저장시간 및 저장탱크의 제약을 고려한 회분식 공정의 생산계획 모델개발

하진국, 이의수

동국대학교 화학공학과

Production scheduling in multiproduct batch processes

with storage time and storage tank restrictions

Jin Kuk Ha, Euy Soo Lee

Dep. of Chemical Engineering, Dongguk University

1. 서론

회분식 공정에서 생산효율의 증대방안에 관한 기술 중 하나로 한 장치에서 병목현상(bottleneck)이 생길 때 그 장치 이전의 모든 장치에 생기는 조업대기현상을 완화시키기 위해 각 회분식 장치들 사이에 중간저장조를 사용한다. 이러한 회분식 공정에서 공정내의 중간저장조의 크기, 위치, 및 역할에 따라 UIS, NIS, FIS, ZW 등 4가지로 공정 운용 방안을 분류할 수 있다.

현재까지의 연구에서는 회분식 공정에서 모든 제품이 필요한 경우에 어느 중간저장조나 사용할 수 있는 경우에 대한 모델만을 개발하였다. 이러한 경우 중간저장조에서 한 제품이 중간저장조를 사용한 후에 다음 제품을 저장하기 위해서는 세척을 해야한다. 또한 정밀화학 제품들은 시간의 경과에 따라 제품의 물성이 민감하게 변하는 경시현상을 수반하는데 이러한 품질변화를 최소화하기 위해서는 중간저장조에서의 저장시간의 제약을 고려해야 한다. 따라서 본 연구에서는 각 중간저장조의 cleaning time을 최소화 하기 위해 회분식 장치들 사이에 중간저장조가 parallel하게 위치하고 있을 때, 각각의 중간저장조에 저장할 수 있는 제품에 제한을 두는 경우의 생산계획 모델을 개발하였다. 이때에 제품의 품질변화를 최소화하기 위해 각 중간저장조에서의 저장시간 제약을 고려하였다. 본 연구에서의 회분식 공정의 운용 방안은 실제 산업현장의 운용 방안인 NIS 와 ZW 운영 방안 각각에 대해서 그리고 NIS 와 ZW 의 운영 형태가 번갈아 발생하는 경우에 대한 모델에 대한 수식해를 구하였으며, 그래프 기법 및 몇 가지 예를 통하여 모델의 적용성을 검토하였다.

2. 본론

본 연구에서 제시한 공정형태는 장치와 장치 사이에 존재하는 중간저장조가 parallel하게 위치하는 공정형태로 그림 1.과 같다. 이때 중간저장조 S1 과 S2의 각 제품의 저장시간에 제약을 가지며, 또한 저장할 수 있는 제품이 제한 되어있는 경우에 대한 공정운영 형태이다.

그림 1. 대상구조

그림 1.에서와 같이 장치와 장치 사이에 중간저장조가 parallel하게 위치하고  중간저장조 S1 과 S2에 각 제품에 대한 저장시간제약과 저장할 수 있는 제품에 제한 있을 경우의 저장제한 시간을 □ijL 로 표시하였다. 여기서 i는 중간저장조의 위치 순서를, j는 제품을, L은 제품 j를 저장할 수 있는 중간저장조를 표시한다.

3. ZW-NIS 운용방안을 채택하고 있는 Serial구조

본 대상구조는 그림 1.의 구조에서 상류 공정이 ZW 공정운용을 하류 공정이 NIS 공정운용 방식을 채택한 구조로 ZW 공정의 마지막 공정에서 holding이 허용되지 않는 경우에 대한 모델식은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: C_1j = C_1(j-1) +a_1(j-1) +d_(j-1)j +t_1j]

[eqn: C_ij = C_(i-1)j +a_(i-1)j +t_ij] ( i = 2, 3, ∼ P-1 )

[eqn: &C_Pj =max LEFT { C_(P-1)j +t_Pj +a_(P-1)j # &~~~~~~~~~~,C_{(P+1)(j-1)} +a_{(P+1)(j-1)} +s_{(P+1)(j-1)j}-alpha_1jL RIGHT }]

[eqn: &C_ij =max {left{ C_(i-1)j + t_ij +k_i a_(i-1)j, ~C_i(j-1) +t_ij +a_i(j-1)} # &~~~~~+s_i(j-1)j +a_(i-1)j , ~C_{(i+1)(j-1)} +a_{(i+1)(j-1)} +s_{(i+1)(j-1)j}right}]                                                               ( i = P+1 ∼ M )

Makespan = [eqn: C_NM + a_NM]

여기서

[eqn: & delta _j = [C_{(P+1)(j-1)} + a_{(P+1)(j-1)} + s_{(P+1)(j-1)j} +a_Pj ] #&~~- [C_P(j-1) +d_(j-1)j ^** +a_P(j-1)+ s_{P(j-1)j} + t_Pj +a_(P-1)j + alpha_1jL ]]

[eqn: d_ij = d_ij ^* + max LEFT {~ 0,~ delta _j~~ RIGHT }]

[eqn: &d_ij ^* = max"{" s_1ij +a_0j , SUM from k=2 to P [t_ki +a_ki ]+s_Pik -t_1j #&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- sum from k=2 to P-1 [t_kj +a_(k-1)j ] "}"]  [eqn: &d_ij ^** = d_ij ^* +t_1j + SUM from k=2 to P-1 [t_ki +a_(k-1)i ]# &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-s_Pij - sum from k=2 to P [t_ki +a_ki ]]

4. NIS-ZW-NIS 운용방안을 채택하고 있는 Serial구조

그림 2.과 같이 일반적인 회분공정인 NIS 와 ZW 의 두 가지 운용형태가 번갈아 발생하는 구조로 ZW 공정의 마지막 공정인 UQ에서의 holding을 허용하지 않은 경우에 대한 제품 j의 각 단위공정에서의 조업완료시간 및 makespan의 수식해는 다음과 같다.

그림 2. NIS-ZW-NIS serial구조

ZW 운용방침을 사용하는 첫 단위공정을 P+1, 마지막 공정을 Q라 하고 zM = ∞ 이면,

[eqn: &C_ij =max {left{ C_(i-1)j + t_ij +k_i a_(i-1)j, ~C_i(j-1) +t_ij +a_i(j-1)} # &~~~~~+s_i(j-1)j +a_(i-1)j , ~C_{(i+1)(j-1)} +a_{(i+1)(j-1)} +s_{(i+1)(j-1)j}right}]

( i = 1, 2 ∼ P-1, Q+1 ∼M )   (1)

[eqn: &C_Pj =max{left{ C_(P-1)j + t_Pj +a_(P-1)j }# & ~~~~~~ { , C_P(j-1) +t_Pj +a_P(j-1) +s_P(j-1)j +a_(P-1)j }# &~~~~~~~~~~~,C_{(P+1)(j-1)} +a_{(P+1)(j-1)} - alpha_1jL + d_(j-1)j right}}]                     (2)

[eqn: &C_(P+1)j =max"{"C_Pj +k_i a_Pj # &~~~~~,~ C_{(P+1)(j-1)} +d_(j-1)j +a_{(P+1)(j-1)}"}"+t_(P+1)j]                       (3)

[eqn: C_ij = C_(i-1)j +a_(i-1)j +t_ij]  (  i = P+2 ∼ Q-1  )                        (4)

[eqn: &C_Qj =max{left{ C_(Q-1)j + t_Qj +a_(Q-1)j }# & ~~~~~~ { , C_Q(j-1) +t_Qj +a_Q(j-1) +s_Q(j-1)j +a_(Q-1)j }# &~~~~~~~~~~,C_{(Q+1)(j-1)} +a_{(Q+1)(j-1)} +s_Q(j-1)j - alpha_2jL right}}]                     (5)

Makespan = [eqn: C_MN +a_MN]

여기서

[eqn: d_ij = d_ij ^* + max LEFT {~ 0,~ delta _j~~ RIGHT }]                                             [eqn: &d_ij ^* = max"{" s_(P+1)ij +a_Pj , SUM from k=P+2 to Q [t_ki +a_ki ]+s_Qij -t_(P+1)j #&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- sum from k=P+2 to Q-1 [t_kj +a_(k-1)j ] "}"]    [eqn: &d_ij ^** = d_ij ^* +t_(P+1)j + SUM from k=P+2 to Q-1 [t_kj +a_(k-1)j ]# &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-s_Qij - sum from k=P+2 to Q [t_ki +a_ki ]]  [eqn: & delta _j = [C_{(Q+1)(j-1)} + a_{(Q+1)(j-1)} + s_{(Q+1)(j-1)j} +a_Qj ] #&~~- [C_Q(j-1) +d_(j-1)j ^** +a_Q(j-1)+ s_{Q(j-1)j} + t_Qj +a_(Q-1)j + alpha_2jL ]]

5. 예제

그림 2.와 같은 운영형태를 가지며, 회분공정 장치는 6개이다. 장치와 장치 사이에 parallel하게 위치한 중간저장조의 수는 각각 2개가 있고 생산하고자 하는 제품의 수는 4개일 경우에 대한 각 장치에서의 조업완료시간 및 makespan을 계산한 결과이다. 여기서 각각의 중간저장조의 저장제한 시간은 □ijL=10이며, □1j1={1, 4}, □1j2={2, 3}, □2j1={1, 2), □2j2={3, 4}로 두었다. U2 와 U3는 ZW 공정이다.

Table 1.의 Data를 식(1)∼(5)를 가지고 계산한 각각의 Cij값과 Makespan값은 다음과 같다. C11=3, C21=14, C31=23, C41=35, C51=41, C61=50 ,C12=21, C22=25, C32=42  C42=46, C52=65, C62=74, C13=38, C23=46, C33=59, C43=64, C53=84, C63=96, C14=47, C24=57, C34=74, C44=82, C54=101, C64=106, Makespan=109.

본 결과를 그림 3. 과 그림 4. 의 Gantt Chart로 나타내었다.

6. 결론

조업완료시간을 나타내는 알고리듬의 개발은 점차 실제공정에서 일어나는 세부적이고 특수한 상황을 표현해 주는 방법을 개발하는 방향으로 발전되어져 가고 있다. 회분식 공정은 연속공정에 비하여 생산효율에 커다란 제한을 받게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위하여 일반적으로 회분식 공정 내에서 중간저장조를 설치함으로써 공정의 흐름에 완충지대를 형성, 생산성 향상을 기하게 된다. 본 연구에서는 중간저장조가 장치와 장치 사이에 parallel하게 위치할 때 각 제품에 중간저장조의 저장시간이 제약이 있고 각 중간저장조에 저장할 수 있는 제품에 제한이 있을 때의 조업완료시간을 최소화하기 위한 공정운용 모델을 개발하였다. 또한 각 모델에 대한 수식해를 구하였다.

Table 1. Date for example

Processing times       Transfer times               Set-up times

1  2  3  4          1  2  3  4                   1  2  3  4

2  4  5  1      0

1  1  6  9  5          3  1  2  4      1

2  8  2  6  2          2  3  3  5      2         1   -  5  3  4

3  5  7  3  7          4  2  2  4      3         2   1  -  2  3

4  8  2  3  4          1  5  4  3      4         3   3  4  -  1

5  4  9 10  1          3  3  4  2      5         4   4  2  2  -

6  6  6  8  3          3  4  4  3      6      product

unit                                   unit

* 중간저장조의 저장제한시간 □1jL=□2jL= 10

그림 3. 예제의 Gantt Chart 1

그림 4. 예제의 Gantt Chart 2

6. 감사

본 연구는 한국과학재단의 특정 기초 연구(과제번호 96-0502-08-013) 연구비 지원에 의해 이루어졌으며 지원해 주신 한국과학재단에 감사드립니다.

7. 참고문헌

1. Wiede JR., W., K. Kuriyan and Reklaitis, G.V., Determination of               completion times for serial multiproduct processes-2, Comput. Chem.          Engng.,  11, pp. 345-356 (1987).

2. Kim, M. S., Jung, J. H. and Lee, I. B., Optimal scheduling of multiproduct     batch processes for various intermediate storage policy, Ind. Eng. Chem.       Res, 35, 4058 (1996).