압출기의 온도 제어계 설계

엄용태, 박지연, 이광순

서강대학교 화학공학과

Design of Temperature Control System for an Extruder using Constrained MPC

Yong Tae Eom, Jee Yeon Park, Kwang Soon Lee,

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

압출기의 온도분포는 생산된 고분자 제품의 품질에 많은 영향을 미치므로 압출기의 운전시 압출기 각 지점별로 원하는 온도를 유지시키는 일이 매우 중요하다. 그러나 압출기내의 고분자가 이동하며 생기는 마찰열과 고분자의 이동방향으로 나타나는 심한 온도 간섭현상으로 인하여, 기존의 비집중화 SISO PID는 제한된 온도제어성능을 나타낼 수 밖에 없다. 본 연구에서는 좀 더 정밀한 압출기 온도제어를 실현하기 위하여, 간섭현상이 고려된 모델에 근거하여 앞먹임(feedfoward) 제어를 고려하고, 제품의 grade 변화에 대처하기 위하여 gain scheduling 기능이 부가된 제한조건이 걸려있는 SISO 모델예측제어 알고리즘을 제시하고, 수치모사를 통하여 그 성능을 확인하였다.

본론

압출 공정의 모델링

본 연구에서는 가장 많이 사용되고 있는 단축 스크류(single screw) 압출기를 대상으로 하였으며 그림1에 압출공정의 개략도를 보였다.

그림 1 압출 공정의 개략도

압출기는 고형수지 이송부, 용융부, 용융체 수송부로 나누어진다. 압출공정에서 배럴 각 지점의 온도제어는 일반적으로 그림 1에서처럼 배럴 주위를 감싸고 있는 전열기와 냉각수 유량을 조작하여 이루어진다. 온도센서는 고분자와 직접 접촉이 되도록 설치할 수 없으므로 각 온도제어 영역별로 배럴내 깊숙히, 고분자와의 경계면에 설치되는 것이 보통이다.

공정 모델링을 위하여 배럴부분의 에너지 수지식과 배럴내부의 고분자에 대한 질량과 에너지 수지식을 세워야 한다. 모델링에 사용된 배럴과 스크류의 기하학적 구조 및 사용부호는 그림 2와 같다.

그림 2. 배럴과 스크류의 구조

배럴부분의 에너지 수지식은 다음과 같다.

[eqn: {partial T} over {partial t} = alpha LEFT [ {partial^2 T} over {partial z^2} + partial over {partial r} left ( r {partial T} over {partial r}right ) RIGHT ]]

[eqn: &at ~~z=0, ~~~k {partial T} over {partial z} = h_a (T-T_a )# &at ~~z=L,~~~k {partial T} over {partial z} = h_a (T_a- T )# &at ~~r=R_1 , ~~~k {partial T} over {partial r} = h_b (T-T_p )# &at ~~r=R_2 , ~~~k {partial T} over {partial r} = q(t,z)]

여기에서 [eqn: T]는 배럴의 온도,[eqn: alpha]는 열확산계수, [eqn: h_a]는 대기와 배럴사이의 열전달계수, [eqn: h_b]는 고분자와 배럴사이의 열전달계수, [eqn: T_a]는 대기의 온도, [eqn: T_p]는 고분자의 온도이며, [eqn: q]는 전열기/냉각수에 의한 제어입력(가열량/제열량)을 의미한다.

고분자는 스크류를 따라 이동하므로 고분자의 이동방향을 좌표축으로 선택하는 것이 편리하다. 고분자에 대한 질량 수지식 및 에너지 수지식은 다음과 같다.

질량 수지식 :    [eqn: rho bar v W H = constnat]

에너지수지식 : [eqn: {partial T_p } over {partial t} = -bar v tan theta {partial T_p} over {partial z} + h over {H rho C_p} ( T(R_1 ) -T_p ) + h_s over { H rho C_p } ( T_s {(R_3 )} - T_p ) + {dot q_f } over {HW rho C_p }]

[eqn: at ~~ bar {z} =0,~~~ T_p = T_{p0}]

고형수지이송부 : [eqn: dot q_f =0]

용융부와 용융체수송부 : [eqn: dot q_f = {mu(T_p ) W v^2 } over H]

여기에서 [eqn: bar v]는 [eqn: bar z]축을 따라 이동하는 고분자의 선속도, [eqn: dot q_f]는 마찰열이다.

공정의 수치모델을 위하여 배럴과 스크류 부분은 시간에 대해서는 전방차분법, 공간에 대해서는 중심차분을 적용한 유한차분을 행하였다. 고분자부분은 특성방법(method of characteristic)을 이용하여 위의 식과 연립하여 수치해를 구하도록 하였다.

모델 예측 제어기의 설계

압출공정에서는 고분자 이동방향으로 온도에 대한 간섭이 발생한다. 따라서 제어영역 k를 기준으로 할 때, 영역 k - 1의 온도를 측정가능한 외란으로 간주하면 한 방향으로만 영향을 받는 각 영역별로 독립된 모델링이 가능하며 앞먹임제어를 결합하여 제어성능을 향상시킬 수 있게 된다. 일반적인 압출기는 성능한계로 인하여 가열량,제열량 및 그 변화율에 한계가 있으므로 제어입력에 제한조건이 있게 된다. 따라서 이러한 제한 조건을 고려하며, 앞서 구한 모델을 근거로 9개의 각 제어영역에 대하여 측정가능한 외란을 고려한 제한조건이 걸려있는 MPC를 적용하였다.

측정가능한 외란의 영향을 고려한 k 제어영역에서의 SISO MPC 알고리즘은 다음과 같다.

먼저 계단응답을 이용한 제어영역 k에서의 상태공간 모델은

[eqn: &Y_k ( t+1 ) = M Y_k (t ) + S_k^u TRIANGLE u_k(t-1) + H_k^y y_{k-1} (t) + w_k ( t)# & ~~~~y_k (t) = NY_k ( t) + v_k (t)]

으로 표현된다. 이 모델식에 대해 MPC를 위한 예측기를 구성하면, 다음과 같다.

상태 추정 :

[eqn: Y_k ( t vert t-1 ) = M Y_k (t-1 vert t-1 ) + S_k^u TRIANGLE u_k(t-1) + H_k^y y_{k-1} ( t-1 vert t-1)]

[eqn: Y_k (t vert t) = Y_k ( t vert t-1 ) + K_f ( y_k (t) - N Y_k ( t vert t-1 ) )]

출력 예측

[eqn: rm { Y_k} it ( t+1 vert t ) = M_p Y_k ( t vert t ) + S_k^u triangle U_k ( t) + H_k^y y_{k-1}(t vert t)]

여기에서 [eqn: Y_k ( t )]는 [eqn: [ y(t) ~y(t+1) CIRC circ circ y(t+n-1)]^T]로 정의되는 k번째 제어영역의 상태벡터, [eqn: S_k^u]는 단위계단응답계수를 갖는 행벡터, [eqn: H_k^y]는 임펄스응답계수를 갖는 행벡터, M은 shift operator, [eqn: K_f]는 Kalman filter이다.

제한조건이 걸려있는 이차성능지수를 만족시키는 해[eqn: triangle U_k (t)]를 quadratic programing을 통하여 풀었으며, [eqn: triangle U_k (t)]의 첫 번째 요소만을 공정에 적용하고 다음 샘플링 시점으로 이동하여 같은 계산을 전 영역에 대하여 반복하였다.

제한조건은 다음과 같다.

[eqn: u_min ~<= u_{k+l vert k} ~<= u_max]                  Input magnitude constraints

[eqn: vert triangle u_{k+l vert k} vert <= triangle u_max,~ l=0,...,m-1]  Input rate constraints

[eqn: y_min <=y_{k+j vert k} <= y_max, ~j=1,...,p]         Output magnitude constraints

또한 제품의 변화나 grade 변화와 같은 공정상황이 달라지는 것에 대처하기 위하여, 즉 한 제품의 압출 공정이 끝난 후, 다음 제품으로의 설정치로 전환, 그리고 전환된 설정치에서의 압출 공정이 연속적으로 이루어지도록, 각 공정상황에 대한 model을 identification하여 각각의 모델을 수립하여 운전모드에 맞게 각각 적용하는 gain scheduling 기능을 부가함으로 공정상황이 달라지는 것에 대처할 수 있도록 하였다.

수치모사

초기 정상상태에서 압출기로 들어가는 고분자는 HDPE로 하였으며, 1번째에서 9번째 제어영역에서의 설정온도는 각각 70℃, 85℃, 100℃, 110℃, 120℃, 130℃, 140℃, 150℃, 160℃로 가정하였다. 공운전후 압출기로 들어가는 고분자는 LDPE로 가정하여 grade change가 발생하는 것으로 하였으며, 설정온도는 70℃, 855℃, 100℃, 115℃, 125℃, 135℃, 145℃, 155℃, 165℃으로 설정치 변화가 발생하는 것으로 가정하였다. 제어입력 상,하한은 각각 ±100,000W/□, 제어출력인 압출기내의 각 영역의 온도 상,하한은 각각 ±200℃ 그리고 제어입력의 변화율은 매 Sampling Time마다 30,000W/□로 제한 조건이 걸리는 경우를 가정하였다. 다음은 제 2 영역과 제 5 영역에서의 온도센서 위치의 고분자 온도를 각각 10℃ 증가시키는 외란에 대한 제어기의 응답을 초기 고분자의 운전 그리고 grade change 후 두 번째 고분자의 운전모드에 대해서 수치모사한 결과이다.

결론

본 연구에서는 고분자공정의 압출공정에 대해 기존의 일반적인 SISO PID 제어의 문제점을 살펴 보고, 해결방안의 하나로서 모델예측제어를 적용하여 외란에 대하여 제어를 수행하였다. 전산모사의 결과에서 볼 수 있듯이 제한조건이 걸려있는 MPC를 적용함으로써 공정을 더 가깝게 모사하며,  압출공정에 있어서 앞 영역의 온도가 다음 영역에 미치는 외란의 영향을 제거하기 위하여 앞먹임 보상을 적용함으로써 기존의 SISO PID 제어보다 나아진 제어성능을 볼 수 있었다. gain scheduling 기능을 부가함으로 공정변화에 대처할 수 있는 가능성을 확인하였다.

참고문헌

1. J.-F. Agassant, P. Avenas, J.-Ph. Sergent and P.J. Carreau, "Polymer Processing.     Principles and Modeling", Oxford University Press, 1991.

2. S.J. Farlow, "Partial Differential Equations for Scientists and Engineers", John    Wiely & Sons, Inc., 1982.

3. 김성철 외, "고분자 공학 I", 희중당, 1994.

4. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar and Duncan A. Mellichamp, "Process        Dynamics and Control", John Wiely & Sons, Inc., 1989.