쵸크랄스키 공정에서 결정직경에 미치는 성장변수의 영향

왕 종 회, 김 도 현

한국과학기술원 화학공학과, 대전, 305-701

Effects of Growth Parameters on the Crystal Diameter in Czochralski Process

Jong Hoe Wang, Do Hyun Kim

Department of Chemical Engineering, KAIST, Taejon 305-701, Korea

서론

오늘날 반도체 산업에 이용되는 핵심 반도체 재료중 하나는 실리콘 웨이퍼로서 전체 반도체 산업의 95% 이상이 실리콘 웨이퍼를 기본소재로 하여 반도체 제품이 생산되고 있으며, 실리콘 웨이퍼의 90% 이상이 쵸크랄스키법에 의한 단결정으로부터 제조되고 있다. 쵸크랄스키 공정은 용융액으로부터 단결정을 성장시키는 액상성장이기 때문에 필연적으로 고온 분위기 아래에서 행해지게 된다. 이러한 고온 분위기 아래에서 성장되는 반도체 단결정의 품질은 결정성장 시스템내에서 상호 영향을 미치는 열전달, 물질전달, 용융액의 유체흐름에 많은 영향을 받는다.

최근 20여 년간에 쵸크랄스키 공정에서 조업조건과 최종 단결정의 품질사이에 인과관계를 이론적으로 규명하는 데에 많은 연구가 수행되었으며, 이들은 결정성장시스템에 열전달, 물질전달, 유체흐름 등의 이동현상이론들을 적용한 것이다[1]. 바꾸어 말하면, 단결정 성장에서 이동현상을 이해함에 의해 성장된 단결정의 품질에 미치는 공정변수의 영향을 이해하고 공정변수의 변화에 따른 단결정의 품질변화에 대한 예측을 가능하게 함으로써 기존의 쵸크랄스키 공정을 개선할 수 있다. 본 연구에서는 Derby의 2차원 의사정상상태 모델식[2]을 보완하여 사용하였으며, 쵸크랄스키 시스템내에서의 온도분포, 실리콘 고/액 계면의 위치와 형태, 실리콘 액상과 기상사이의 물질표면의 위치와 형태 그리고 결정직경을 동시에 구할 수 있다. 이는 자유경계문제에 해당하며 이를 수치해석방법을 사용하여 해석함으로써 시스템내의 온도분포, 결정직경, 고/액 물질계면과 기/액 물질표면의 형태와 위치를 동시에 구하였으며 성장되는 결정직경에 미치는 공정변수의 영향을 고찰하였으며 결정직경의 제어에 관해 고찰하였다. 본 연구를 통해서 자유경계문제를 해석할 수 있는 수치해석방법을 수립하였다.

모델링 및 수치해석

쵸크랄스키 공정을 사용하여 실리콘 단결정 성장에 대한 수학적 모델의 기하학적 구조를 Fig. 1에 나타내었다. 계산영역은 결정과 용융액, 쿼쯔 라이너와 도가니 (crucible) 영역이다.

쵸크랄스키 시스템내에서 결정, 용융액, 라이너와 도가니영역에서의 온도장을 결정하기 위한 무차원 지배방정식은 다음과 같다.

[eqn: \Pe {partial theta} over {partial z} = K_s~ nabla ^2 theta ``]

(1)

[eqn: 0 = K_m~ nabla ^2 theta``]

()

[eqn: 0 = K_l nabla ^2 theta``]

()

[eqn: 0 = K_c nabla ^2 theta``]

()

여기서, Ki≡ki/ks로 정의되는 무차원 열전도계수이다.

고/액 계면의 위치는 다음과 같이 열역학적 평형조건으로부터 구해진다.

[eqn: theta = 1.0~~~~~ {\along~ \the~ \melt ~/ \solid~ \inter\face }``]

()

기/액 계면은 다음과 같은 지배방정식으로부터 구해진다.

[eqn: 2 H = \Bo `(h_1 + lambda )]

()

여기서 2H는 평균 곡률이며 □는 기준 압력(base pressure)이다. 성장되는 결정의 직경과 기준 압력을 결정하기 위한 지배방정식은 다음과 같다.

[eqn: {partial h_1 } over {partial r} | _{r = R_s} + cot phi^* = 0 ``]

()

[eqn: V_m over {2 pi} = int_0^R_s h_0 r dr + int_{R_s} ^1 h_1 r dr ``]

()

위의 지배방정식으로부터 해를 구하기 위해서 경계조건이 필요하며, 사용되어진 무차원 경계조건을 나열하면 다음과 같다. 먼저 고/액 계면에서 결정화시 발생하는 잠열을 고/액계면에서의 경계조건으로 고려하였다. 잠열효과를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: K_m {bold n} cdot nabla theta``|_m - K_s {bold n} cdot nabla theta``|_s = \Pe \St ``({bold n} cdot {bold e_z} ) ``]

()

메니스커스 표면을 결정하기 위해서 pinning 조건과 no-wetting 조건을 사용하였다.

[eqn: h_1 (R_s ) = h_0 (R_s ) ``]

()

[eqn: {partial h_1} over {partial r} | _{r =R_s} = 0]

()

온도장을 결정하기 위한 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: -K_j ~( {bold n_j} cdot nabla theta``) = \Bi, _j ~(theta-theta_a ``) + \Rad _j~ (theta^4 - theta_a ^4 ``)~~~~~j = 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10]

()

[eqn: -K_j ~( {bold n_j} cdot nabla theta ``) = \Bi, _j ~(theta-theta_a ``) + \Rad _j~ (theta^4 - theta_h ^4 ``)~~~~~j = 4, 6]

()

수학적 모델식으로부터 해를 구하기 위해 수치해석방법을 사용하였다. 계산영역을 차분화시키기 위해서 Galerkin 유한요소법을 이용하였으며, 생성된 비선형 대수방정식을 풀기 위해서 Newton법을 사용하였으며, 수치적분을 위해서 9점 Gauss 적분을 행하였다. Galerkin 유한요소법에서 유한요소는 9마디 Lagrangian 유한요소를 사용하였으며, 온도에 대해서는 쌍이차 기초함수를 사용하였고 두 물질계면에 대해서는 일차원 이차기초함수를 사용하였다.

결과 및 토의

수학적 모델식과 수치해석방법을 이용하여 주어진 성장변수에 대해 해를 구하였다. 전체 계산영역에서의 온도분포, 고/액 계면, 기/액 표면, 기본압력 그리고 결정직경이 동시에 해로 구해진다. 수치해의 정확성을 고찰하기 위해서 유한요소의 수를 증가시키면서 해의 수렴성을 조사하였다. 가장 변화가 크게 나타나는 결정의 직경을 특성변수로 설정하였다. 이의 결과를 Table 1에 정리하였다. Table 1의 결과로부터 성장변수의 영향과 결정직경의 제어를 위한 수치해는 Mesh 5를 사용하여 해를 구하였다. 표준공정조건에서의 해를 사용된 유한요소의 모양과 함께 Fig. 2에 나타내었다.

성장변수가 변화함에 따라 결정직경의 변화를 고찰하였다. 결정직경에 영향을 미치는 가장 중요한 인자중에 하나는 결정성장속도다. 결정성장 속도의 변화에 따른 영향을 고찰하기 위해서 무차원수인 Pe수를 변화시키면서 결정반경의 변화를 고찰하였으며 Fig. 3에 나타내었다. 결정성장속도가 증가함에 따라 성장결정의 반경이 단조적으로 감소함을 볼 수 있으며, 결정직경을 제어하기 위해서 다음과 같은 식을 사용하였다. 이는 원하는 결정직경(Rset)을 얻기 위한 성장변수를 결정하기 위해 사용되었다.

[eqn: R^i = R - R_{set} ``]

()

Fig. 3에 주어진 조건에서 원하는 결정반경을 얻기 위한 Pe수를 함께 나타내었다. 결정직경에 영향을 미치는 성장변수중 하나인 가열기 온도의 영향을 고찰하였으며 이를 Fig. 4에 나타내었다. 가열기 온도가 증가함에 따라 성장결정의 반경이 감소함을 볼 수 있으며, 결정직경 제어식을 이용하여 원하는 결정직경을 얻기 위한 가열기 온도를 결정할 수 있었다. 이 경우 역시 다른 성장변수는 고정시킨 상태에서 해석한 결과이다.

참고문헌

[1] Brown, R. A.: AIChE J., 34, 881(1988).

[2] Derby, J. J.: Ph. D. Dissertation, MIT, Massachusetts, USA(1986).

Table. 1 Mesh refinement to study the convergence of the numerical solution.

Mesh type	# of FE	# of total unknown	Crystal Radius	difference %
Mesh 1	136	628	0.7425	17.11
Mesh 2	544	2,340	0.6155	11.13
Mesh 3	1,224	5,140	0.5469	7.65
Mesh 4	2,176	9,028	0.5051	5.58
Mesh 5	3,400	14,004	0.4769	4.26
Mesh 6	4,896	20,068	0.4566

※ Difference % is calculated as

difference % of Mesh i = [CR of Mesh i - CR of Mesh i+1]/CR of Mesh i × 100

Fig. 1. The numerical domain of the model.

Fig. 2. Mesh shape and the sample results for the standard condition using Mesh 5. (Pe=0.11, □h=1.2)

Fig. 4. Effects of the heater tempera-

ture on the crystal diameter. (Pe=0.11)

Fig. 3. Effects of the crystal growth rate on the crystal diameter. (□h=1.2)