Subspace 기반 Model-free 예측 제어기를 이용한 연속식 중합반응기에서의 물성제어

유기윤, 정붕군, 송인협, 이현구

서울대학교 응용화학부, 화학공정 신기술 연구소

Polymer Quality Control in a Continuous Polymerization Reactor Using Subspace-based Model-free Predictive Controller

Kee-Youn Yoo, Boong-Goon Jeong, In-Hyoup Song, and Hyun-Ku Rhee

School of Chemical Engineering and Institute of Chemical Processes

Seoul National University

서 론

LQG(Linear Quadratic Gaussian) 제어와 같은 많은 현대제어 기법들은 제어기를 설계하기 위하여 상태공간 모델을 사용한다. 그러나 모델이 없을 경우 제어기를 설계하기 위해서는 우선 입출력 데이터를 사용한 공정 식별을 수행하여 상태공간 모델을 구성한다. 그리고, Kalman 필터를 사용하여 시스템의 상태변수를 추정하고 마지막으로 이를 이용하여 LQ 제어기를 설계하게 된다. 본 연구에서는 이런 세 가지 단계를 거치는 대신에 subspace 모델 식별 기법을 이용하여 입출력 데이터로부터 직접 예측제어기를 설계하고자 한다. 기존에는 Kalman 필터를 계산하기 위하여 Riccati 방정식들을 풀어야 했으나 subspace 기법에 기반한 방법을 이용하면 입출력 데이터로 구성된 Hankel 행렬을 QR-decomposition 함으로써 같은 결과를 얻을 수 있으며 이를 이용하여 제어기를 용이하게 설계할 수 있다.

모델을 식별하지 않고도 입출력 데이터로부터 직접 최적의 제어기를 계산하는 방법은 Hjalmarsson(1994) 등에 의해 처음 시도되었으며, 그후  Favoreel 등(1998)은 subspace 모델 식별법에 기반하여 최적의 미래의 출력을 예측하는 방안을 고안하여 LQG 설계에 적용하였다. 본 연구에서는 Favoreel 등이 제안한 알고리듬을 확장하여 subspace 식별 기법에 기반한 예측제어기를 설계하고 이를 이용하여 연속식 중합 반응기에서 고분자의 물성을 제어하는 연구를 수행하였다.

고분자 중합 반응

고분자 중합 반응기구는 개시반응, 성장반응, 종결반응 및 연쇄이동반응으로 구성되며, 스티렌 중합 반응의 경우에는 결합에 의한 종결 반응만 존재한다. 이를 바탕으로 연속식 중합 반응기내의 개시제, 단량체 및 용매에 대한 물질 수지식, 활성고분자 농도와 비활성 고분자 농도 각각의 0 차, 1 차 및 2 차 모멘트에 대한 수지식, 그리고 에너지 수지식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

[eqn: &d(IV) over dt ~=~ I_f q_f - I q + (-k_d ) IV~ ,~~` d(SV) over dt ~=~ S_f q_f - S q +(-k_trs S G_0 ) V` # &d(MV) over dt ~=~ M_f q_f - M q + left { -2fk_d I -(k_p + k_trm ) MG_0 right } V`~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]

[eqn: { d ( G_0 V ) } over dt &=~ -qG_0 + ( 2`f``k_d `I - k_tc `G_0 ^2 )V # { d ( G_1 V ) } over dt &=~ -qG_1 + left { 2`f`k_d`I + k_p`MG_0` -k_tc`G_0 G_1 + (k_trm M + k_trs S)(G_0 - G_1 ) right } V# { d (G_2 V) } over dt &=~ -qG_2 + left { 2`f``k_d `I + k_p M ( G sub 0 + 2 G sub 1 ) - k_tc G sub 0 G sub 2 + ( k_trm M + k_trs S)(G sub 0 - G sub 2 ) right } V`]    [eqn: { d (F_0 V ) } over dt &=~ -qF_0 + left { 0.5 k_tc G sub 0 ^2 + (k_trm M + k_trs S ) G sub 0 RIGHT }V # { d (F_1 V ) } over dt &=~ -qF_1 + left { k_tc G_0 G_1 + ( k_trm M + k_trs S ) G_1 right } V # { d (F_2 V ) } over dt &=~ -qF_2 + left { k_tc ( G_0 G_2 + G_1 ^2 ) + (k_trm M + k_trs S ) G_2 right } V`]

[eqn: {d ( ( rho C_p ) _m V T )} over dt ~=~ ( rho C_p )_m q_f T_f - (rho C_p )_m q T + ( - Delta H_p ) k_p M G_0 V - UA ( T - T_j )]  여기서 Gk(k=0, 1, 2)와 Fk (k=0, 1, 2)는 각각 활성 고분자 농도와 비활성 고분자 농도의 k 차 모멘트를 나타내고, □Hp는 중합 반응열, U는 총괄 열전달 계수, A는 열전달 면적을 나타내며, qf는 공급물의 유량, q는 배출물의 유량을 의미한다.

본 연구에서는 젤 효과를 고려하기 위해 Hamer 등(1981)이 사용한 다음과 같은 종결 반응의 속도 상수식을 사용하였다.

[eqn: & g(X,T ) ≡ k_t over k_{t`` 0} = exp [ -2(Ax+Bx^2 + Cx^3 ) ]`,~~x=X(1-f_s ) # & A = 2.57 - 5.05×10^-3 T , ~ B = 9.56 - 1.76×10^-2 T, ~C = -3.03 + 7.85×10^-3 T]  여기서 X는 단량체의 전환율, x는 부피 분율이 fs인 용매가 존재할 때의 단량체 전환율을 나타낸다.

Subspace 식별법

다음과 같은 상태공간 시스템을 고려한다.

[eqn: x_k+1 &= A x_k +Bu_k +Ke_k, #y_k &=C x_k +Du_k +e_k]                      (1)

[eqn: u_k IN R^m], [eqn: y_k IN R^l], [eqn: x_k IN R^n]는 각각 입력, 출력, 상태변수를 나타낸다. K는 정상상태의 Kalman 필터 이득이며, 백색 잡음 [eqn: e_k IN R^n] 는 다음과 같은 공분산 행렬을 갖는다.

[eqn: E[e_p e_p^T ] =S delta _pq]	(2)

사용되는 입출력 데이터는 열린 루프에서 얻은 것을 사용한다. 다음과 같은 행렬의 입출력 방정식을 구성하고,

[eqn: Y_f &= GAMMA _i X_f +H_i U_f +H_i^s E_f# Y_p &= GAMMA _i X_p +H_i U_p +H_i^s E_p]

[eqn: U_p == PMATRIX { { u_0}& {u_1 }& { CDOTS }& {u_j-1}# {u_1 }& {u_2 }& {CDOTS }& {u_j}# { DOTSVERT }& { DOTSVERT }& { DDOTS }& {DOTSVERT}# {u_i-1 }& {u_i }& {CDOTS }& {u_i+j-2} },~~ U_f == PMATRIX { { u_i}& {u_i+1 }& { CDOTS }& {u_i+j-1}# {u_i+1 }& {u_i+2 }& {CDOTS }& {u_i+j}# { DOTSVERT }& { DOTSVERT }& { DDOTS }& {DOTSVERT}# {u_i+i-1 }& {u_2i }& {CDOTS }& {u_2i+j-2} }]     (3)

Block Hankel 행렬 [eqn: Y_p ,`Y_f``와~E_p ,`E_f]도 같은 방법으로 정의한다.

[eqn: X_p`` 와~X_f]는 식 (4)과 같이 정의하며 계산의 편의를 위해 [eqn: W_p]를 정의하여 사용한다.

[eqn: X_p &==(x_0~~ x_1 ~~ CDOTS~~x_j-1 )#X_f &==(x_i ~~ x_i+1 ~~ CDOTS~~x_i+j-1 )],  [eqn: W_p = PMATRIX { { Y_p}# {U_p }}]               (4)

위와 같이 주어진 [eqn: W_p]와 미래의 입력 [eqn: U_f]는 식 (5)와 같은 선형 예측기를 이용하여 미래의 출력 [eqn: Y_f]의 최적의 예측치를 얻는데 사용된다.

[eqn: hat {Y }_f =L_w W_p +L_u U_f]                       (5)

여기에서 [eqn: L_w~]와 [eqn: L_u]는 다음의 목적함수를 최적화 하는 값이다.

[eqn: &{ min} atop { SCALE60 L_w ,L_u} } left | left| Y_f - ( L_w~ L_u ) PMATRIX {{W_p }# {U_f } } right| right| _F^2 #]                   (6)

위의 목적함수의 해는 다음과 같다.

[eqn: hatY_f =Y_f /_U_f W_p + Y_f /_W_p U_f]                     (7)

위와 같은 미래의 출력 [eqn: Y_f]의 최적의 예측치를 직접 계산하는데는 단순한 QR-decomposition 만을 사용하기 때문에 실제 공정에 적용하기가 매우 용이하다는 장점을 가지고 있다.

[eqn: PMATRIX { { W_p}# {U_f }# {Y_f }}= PMATRIX { { R_11}& {0 }& {0 }# {R_21 }& {R_22 }& {0 }# {R_31 }& {R_32 }& {R_33 } } PMATRIX { { Q_1^T}# {Q_2^T }# {Q_3^T}}]               (8)

식 (8)과 같이 QR-decomposition을 계산하고, L을 다음과 같이 정의하면

[eqn: L=( R_31 ~R_32 ){ PMATRIX { {R_11 }& {0 }&# {R_21 }& {R_22 }}} ^+]                (9)

[eqn: Y_f / PMATRIX { {W_p }# {U_f } }=L PMATRIX { {W_p }# {U_f } }]임을 알 수 있으며, L을 이용하여 [eqn: L_w`와 ~L_u] 를 식 (10)과 같이 계산할 수 있다.

[eqn: L_w = L(:,1`:`N(m+l))` ,~~L_u =L(:,N(m+l)+1`:`end)]          (10)

예측제어기 - A subspace approach

예측제어기를 설계하기 위해 기존의 방법으로 목적함수 J를 푸는 대신에 J를 다음과 같은 형태로 재정의한다.

[eqn: J={hat y_f}^T Q hat y_f + u_f^T R u_f]                         (11)

여기서 [eqn: hat y_f`와 ~u_f]는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: hat y_f == PMATRIX { {hat y_1 }# {hat y_2 }# { DOTSVERT }#{hat y_N} }~~,~~~u_f == PMATRIX { { u_1}# {u_2 }# {DOTSVERT }# {u_N }}]                      (12)

이때 [eqn: hat y_f =L_w w_p + L_u u_f] 와 같이 계산할 수 있으므로 이를 J에 대입한 후 J를 최소화하는 제어 입력을 QP를 사용하여 계산하면 공정의 제약조건을

Figure 1. Servo and regulatory performance of subspace-based model free predictive controller for conversion and weight average molecular weight.

고려하여 예측제어기를 구현할 수 있다

결 론

연속식 스티렌 중합공정에 대하여 과거의 입출력 데이터를 이용하여  subspace에 기반한 열린 루프의 model-free 예측제어기를 설계하였다. 자켓 온도와 반응 혼합물의 유랑을 제어 입력으로 하여 전환율과 질량평균 분자량을 제어하였는데, block Hankel 행렬을 계산하는데 사용되는 과거의 입출력 데이터의 수가 충분히 많지 않을 경우 시스템이 불안정하였으며 그 수가 많을수록 제어 성능이 우수하였다. 그러나 실제 공정에 적용할 때에는 입력과 출력사이의 상관관계로 인하여 제어상의 문제가 발생할 위험이 있는 데 이를 해결하기 위해서 닫힌 루프에서의 model-free 예측제어기를 설계하는 기법이 필요하다.

감 사

본 연구는 포항공과대학교 공정산업의 지능자동화연구센터를 통한 한국과학재단 우수연구센터 지원금에 의한 것입니다.

참고 문헌

1. W. Favoreel, B. De Moor, M. Gevers and P. Van Overschee., Tech. Rep. 98-34, Katholieke Universiteit Leuven,(1998).

2. P. Van Overschee and B. De Moor, Subspace Identification for Linear Systems: Theory, Implementation, Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, (1996).

3. H. Hjalmarsson, S. Gunnarsson, and M. Gevers, Proc. of the 33th Conference on Decision and Control, (1994).