단순화된 챔버에서 온도 분포와 유속

이 석용, 한 현각, 민 병헌*

순천향대학교 화학공학과, 호서대학교 환경공학과*

Temperature Distribution and Air Flow Rate in the Simplified Chamber

Lee Sukyong, Han Hyunkak, Min Byunghun*

Chemical Engineering Department Soonchunhwang University,

Environment Engineering Department Hoseo University*

서론

유체의 흐름이 존재하는 챔버에서 유체의 흐름에 대한 연구는 많은 연구자들에 의하여 연구되어져 왔다. 그 유체가 물이 아닌 공기이고 또한 열의 전도가 아니라 대류가 일어나는 챔버에서 유체의 흐름과 온도 분포에 관한 연구 자료는 매우 희박하였다. 특히 물체가 음속이상으로 비행할 때 유체의 흐름에 의한 물체의 온도 변화 연구는 항공사나 미 항공 우주국에서 많이 연구되어 왔으나 그 유체의 온도 변화 연구는 전무한 실정이었다. 본 연구는 유체의 흐름과 온도 변화 연구에 적합한 Fluent code를 이용하여 유체가 공기일 때 챔버내에서의 유체의 흐름과 온도 분포에 대하여 연구하였다.

이론

Fluent code에서 온도 분포와 유속 계산에 사용되는 주된 방정식 중 연속체 방정식은 아래와 같이 쓸수 있으며

[eqn: { {PARTIAL rho} over {PARTIAL t}} + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} } (rho u_i ) = S_m]                                               (1)

2D 축대칭에서는 다음과 같이 쓸수 있다.

[eqn: rm {PARTIAL rho} over {PARTIAL t} + {PARTIAL over {PARTIAL x} {(rho mu)} + {PARTIAL over {PARTIAL gamma} (rho upsilon)}} + {rho upsilon} over gamma =S_m]                               (2)

Navior-stokes 식으로 유명한 모멘트 방정식은 다음과 같다.

[eqn: {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho mu_ i ) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i }(rho mu_i mu_j ) } = - {PARTIAL p} over {PARTIAL x_i} + {PARTIAL gamma _ij} over {PARTIAL x_j} + rho g_i + F_i]                     (3)

이때

[eqn: rm tau_ij = LEFT [ mu LEFT ({PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} + {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i} RIGHT ) RIGHT ] - 2 over 3 mu {PARTIAL u_l} over {PARTIAL x_l} delta_ij]                                   (4)

(3)식을 축방향과 반지름 방향으로 풀면

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho mu)} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x} (gamma rho u u ) } + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma } (gamma rho upsilon u)}~~~~ # rm = rm - {PARTIAL p} over {PARTIAL x} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x}} LEFT [ gamma mu LEFT ( 2 {{PARTIAL u} over {PARTIAL x}} rm - 2 over 3 ( TRIANGLED CDOT {->} atop {v} ) RIGHT ) RIGHT ] # rm + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma}} LEFT [ gamma mu LEFT ( {PARTIAL u} over {PARTIAL gamma} + {PARTIAL v} over {PARTIAL x} RIGHT ) RIGHT ] + F _x ~~~~~~~~~~~~]                         (5)

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho v)} + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL x} (gamma rho u v) } + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma} (gamma rho v v )} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ # rm = - {{PARTIAL p} over {PARTIAL gamma}} + 1 over gamma LEFT [ gamma mu LEFT ({PARTIAL v} over {PARTIAL x} + {PARTIAL u} over {PARTIAL gamma} RIGHT ) RIGHT ] rm + 1 over gamma {PARTIAL over {PARTIAL gamma} LEFT [ gamma mu LEFT ( 2 {PARTIAL v} over {PARTIAL gamma} - 2 over 3 { (TRIANGLED CDOT { ->} atop {v }) }} RIGHT ) RIGHT ] # rm - 2 mu v over gamma^2 + 2 over 3 mu over gamma (TRIANGLED CDOT { ->} atop {v })+ rho w^2 over gamma + F_gamma~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]     (6)

여기에서

[eqn: rm TRIANGLED CDOT { ->} atop {v } = {PARTIAL u} over {PARTIAL x} + {PARTIAL v} over {PARTIAL gamma} + v over gamma]                                          (7)

w 는 swirl velocity이다.

에너지 수지식을 현열 엔탈피 h로 나타내면

[eqn: rm { PARTIAL over {PARTIAL t} (rho h) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i h)} = {PARTIAL over {PARTIAL x_i} ( kappa + kappa_t ) {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i} - {PARTIAL over {PARTIAL x_i}} SUM from {j'} h_j' J_j'} # rm + Dp over Dt + (gamma_ik )_eff {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_kappa } + S_h ~~~~~~~]              (8)

여기에서

[eqn: rm h= SUM from { j' } m_j' h_j']                                                          (9)

[eqn: rm h_j' = INT _{ Tref}^{T } C_p,j' ~ dT]                                                   (10)

난류를 나타내는 속도식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

[eqn: rm u= {-} atop {u_i } +u_i ']                                                        (11)

여기에서 [eqn: rm {-} atop {u_i }]는 평균치이고 [eqn: rm u_i ']는 fluctuation 값이다.

식(11)을 (1)식과 (3)에 대입하여 풀어서 정리하면 다음 식을 얻을 수 있다.

[eqn: rm {PARTIAL rho} over {PARTIAL t} + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i )}=0]                                                 (12)

[eqn: rm {PARTIAL over {PARTIAL t} (rho u_i )}+{PARTIAL over {PARTIAL x_j} (rho u_i u_j )} = LEFT [ mu LEFT ( {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} +{PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_j} RIGHT )- LEFT ( 2 over 3 mu {PARTIAL u_l} over {PARTIAL x_l} RIGHT ) RIGHT ]# rm - {PARTIAL p} over {PARTIAL x_i} +{PARTIAL over {PARTIAL x_j} (-rho {---} atop {u_i ' u_j ' }) }]              (13)

(13)식에서 Reynolds stress는 Boussinesq 가정을 사용하면

[eqn: rm - rho {---} atop {u_i ' u_j ' } = mu_t LEFT ( {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_j} + {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i} RIGHT )- 2 over 3 LEFT ( rho kappa + mu_t {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_i} RIGHT ) delta_ij]                    (14)

여기에서 Gh는 turbulent stress에 의한 k의 생성항

[eqn: rm G_k = - rho { ---} atop {u_i ' u_j ' } {PARTIAL u_j} over {PARTIAL x_i}]                                                (15)

Gb는 부력에 의한 k의 생성항

[eqn: rm G_b = beta g_i mu_t over P_gammat {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i}]                                                    (16)

Prt 온도에 대한 turbulent Prandtl number이며 □는 themal expansion 계수이다.

[eqn: rm beta = - 1 over rho LEFT ( {PARTIAL rho} over {PARTIAL T} RIGHT ) _P]                                                     (17)

standard k-□모델에 의한 난류 열전달식은 아래와 같다.

[eqn: rm { PARTIAL over {PARTIAL t} (rho h) } + {PARTIAL over {PARTIAL x_i} (rho u_i h)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ # rm = {PARTIAL over {PARTIAL x_i} LEFT [ ( kappa + {mu_t} over {P gamma_t}) {PARTIAL T} over {PARTIAL x_i} RIGHT ] } + Dp over Dt + (gamma_ik )_eff {PARTIAL u_i} over {PARTIAL x_kappa } + S_h]                    (18)

모사자료

Air	Density	1.225kg/m3
	Cp	1006.43 j/kg-K
	Thermal conductivity	0.0242 w/m-K
	Viscosity	1.7894e-05 kg/m-s
Heater	Heat Transfer Coefficients	h=160+25v
	Heat Flux	1500 w/m2
	Initial Temp.	200℃(473K)
FAN	rpm	100

참고문헌

1. Bird, R.B., Stewart, W.E. and Lightfoot, E.N.: "Transport Phenomena", John Wiley

& sons (1960).

2. Arpaci, V.S. and Larsen, P.L.: "Convection Heat Transfer", Prentice-Hall Inc.

(1984).

3. "FLUENT USER MANUAL", FLUENT INC. (1996).

Fig. 1. Temperature Distribution after 1min startup.

Fig. 2. Temperature Distribution after 10min startup.

Fig. 3. Air Flow Rate after 10min startup.