Hele-Shaw 셀에서 2상 유동에 관한 연구

백 충 기, 전 영 호*, 조 은 수*, 최 창 균

서울대학교 공과대학 화학공학과

A Study of Two-Phase Flow in Hele-Shaw Cell

C. K. Baig, Y. H. Chun*, E. S. Cho*, C. K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

*R&D Center, Kumho Chemicals, Inc.

서론

2상유동특성에 관한 연구는 가스사출성형, 유정, 충전탑 등 여러 공정의 기본원리를 파악하는 데에 널리 활용되고 있다. 특히 TV cabinet, 자동차 부품 등 플라스틱 제품이 점점 대형화되고 복잡한 형태를 띠게 됨으로써 가스사출성형법의 중요성은 더욱 강조되고 있다.

대부분의 2상유동실험에서 기체로는 공기나 질소등을 사용하고, 액체로는 물, 고분자 물질 등을 사용하는데, 해석의 간편화를 위해 뉴튼유체를 많이 사용한다. 또한 액체의 유변물성들이 기-액 계면에 어떠한 영향을 미치는가를 알아보기 위해 여러가지 첨가제를 넣은 실험이 많이 진행되고 있다.

본 연구에서는 2차원 해석이 가능한 Hele-Shaw 셀에서 기-액의 2상 유동 특성을 살펴보았다. 기체(저점도 유체)는 공기를, 액체(고점도 유체)는 실리콘 오일을 사용하여 저점도 유체인 공기가 일정량이 채워진 고점도 유체인 실리콘 오일을 밀어내면서 생기는 기포의 성장에 관해 실험적으로 관찰하면서, 정성적인 의미와 정량적인 수치를 도출하였다. 또한 결과 값들을 기존의 연구들에서 보고된 결과와 함께 비교하면서 실험결과에 대한 타당한 해석을 시도하였다.

이론

Hele-Shaw 셀은 1898년 영국의 Hele-Shaw[1]가 처음으로 고안한 장치로서, 2상유동특성을 파악하는 데 있어서 복잡한 3차원 유동대신 보다 간단한 2차원 유동으로 해석할 수 있게 하여 주었다. 이후 1958년 Saffman과 Taylor[2]는 이론적, 실험적으로 매우 체계적인 결과를 발표하였다. 이들 이론의 한계성을 보완하면서 McLean과 Saffman[3]은 기존 이론의 경계 조건에 표면장력항을 고려한 이론식을 제안하고, 새로운 매개인자로서 무차원수인 변형된 모세관수 Cam을 도출하였다.

[eqn: rm Ca`=`{muV}over gamma],   [eqn: rm Ca_m`=` 12`Ca` LEFT ( w overb RIGHT ) ^2]                      ⑴

여기서 □는 유체의 점도, V는 기포선단의 평균 속도, □는 두 상의 경계면에서 표면장력을 의미한다. 그리고 w와 b는 각각 셀의 너비와 두께이다

Tabeling 등[4]은 종횡비(셀의 너비/셀의 두께)에 따라 많은 실험데이터를 바탕으로 기존의 이론식과 비교하였다. 또한 Bretherton[7], Park과 Homsy[5] 등에 의해 많은 연구가 전개되어왔다. 조[8]는 고점도 실리콘오일을 사용하여 기포의 성장과 관련해 다각적인 연구결과를 발표하였다. 하지만 기포의 복잡한 유동특성을 정확히 해석한 이론식은 아직까지 밝혀지지는 않았다.

Hele-Shaw 셀에서 기본유동방정식은 다공 매질층에서의 흐름특성과 동일시하여 해석하고 있는데, 다음과 같다.

[eqn: rm DEL cdot u`=`0]                                  ⑵

[eqn: rm DEL P`=`- mu over Kappa V ~+~rho g]                       ⑶

여기서 □는 투과도, □와 □는 각각 유체의 점도와 밀도이며, g는 중력가속도이다. 또한 경계조건은 길이 평균 영역에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다[5].

[eqn: rm [n cdot u ]`=` O LEFT ( Ca^{2/3} ` )]                           ⑷

[eqn: rm [p]`=` {2 gamma} over b `[1+3.8Ca^{2/3}+ CDOTS ]`+`gamma over R`[1+O(Ca)]]              ⑸

여기서 n은 계면에서의 단위 수직 벡터, R은 곡률반경을 각각 나타낸다. 그리고 [ ]는 경계면에서의 압력과 운동량 등의 jump를 나타내고 있다.

Saffman과 Taylor는 표면장력을 고려하지 않은 기포 형태에 대한 이론식을 복소평면으로의 mapping을 통해 도출하였다[2].

[eqn: rm x={1-lambda}over pi ln 1 over2 LEFT [1+cos{pi y}overlambda RIGHT ]]                    ⑹

여기서 x와 y는 좌표축으로서 Fig. 1에 나타난 바와 같이 각각 기포의 주흐름 방향과 폭 방향을 나타낸다.

기포 성장에 영향을 주는 중요한 인자로서는 기포의 선단 속도, 오리피스 직경, 셀의 너비과 두께, 모세관수 Ca와 변형된 모세관수 Cam이 있다. 특히 Cam은 기포의 무차원 너비□(기포의 너비/셀의 너비)와 안정성 여부를 판단하는 데 아주 중요한 매개인자이다. 본 연구에서는 조와 마찬가지로 수평셀에 부분적으로 액체를 채운 후 공기를 불어 넣어 기포의 성장에 미치는 여러 인자들을 파악하였다. 특히 Cam의 정의시에 사용된 기포의 선단속도 대신 오리피스에서의 사출 속도를 사용했는데, 이는 실용적인 측면에서 아주 유용할 것이라 본다.

실혐

본 실험장치의 셀의 아랫면과 옆면은 금속판으로 구성되어있고, 윗면은 아크릴판으로 덮어놓아 대기와의 접촉을 방지했다. 그리고 실리콘 오일이 옆으로 새는 것을 방지하기위해서 클램프를 사용해 일정 간격으로 조여놓았다. 셀 폭은 10 □이고, 길이는 50 □이다. 두께는 조절이 가능하게 구성되어 있으며 본 실험에서는 2, 3, 5 □를 사용하였으므로 종횡비는 각각 50.0, 33.3, 20.0이다.

셀 앞부분은 공기가 사출되는 지점으로서 주입부에 직경 1.2 □의 구멍이 있고, 공기 사출은 실린지 펌프를 사용하였다. 가스 유량은 0.52 ∼ 27.2 □/min까지 9단계로 조절하여 사출하였다. 실험에 사용된 실리콘오일은 KF96 제품으로 동점도가 298.15 K에서 50, 100, 350, 500, 1000 cSt인 5 종류를 사용하였다. 온도는 온도조절기를 사용해 25oC를 유지하였다. 기포 성장의 중요한 요소인 점도는  Rheometrics사의 RMS-800E 점도계를 사용하여 측정하였다.

공기 주입후 기포의 성장은 셀위에 설치된 비디오카메라를 이용해 촬영하고 다시 화면을 통해 분석하여 기포의 속도, 폭, 형태, 불안정성의 시점등 여러 데이터를 얻었다. 이 데이터들은 컴퓨터로 저장하여 기포의 성장과 관련된 여러 인자들을 다각적으로 분석, 도시화하였다.

결과 및 토론

본 연구에서는 공기유량, 실리콘오일의 점도 그리고 셀 두께를 변화시키면서 다양하게 실험하여 기포의 크기와 안정성의 주요인자인 Cam을 측정하였다. 실험결과 Cam의 범위는 3.77 □ 7370 이고, 측정된 □값의 범위는 0.44 □ 0.78 이었다.   조는 □와 Cam의 선형관계를 제안하였는데[8], 본 실험결과는 Fig. 4에서 보듯이 비선형의 관계를 갖는 것으로 나타났다. 조의 결과와 비교해 볼 때 Cam이   1000까지는 일치하다가 그 이상에서는 다르게 나타났다. 이 차이는 조의실험에 사용된 실리콘오일의 점도가 본 실험에 비해 매우 크기 때문이라 판단된다.       Fig. 4에서 주목해야 할 점은 두께가 5 □인 경우에는 □값들이 같은 곡선위에 있지 않는다는 것이다. 두께가 2, 3 □인 경우 Tabeling 등[4]의 결과와 비교해 볼 때 거의 일치하였다. 이는  Cam만이 □값에 영향을 미치는 인자가 아님을 말해주는 것이다. 즉 다른 인자가 □값에 영향을 끼쳐 그만큼 Cam의 기여도가 떨어진 것으로 분석할 수 있다. 그 인자는 중력이라고 판단되는데, 곧 2차원 해석인 Hele-Shaw 방정식에서 벗어난 것이다. 이 시스템과 관련해 중력의 영향은 무차원수인 Bond수로서 판단할 수 있다.

[eqn: rm Bo`=`{rho g b^2}over gamma]                               ⑸

여기서 b는 셀의 두께이고, □와□는 각각 유체의 밀도와 표면장력이다.

Park 등은 Bo값이 대략 1.5 이상에서 중력의 영향이 있는 것으로 보고한 바 있다[6]. 본 실험에서는 두께가 2 □에서 Bo값이 1.8, 3 □에서 4.1, 5 □에서 11.3으로 나타났다. 따라서 중력의 영향을 중요하게 간주하는 것이 타당하다고 본다.

□값의 크기와 함께 본 연구의 중요한 목적중 하나는 바로 기포 성장에 있어서 불안정성의 시점을 찾는 것이다. 안정한 기포는 Fig. 2에 나타난 바와 같이 기포선단이 둥근 형태를 갖으면서 일정하게 성장한다. 하지만 기포의 속도, 액체의 점도 등이 커짐에 따라 점점 불안정성이 보이다가 결국 분기(splitting)를 하게된다. 이와 관련해 불안정성의 임계점을 결정하는 데 있어 무차원 매개인자 Cam이 중요한 지침이 되고 있다. 이 수치에 대해서는 지금까지 많은 연구발표가 있었는데, 각기 불안정의 시점을 기준하는데 있어서 달리 해석함에 따라 차이가 있었다. 특히 기포의 분기 시점을 기준으로 발표한 연구결과가 많이 있었다. 하지만 본 연구에서는 이를 기준으로 하지 않고, 초기 기포 성장에 있어서 기포선단이 변형된 모양을 띠기 시작할 때를 불안정성의 시점으로 간주했다. 본 실험에서의 불안정성의 시점은  Cam□700인 것으로 나타났다. Fig. 3에서 보면 기포의 선단부분이 둥근 형태의 안정된 모양이 아니라 뾰족한 모양을 띤다. 이 형태는 조 등이 발표한 분기 TypeⅠ에 포함된다[9].

참고문헌

1. Hele Shaw, H. S., Trans. Intn Nav. Archit., Lond. 40, 21 (1898).

2. Saffman, P. G. and Taylor, G. I., Proc. Roy. Soc. A 245, 312-329 (1958).

3. McLean,J. W. and Saffman, P. G., J. Fluid Mech. 102, 455-469 (1981).

4. Tabeling, P. Zocchi, G. and Libchabar, A., J. Fluid Mech. 177, 67-82          (1987).

5. Park, C.-W. and Homsy, G. M., J. Fluid. Mech. 139, 291-308 (1984).

6. Park, C.-W., Marurada, S. R. and Yoon, D.-Y., Phys. Fluids 6, 3267-3275      (1994).

7. Bretherten, F. P., J. Fluid Mech. 10, 166-187 (1961).

8. 조은수, □Hele-Shaw 셀에서 가스사출에 따른 2상 유동 특성에 관한 실험적      연구,□ 서울대학교 박사논문 (1996).

9. Cho, E.-S., Yoon, D.-Y., Choi, C.-K., and Hwang, I.-G., Proc. 4th World      Conf. Experimental Heat Transfer, Fluid Mech. and Thermodynamics, 4,      2143-2150 (1997).

Fig. 3. Onset of instability in              bubble propagation.

Fig. 4. Non-dimensional bubble           width vs. Cam with cell           depth of 2, 3 and 5 □.

Fig. 1. Experimental apparatus

Fig. 2. Stabilized bubble

propagation.