하며, 두 batch간의 이동시각이 같을 경우에만 열교환이 이루어지고, 이를 수학적 모델을 하기 위하여는 이산변수를 사용한다.[1]

본 연구의 목적은 회분식 공정 장치의 설비비용의 최소화와 회수되는 에너지비용의 최대화이므로 회분식 공정 전체설비의 사용 년수를 [eqn: n]년이라고 가정하면, 목적함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.[1,5]

Objective function = minimize[eqn: SUM from { k=1 } a_k V_k ^b_k -n SUM cQ_k times (T/T_CT )]      (7)

Figure. 1. Multiproduct batch processes consisting of 8 units

적용예제

다품종 회분식 공정에서 생산순서와 열교환을 고려하지 않은 경우, 생산순서만 고려한 경우, 생산순서와 열교환을 모두 고려한 경우를 각각 비교하여 설명하고자 한다. 예제로써 Figure 1에서 보는 바와 같이 주어진 공정은 8개의 회분식 장치로 5개의 서로다른 제품을 생산해 내는 다품종 회분식 공정이다. 1년간 공정운전시간([eqn: T] )은 8,000hr로 가정하고, 제품간의 열교환에 필요한 data는 Table. 1과 같다. 본 예제에서는 위에 설명한 최적화 모델을 적용시키고 이를 상용 프로그램인 GAMS/DICOPT,MINOS를 사용하여 구할 수 있다. 생산순서와 열교환이 고려되지 않을 경우(Figure. 2)에는 $1,559,081의 장치비용이 고려되어지며, 생산순서를 고려할 경우(Figure. 3) $1,448,801이 필요하다. 마지막으로 생산순서와 열교환이 동시에 고려되어질 경우(Figure. 4)에 $1,708,801이 필요한데, 이는 열교환이 고려되어질 경우 생산시간이 늘어나 장치비용이 증가하였기 때문인데 에너지 회수 비용을 함께 고려할 경우 $430,000가 절약되므로 실제 비용은 $1,278,801이 된다. 더 많은 장치와 열교환 기회를 가지는 복잡한 공정에 본 연구의 최적화 모델을 적용시킴으로써 장치비용과 에너지 회수 비용을 함께 고려한 회분식 공정의 최적 설계 및 생산계획을 얻을 수 있으리라 기대된다.

참고문헌

1. Lee, B. and Reklaitis, G. V.: Computers Chem. Engng. 19, 883(1995).

2. Mignon, D. and Hermia, J.: Computers Chem. Engng. S17, S51(1993).

3. Vaklieva-Bancheva, N., Ivanov, B. B., Shah, N. and Pantelides, C. C.: Computers Chem. Engng. 20, 989(1996).

4. Peters, M. S. and Timmerhaus, K. D.: "Plant Design and Economics for Chemical Engineers", McGraw-Hill, New York, NY(1991).

5.조익상, 이범석, 이인범, 이의수: 화학공학 36(4), 601(1998)

감사

이 논문에 지원해주신 한국과학재단에 감사드립니다.

Figure. 2. Process schedule of multiproduct batch process with production sequence and heat integration.

Figure. 3. Process schedule of multiproduct batch process with only production sequence

Figure. 4. Process schedule of multiproduct batch process with production sequence and heat integration.

Table. 1. Batch stream heat requirements

	C, [kJ/kg℃]	Ts, [℃]	Td, [℃]	status
Product 1(→unit 5)	3.9	84	240	cold
Product 2(→unit 3)	3.2	360	110	hot