열교환기 망에서의 냉각수 흐름 분석 및 조절

이 형 탁, 이 범 석

경희대학교 화학공학과

Cooling Water Flow Analysis and Control in Heat Exchangers Network

Hyungtak Lee, Bomsock Lee

Dept. of Chem. Eng., Kyunghee University

서론

파이프 망에서의 압력이나 흐름의 정상상태 분석은 공학에서 아주 중요한 문제로 인식되어지고 있다. 파이프 내에서의 유체의 현상을 표현하고 있는 기본적인 수력학적 수식들은 반복법에 의해서 해결되어지는 비선형 방정식들이다.(Ormsbee and Wood, 1986) 컴퓨터 프로그램 내에서 사용되어지는 수학적 풀이 방법은 주로 적은 용량의 컴퓨터에서 사용되어지는 Hardy Cross 방법이 있으며, 빠른 문제 해결을 위해서는 용량이 큰 컴퓨터에서 행렬을 사용하는 방법이 제시되어져왔다.(Nielsen, 1989) 파이프를 흐르는 물의 흐름에 의한 압력 손실은 일반적으로 Hazen-Williams식을 사용한다. 컴퓨터 프로그램 내에서 파이프 망의 수학적 모델은 실제 파이프 망과 가깝게 나타내기 위해서 거칠기 값 같은 보정 인자 혹은 파이프 지름 같은 설계인자들이 명확하게 정의 되어져야한다.(Boulos and Wood, 1990)

현재 대부분의 화학공장 또는 정유공장에서 사용되고 있는 열교환기 망을 흐르는 냉각수의 흐름을 분석하기 위해서 각 지점마다 유량계를 설치하는 일은 현실적으로 어려운 점이 많다. 본 연구에서는 앞서 언급한 파이프 망에서의 유체흐름분석 방법을 응용하여 유량계를 사용하지 않고도 열교환기 망을 이루는 각 열교환기를 통과하는 냉각수의 유량을 정확하게 계산하려고 한다. 이를 위해서 우선 열교환기 망을 구성하는 파이프와 열교환기 각각을 연결하는 지점 별로 흐르는 냉각수의 물질 수지식을 각 지점의 압력을 변수로 하여 나타내어지는 적절한 실험식을 연립방정식 형태로 표현한다. 이렇게 표현되어진 열교환기 망에 대한 비선형 연립방정식을 효과적으로 풀 수 있는 수치 해석적인 방법을 찾아내고자 한다.

본 연구의 최종 목표는 열교환기 망에서의 또다른 문제점으로 지적되고 있는 냉각수의 초기 설계유량과 열교환기를 통과하는 냉각수의 실제 유량이 일치하지 않는 것에 대한 해결책을 찾아내는 것이다. 즉, 이러한 문제가 발생할 경우 열교환기 후미에 연결된 파이프의 밸브를 최대한 연다고 하여도 냉각수의 유량이 원하는 만큼 흐르지 않는다면, 설계 당시의 파이프 지름을 수정하는 방법밖에 없다. 이러한 경우 교체될 파이프의 직경은 다른 열교환기에도 영향을 미치게되므로 교체여부와 정도를 결정 짓는데 있어서 신중을 기해야 할 것이다.

실험식

급수설비의 설계와 분석에 일반적으로 널리 사용되는 파이프 내에서의 유체의 거동을 표현한 실험식은 Hazen-Williams식이다. 다음 식(1)에 Hazen-Williams식을 나타내었다.(Hammer and Mark J., 1986)

Hazen-Williams식은 마찰인자에 관한 항인 [eqn: C_H~]값이 파이프 내부의 거칠기 정도에만 의존하기 때문에 실제 사용에 편리한 이점이 있다. 여기서,[eqn: Q``]는 파이프                        [eqn: Q=~C_H`D^2.63 left({DeltaH over {C``L} }`right)^0.54]                    (1)

내부를 흐르는 유체의 유량, [eqn: DeltaH``]는 두 지점간의 압력차, [eqn: D``]와 [eqn: L``]은 각각 파이프의 직경과 길이를 뜻한다.

연립 방정식의 유도

파이프 망을 구성하고 있는 연결지점중 한 지점 i에 대해서 그림(1)에서와 같이 지점 j에서 유입되는 유량을 [eqn: Q_ji~]라고 하고 외부 환경으로부터의 유입 또는 유출되는 유량을 [eqn: Q_i~]라고 하면 식(2)과 같이 나타낼 수 있다.

j

[eqn: Q_i~]

[eqn: Q_ji~]

i               [eqn: sum from j=1 to N Q_ji ``+``Q_i ~=~0 ~~(i=1,cdots,N`)]    (2)

그림(1)  연결지점i를 중심으로한 파이프 망에서의 유체의 흐름

Hazen-Williams식의 상수부분을 정리하여 식(2)에 대입하여 재정리하면 다음 식(3)과 같이 된다.

[eqn: &sum from j=1 to N A_ji``(`H_j -H_i `)^0.54 ``+``Q_i ~=~0~~~~~~(i=1,cdots,N`)~]            (3)

[eqn: 단,A_ji ~=~{C_H`D_ji`^2.63} over {( {C``L_ji}`)^0.54}이다.~]

연립 방정식의 해결

연립 방정식의 해결은 본 연구의 선행과제로써 수행되어졌다. Gauss-Siedel과 Newton-Raphson이 문제해결을 위한 수치 해석적 방법으로 제시되었다. 수행 결과 두 가지의 방법 모두 수렴하는 것을 알 수 있었으며, 수렴 속도 비교에 있어서는  Gauss-Siedel과 Newton-Raphson 방법 중에서 Newton-Raphson방법이 더 우수한 것으로 나타났다.

선행 과제로써 연립 방정식 해결을 위한 알고리즘은 그림(2)의 (a)에 나타내었으며, 수행결과 수렴속도의 비교는 그림(3)에 나타내었다. 수렴속도 비교에 있어서 모델은 수행 과제 중에서 열교환기 100개를 포함하고 있는 열교환기 망을 선택하였으며, Pentium 60MHz에서 수행시간은 수렴 도달시점까지 약5분 정도 소요되었다.

(a)유량 분석 알고리즘               (b)유량 조절 알고리즘

그림(2) 열교환기 망의 유량 분석 및 조절을 위한 알고리즘

[eqn: | sum from i=1 to N Q_i` |`` ##[m^3 / s`]]

그림(3) GS와 NR의 수렴 속도 비교

새로운 문제점 및 해결책

선행과제의 결과를 비교 분석한 결과, 초기 설계유량과 현재 열교환기를 흐르는 냉각수의 유량에 차이가 있음을 발견할 수 있었다. 냉각수의 유량이 열교환기 설계유량과 일치하지 않는다면, 원활한 열 교환이 이루어지지 않기 때문에 문제를 해결해야할 필요성이 제기되었다.

발생한 문제점을 해결하기 위해서 열교환기 후미에 연결된 파이프의 등가길이를 조절하여 열교환기를 통과하는 냉각수의 유량을 조절하고자 하였다. 이때 조절하게 되는 파이프의 등가길이는 파이프의 지름 및 밸브의 여닫음을 포함하고 있다. 단, 이때 파이프의 등가길이는 교체하게될 파이프의 직경과 밸브의 여닫음을 고려하여 일정한 범위내의 값을 취하여야 한다. 또한 파이프의 교체는 서론에서 밝힌바와 같이 다른 열교환기에도 영향을 미치므로 동시에 모든 열교환기 후미에 연결되어진 파이프를 고려해야만 한다.

본 연구에서는 파이프의 등가 길이 조절에 시행착오 법을 이용하여 보았다. 이 방법은 새로운 파이프 길이의 조절에 있어서 Relaxation 방법을 사용하여 초기 설계유량에 도달할 때까지 알고리즘을 반복하였다. 즉, 이전에 계산된 파이프 길이 값과 현재 계산된 파이프 길이 값을 각각 일정 비율로 사용하여 새로운 파이프 길이를 계산해 내는 것이다. 이 방법에 대한 알고리즘은 그림(2)의 (b)에 나타내었다. 이 방법의 타당성을 알아보기 위해서 열교환기를 3개, 5개, 10개 포함하는 열교환기 망을 모델로 만들어서 적용해 보았다. 이때 10개의 열교환기를 포함하는 열교환기 망은 파이프의 연결이 단순한 모델과 복잡한 구조의 모델로 나누었다. 그 결과 3개, 5개의 열교환기를 포함하는 모델에서는 원하는 유량에 거의 근접하면서, 파이프의 등가길이도 밸브를 조절하거나 파이프의 직경을 교체하면 되는 좋은 결과를 나타내었다. 그러나 Relaxation 방법에는 한계가 있으므로 열교환기의 개수가 증가하게 되면 사용에 어려움이 따르게 된다. 따라서 본 연구에서는 최종적으로 최적화 문제에 있어서 널리 사용되는 상용 프로그램인 GAMS를 사용하여 보았다. 그 결과 파이프 교체나 밸브의 여닫음에 있어서 적절한 결과 값을 얻을 수 있었다.

참고문헌

1. Nielsen, H. B. : □Method for Analyzing Pipe Networks□, J. of Hydraulic Enginee-

ring, 115, 139(1989).

2. Boulos, P. F. and Wood, D. J. : □Explicit Calculation of Pipe-Network Parameter-

s□, J. of Hydraulic Engineering, 116 ,1329(1990).

3. Ormsbee, L. E. and Wood, D. J. : "Hydraulic Design Algorithms for Pipe Netw-

orks", J. of Hydraulic Engineering, 112, 1195(1986).

4. Chansler, J. M. and Rowe, D. R. : "Microcomputer Analysis of Pipe Networks",      Water Engineering and Management, 137, 36(1990).

5. Hammer and Mark J. : "Water and Wastewater Technology", John Wiley & Sons

(1986).

6. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale : "Numerical Method for Engineers", McG-

raw-Hill(1988).

7. Walski, T. M., Gessler, J., Sjostrom, J. W. : □Water Distribution Systems : Simul-

ation and Sizing□, Lewis (1990).

8. Male, J. W. and Walski, T. M. : "Water Distribution Systems", Lewis (1990).

9. Ludwig, E. E. : "Applied Process Design for Chemical and Petrochemical Plants      volume 1",Gulf Publishing Co.(1977)