등온으로 가열되는 경사진 다공질층에서 자연대류의 와류 불안정성

이동호, 최창균, 윤도영*

서울대학교 공과대학 화학공학과

광운대학교 공과대학 화학공학과*

Vortex Instability of Natural Convective Flow in a Saturated Porous Medium over Isothermally Heated Inclined Surface

D. H. Lee, C. K. Choi and D. Y. Yoon*

Department of Chemical Engineering, Seoul National University

Department of Chemical Engineering, Kwangwoon University*

서론

경사면위를 흐르는 유체층에서의 와류 불안정성에 대해 여러 연구자들[1-3]이 실험과 안정성해석을 수행하였으며, 다공질층에서도 몇몇 연구자들[4-5]이 유사한 내용을 발표하였다. 다공질층에서의 운동식은 유속이 느릴 때는 Darcy의 법칙을 따르지만 투과도나 다공도가 클 경우에는 관성의 영향이 커져 Darcy의 법칙에서 벗어나며 이러한 경우에는 Forchheimer 유동모델을 따른다. 본 연구에서는 전파이론을 적용해 경계층흐름을 보이는 경사진 다공질층에서 관성의 영향을 고려하여 안정성해석을 수행하였다.

이론

본 연구에서는 Fig. 1과 같이 정상상태 경계층흐름을 보이는 계에서 경사면이 등온(Tw)으로 가열되는 계에 대해 고려하였다. 그리고, 다음과 같은 지배방정식을 사용하였다.

[eqn: rm TRIANGLED CDOT vec u `=`0]                              (1)

[eqn: rm {{ mu} over {K } vec u} + {{rho _r `b}} LEFT | vec u RIGHT | vec u} `=`rm-{ TRIANGLED p} +{rho vec g}]                   (2)

[eqn: rm vec u CDOT TRIANGLED T`=` TRIANGLED CDOT LEFT ( alpha _m TRIANGLED T RIGHT )]                      (3)

여기에서 사용한 운동식은 관성의 영향을 고려한 Forchheimer 유동모델이며, K는 투과도, b는 관성계수이며[eqn: rm alpha _m]은 유효열확산도이다. 우선 기본상태에 대한 지배방정식에 경계층 가정을 적용하고 크기위수 해석을 통해 다음과 같은 무차원 변수들을 도입하였다.

[eqn: rm zeta ={z over x}(Ra_x cos alpha )^1/2]                       (4)

[eqn: rm PSI = alpha _m (Ra_x cos alpha )^1/2 F( zeta )]                    (5)

[eqn: rm theta _0 `=` { T_0 -T_ INF } over {T_w -T_ INF }]                         (6)

[eqn: rm Ra_x``=``{g`beta`K`x`DELTA T} over {alpha _m` nu}]                        (7)

여기에서 [eqn: zeta]는 열경계층 깊이에 기준한 유사변수이며 F,[eqn: theta _0]는 무차원 흐름함수와 무차원 온도이다. 그리고,[eqn: rm Ra_x]는 Darcy-Rayleigh 수이며 계를 불안정하게 하는 부력에 관계되는 인자와 점도나 열전도도와 같은 안정화 인자 사이의 균형을 나타낸다. 이러한 무차원화를 통해 얻어지는 기본유동식은 다음과 같다.

[eqn: rm F'= theta _0 -barGr (F')^2]                        (8)

[eqn: rm theta _0 ''=- { 1} over {2 } F theta _0 ']                         (9)

[eqn: rm F(0)= theta _0 (0)-1= theta _0 ( INF )=0]                    (10)

[eqn: rm barGr``=`` {g`beta`b`K^2`DELTA T} over {nu^2} cos alpha]                    (11)

여기에서[eqn: rm barGr]은 변형된 Grashof 수이며 관성효과의 상대적인 중요성을 나타내는 낸다. 이와 같은 기본유동은 온도차가 클 때 평판에 수직으로 작용하는 부력성분에 의해서 불안정하게 되어 경사면의 하류구역의 어느 지점에서 정규와동형태의 2차 자연대류가 발생하여 열전달량이 증가된다. 2차 자연대류 발생지점에서 기본유동에 무한소의 교란량이 중첩된 교란된 유동에 대해 선형안정성이론과 Boussinesq 가정, 경계층가정을 적용한 후, 교란된 유동에 대한 방정식들을 열경계층 두께를 특성길이로 하는 유사변수[eqn: zeta]에 대한 무차원 형태로 나타내기 위해서, 주 흐름방향으로는 길이 L, 수직방향으로는 L에서의 열경계층 깊이의 차원을 갖도록 하기위하여 다음과 같은 무차원 변수들을 도입한다.

[eqn: rm (tildex ,tildey ,tildez )= { 1} over {L } (x{,{barRa}_L}^1/2 y{,{barRa}_L}^1/2 z)]              (12)

[eqn: rm ({tildeu}_0 {,tildew}_0 )= { L} over { alpha _m {barRa}_L} (u_0 {,{barRa}_L}^1/2 w_0 )]              (13)

[eqn: rm ({tildeu}_1 {,tildev}_1 {,tildew}_1 )= { L} over { alpha _m {barRa}_L} (u_1 {,{barRa}_L}^1/2 v_1 {,{barRa}_L}^1/2 w_1 )]    (14)

[eqn: rm theta _1 = { T_1} over {T_w -T_ INF } {{barRa}_L}^1/2 tan alpha]                  (15)

[eqn: rm {tildep}_1 = { K} over { mu alpha _m } p_1]                              (16)

[eqn: rm {barRa}_L``=``Ra_L cos alpha]                            (17)

여기에서 하첨자 □0□과 □1□은 각각 기본량과 교란량을 나타내며, 무차원 열경계층 깊이 [eqn: rm bar delta _T ({=tildex}^1/2 )] 를 사용한 새로운 무차원 변수들을 도입하면 교란량들은 다음과 같은 정규형식으로 표시할 수 있다.

[eqn: rm BMATRIX { {{tildeu}_1~~ }# {{tildev}_1````` }# {{tildew}_1`````` }# {{tildep}_1```` }# { theta _1 `` } } = BMATRIX{ {{bardelta_T}^2 ``````u^* ( zeta )`````}# {(1/bara ) v^* ( zeta )~ }# {bardelta_T````````` w^* ( zeta ) ``}# {{bardelta_T}^2 ``````p^* ( zeta )````` }# {bardelta_T ```````````theta ^* ( zeta ) } `} exp(i rm bara tildey )]                (18)

여기에서 상첨자 *는 각 교란량의 변환된 진폭함수를 나타내며,[eqn: rm bara]는 무차원 파수이다. 이러한 전파이론은 실질적인 열전달이 일어나는 열경계층 두께를 길이척도의 기준으로 하여 지배방정식의 모든 요소가 주 흐름방향 거리에 대한 동일위수를 갖도록 조정해서 가장 간단한 형태로 지배방정식을 유사변환시켜주며, 다른 연구자들과 달리 진폭함수들이 우선적으로 연속방정식을 만족시키는 형태로 변환이 이루어진다. 이러한 과정을 통하여 얻어지는 안정성 방정식은 다음과 같다.

[eqn: rm u^* = { theta ^* } over {{barRa}^* ``tanalpha ````(1+ bar Gr``` F') }]                   (19)

[eqn: rm (D^2 -{a^*}^2 )w^* = {1} over {2} ( zeta`` D^2 u^* -Du^* )- { {a^*}^2 theta ^*} over {1+ bar Gr``` F' }]

[eqn: rm + {bar Gr``` F'' } over {1+ bar Gr``` F' } ( { zeta } over {2 } Du^* -u^* -Dw^* )]           (20)

[eqn: rm (D^2 -{a^*}^2 ) theta ^* = { 1} over {2 } (F' theta ^* -F`D theta ^* )]

[eqn: rm {+barRa}^* ``tanalpha ````(w^* - { zeta } over {2 } u^* )D theta_0]           (21)

[eqn: rm w^* = theta ^* =0]     for[eqn: rm zeta =0] and[eqn: rm zeta ``-> INF]           (22)

여기에서 [eqn: rm D=d/d zeta], [eqn: rm a^* =bara ```bar delta _T],[eqn: rm {barRa}^* {={barRa}_L}^1/2 bar delta _T] 를 나타낸다. 위의 변환에서 x를 함축하고 있는 [eqn: rm a^*],[eqn: rm {barRa}^*] 등의 결정에 있어서, 많은 경계층흐름 문제들에서 유사한 가정을 사용한 것처럼, 이들은 x 의존성이 미약하여 상수로 사용할 수 있음을 고려하면 위의 안정성 방정식들은 [eqn: zeta]만의 상미분방정식으로 간주할 수 있다. 이 식들은 [eqn: rm bar Gr], [eqn: rm a^*],[eqn: rm {barRa}^* tan alpha] 에 대한 고유치 문제로 구성되는데, 서로 coupling되어 있어 엄밀히 풀기는 어렵고, 경계치 문제를 초기치 문제로 전환시켜 Runge-Kutta 법으로 적분하고, Newton-Raphson 법으로 오차를 줄이는 수치해석방법을 사용하였다.

결과 및 토론

Fig. 2는[eqn: rm bar Gr]의 변화에 따른 안정성곡선이다.[eqn: rm bar Gr]이 커짐에 따라 계가 더 안정한 것을 볼 수 있다. 이러한 결과는 관성의 영향에 의해 계가 안정화되어 열전달이 감소함을 보여준다. 여기에서[eqn: rm bar Gr]=0 의 경우는 관성의 영향이 배제된 Darcy의 법칙이 적용되는 경우에 해당하며, Hsu와 Cheng [4] 의 결과보다 더 큰 임계값을 보이고 있다. Fig. 3은[eqn: rm bar Gr]의 변화에 따른 임계 Darcy-Rayleigh 수의 변화를 보여주며,[eqn: rm bar Gr]이 1보다 작을 때는 Darcy의 법칙이 적용되는 영역으로 판단된다.  Fig. 4는 수직으로부터의 경사각[eqn: alpha]의 변화에 따른 임계 Darcy-Rayleigh 수의 변화를 보여주며, 수평에 가까울수록 계가 더 불안정해짐을 알 수 있다. Hsu와 Cheng [4], Jang과 Chang [5] 의 결과는 Darcy 영역에서의 결과이다.

참고문헌

1. Sparrow, E. M. and Husar, R. B. : J. Fluid Mech., 37, 251 (1969)

2. Lloyd, J. R. and Sparrow, E. M. : J. Fluid Mech., 42, 465 (1970)

3. Haaland, S. E. and Sparrow, E. M. : Int. J. Heat Mass Transfer, 16, 2355 (1973)

4. Hsu, C. T. and Cheng, P. : J. Heat Transfer, 101, 660 (1979)

5. Jang, J. Y. and Chang, W. J. : Int. J. Heat Mass Transfer, 31, 759 (1988)

Fig. 1. Schematic diagram of present study.               Fig. 2.[eqn: rm {barRa}^* tan alpha] vs. a* for various[eqn: rm bar Gr].

Fig. 3. Effect of[eqn: rm bar Gr] on critical conditions.                Fig. 4. Effect of [eqn: alpha] on critical conditions.