뉴튼유체 점성에 대한 Simplified Brake Theory

II: 간단한 액체에 대한 계산

박성훈, 김원수*, 최동식

고려대학교 화학과, 홍익대학교 금속공학과

Simplified Brake Theory of Newtonian Fluids

II: Calculations of Simple liquid

Sung-Hoon Park, Wonsoo Kim*, and Tong-Seek Chair

Department of Chemistry, Korea University, Seoul, 136-701

Department of Metallurgical Engineering, Hong-Ik University*

서론

Mean free path개념을 사용한 Maxwell의 기체 점성식을 받아들인 이후 많은 이론학자들에 의해 액체점성에 대한 연구가 시작되었으며 액체의 점성은 기체와는 전혀 다른 메카니즘에 의한 것으로 여기게 되었다. 즉, 액체의 밀도가 매우 크기 때문에 기체에서의 기체분자의 충돌에 의한 모멘텀 전달과는 달리 액체에서는 주위분자들에 의한 분자간 힘에 의해서 모멘텀을 전달할 것이라는 생각을 하게되었다. 이러한 생각을 바탕으로 1946년 Kirkwood의 이론을 시작으로 1952년 Green, 1956년 Longuet-Higgins등의 이론등 많은 이론들이 나왔으며 1960년대에도 PNM이론, BBR이론 등의 이론으로 액체점성의 실체를 밝히는데 상당한 기여를 했으나 이들 이론들은 모두 실용적인 계산에는 도움이 되지 못하는 한계성을 드러냈다. 따라서 액체에 대한 점성식에서는 아직도 Andrade, Batschinski- Hildebrand등의 많은 실험식을 사용하고 있는 상황이다.

Simplified Brake theory에서 제시한 점성식은 기존의 서로 다른 메카니즘으로 인식한 기체, 액체 점성의 다른 거동을 모멘텀을 전달하는 두 가지의 전달체 (carriers), 즉 분자자체와 분자주변의 vacancy,의 mean free path를 적절히 고려하여 한 식으로 설명하였다.

본 논문에서는 이러한 개념이 실제 점성계산에 어느정도 부합되는지 확인하기 위해 간단한 유체의 점성을 계산해 보고자 한다.

이처럼 유도된 점성식은 기본적인 열역학 실험치, 어떤 온도에서의 부피와 열용량값, 만으로 계산할 수 있으며, Ar, N2, CH4와 같은 간단한 분자의 기체와 액체 영역에서 실험치와 매우 잘 맞음을 알 수 있었다. 또한 유체의 상태에 따라 기존의 점성식, 기체에서의 Maxwell의 점성식, 액체에서의 Batschinski의 실험식의 형태로 압축되며 임계점에서의 점성도 예측할 수 있었다.

이론 및 계산

Brake 점성이론에서 제시한 점성의 의미는 단위 충돌당 유체분자의 충돌과 인력의 결과로 나타나는 제동력의 합이다. 즉 점성은 유체의 충돌에 기여하는 항과 분자간 인력에 기여하는 항의 합으로 표현되며 다음과 같다.

[eqn: eta = eta _{K}+ eta _{I}]                                               (1)

이것은 마치 자동차 brake의 제동력이 실린더의 유압과 바퀴접촉되는 횟수에 동시에 비례하는 것과 유사하므로 위 식을 점성에 관한 Brake model이라고 하겠다. 식(1)의 오른쪽 첫 번째 항은 유체의 kinetic pressure에 비례하고 두 번째 항은 internal pressure에 비례한다. 이때 비레항은 유체의 relaxation time에 해당되며 이 값은 mean free path와 평균속도의 비가 된다. 즉 [eqn: tau = lambda /v] .

위에서 밝힌 Brake 점성식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

[eqn: eta = (2T alpha_{P}/ beta _{T}-P )=(2T alpha_{P}/ beta _{T}-P )/{(V gamma /M beta _{T})^{1/2} pi d^{2}n_{ph} }]    (2)

즉 위 식은 유체의 열팽창계수, 압축계수, 압력, 부피, 열용량비, [eqn: gamma =C_{P}/C_{V}]등의 열역학 변수를 알아야 계산할 수 잇는 불편함이 있었다. 그러나 앞 논문에서 밝힌 바대로 윗 식을 다음의 형태로 변환시키면 열역학 변수를 줄일 수 있다.

[eqn: eta = (P _{K}+ P_{I})/z=P _{K}(1+ { P_{I}} over {P _{K} } )( lambda /c)]                         (3)

위 식에서 PK와 음파속도의 비는 kinetic pressure와 sound velocity의 열역학 정의 그리고 다음의 관계식

[eqn: { C_{P}} over {C_{V} }-1= { TV alpha_{P}^{2} } over {C_{V} beta _{T} } = { MTc^{2}alpha_{P}^{2}} over {C_{P} }]                            (4)

을 사용하여 다음과 같이 CP, CV의 항으로 표현할 수 있다.

[eqn: {P_{K} over c}= { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2}]                         (5)

따라서 위 점성식을 다시쓰면 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta = { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} LEFT ( 1+ { P_{I}} over {P_{K} } RIGHT ) pi d^{2} n_{ph}]             (6)

위 식(6)는 기존의 Brake 점성이론을 간단화시켜 표현한 점성식이다.

위 식은 액체영역이나 dense gas 영역에서는 P<<PK 이고 PI□PK 이므로 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta _{liquid}= { 2(MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} CDOT pi d^{2}n_{ph}]                (7)

또한 분자간 인력이 작은 기체 영역에서는 internal pressure의 기여도가 매우 작기 때문에 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta _{gas}= { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} CDOT pi d^{2}n_{ph}]                  (8)

따라서 어떤 온도에서의 부피와 열용량 CP, CV를 알면 그 온도의 점성을 기체나 액체상태에 관계없이 한 식으로 계산할 수 있으며, 압력의 기여도에 따라 약산한 식(7)과 식(8)로도 계산할 수 있다.

식(6)-(8)을 사용하여 유체의 점성을 계산하기 위하여 분자의 직경 d를 다음과 같이 가정한다.

[eqn: d= { d}_{ INF } LEFT ( 1+C/T RIGHT )^{1/2}]                                      (9)

위 식은 분자간 충돌 직경을 고려한 Sutherland의 식과 같으며, parameter d∞의 물리적 의미도 같다. 이때 Sutherland 상수를 실험적으로 normal boilng temperature, Tb,에 1.8을 곱한 수를 사용한다.

Phonon의 수밀도는 입자수 밀도, N/V,에 비례하며 다음과 같다.

[eqn: n_{ph}=f LEFT ( N/V RIGHT )]                                          (10)

여기서 비례인자 f 는 유체의 자유공간의 비, (V-Vs)/V, 이고  이때 parameter Vs 는 매우 촘촘한 상태 즉 fluidity가 없어지는 상태의 액체 부피에 해당하며 대략 van der Waals b값 정도를 갖는다.

식(6)과 액체영역에서 간단화시킨 식(7)을 사용하여 간단한 유체, N2, Ar, CH4, CCl4, C6H6에 대해 saturated liquid state의 삼중점부터 임계점까지의 넓은 온도 범위에서 점성을 계산하였으며 Fig. 1.-5 에 나타내었다. 그 결과, Brake 점성식 (6)으로 계산한 결과와 간단화시킨 (7) 식으로 계산한 결과가 임계온도로 갈수록 약간의 차이가 있으나 많은 차이가 나지 않음을 알 수 있었으며 실험값과도 크게 차이가 나지 않았다.

따라서 우리의 간단화한 점성식은 기체, 액체 모두에 통용될 수 있음을 알았다. 사용한 parameter Vs, d∞는 모두 분자적인 정보, □,□에서부터 구할 수 있으므로 물리적으로 타당하며 임의의 파라미터는 없는 셈이다. 이때 사용한 파라미터는 Table 1에 표시하였다.

Table 1. Parametric values used in calculations

	N2 Ar CH4 CCl4 C6H6
do(Å) Vs(cm/mol)	3.749 3.418 3.882 5.29 5.349 30.76 26.42 34. 91.56 84.87

본 연구는 교육부 기초과학연구소 학술조성연구비 (BSRI97-3404)에 의하여 연구되었으며 이에 감사드립니다.

토론

본 논문에서 사용한 점성식은 분자적인 정보로부터 예측 가능한 2개의 parameter, Vs, d∞,와 기본적인 열역학 실험치, 어떤 온도에서의 부피와 열용량값, 만으로 계산할 수 있으며, Ar, N2, CH4, CCl4, C6H6와 같은 간단한 분자의 포화액체상태를 삼중점부터 임계점까지의 넓은 온도범위에서 실험치와 매우 잘 맞음을 알 수 있었다.

새롭게 정의한 열역학적 점성 개념과 유체의 momentum carrier(quasi-particle)를 고려한 점성식은 parameter와 계산에 필요한 물리량의 수를 줄일 수 있으므로, 복잡한 유체, 물, 헬륨, 액체금속, hydrocarbon, polymer등의 계산에 큰 도움이 될 것이며, 열전도도, 확산과 같은 다른 전달현상을 이해하는데 도움이 될 것으로 예상된다.