EHD를 이용한 마이크로 유체의 교반 및 운송

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

임 도진, 강 인석

포항 공과 대학교 화학공학과 및 기계, 산업공학부

Mixing and Transportation of Microfluids using EHD Control

D. J. Im, I. S. Kang

Dept. of Chem. Eng. & Division of Mech. and Indust. Eng., Postech

서론

최근 차세대 기술로 관심을 받고 있는 MEMS나 Lab-on-a-chip 등의 micro device에 대한 연구가 활발하다. 일차적으로는 이러한 장치들을 만드는 것이 중요한 부분이 되겠지만 이에 못지 않게 micro device를 운용하고 control하는 기술이 뒷받침되어야 소기의 목적을 달성할 수 있게 된다. 더욱이 micro device의 기본 설계는 장치를 운용하고 통제할 수 있는 기초 기술이 있어야 가능하며 micro device에는 기존의 기계 및 전자 장치에 사용할 수 있었던 대부분의 기술들을 적용하기 어렵기 때문에 micro device의 개발에 있어 보다 근본적이고 중요한 기술은 micro device의 운용과 통제 기술이라 할 수 있다. 특히 대부분의 micro device가 다루는 대상이 유체를 포함한 경우가 많으므로 micro device 내의 유체를 다루는 microfluidics가 가장 중요한 원천 기술 중의 하나라고 할 수 있다. 그 중에서도 전기장을 사용하여 유체를 다루는 EHD(Electrohydrodynamics) 기술은 장치의 설계에 있어서나 운용에 있어서 다른 방법보다 효율적이라 할 수 있다. 이에 본 연구에서는 EHD를 사용해 micro drop의 교반과 수송에 대한 기초연구를 다루고자 한다. 서로 섞이지 않고 전기를 통하지 않는 두 액체가 하나는 bulk phase로 또 다른 하나는 drop의 형태로 존재하는 시스템에 전기장을 가하면 전기적인 특성(electrical permittivity, conductivity) 차이 때문에 drop의 계면에 shear stress가 걸려, drop 내부와 외부에 유동이 생기게 된다. 이렇게 생성된 유동은 drop 내의 물질 전달 속도를 획기적으로 향상시키는데 이용될 수 있을 것이다. 또한 비 균일 전기장 하에서는 drop이 charge를 띄지 않는 상황에서도 dielectrophoretic force에 의해 이동될 수 있으며 electrophoresis가 적용 가능하지 않는 상황에서 마이크로 유체의 수송 수단으로 응용될 수 있다. 현재 이러한 연구의 시발점으로서 축 대칭형의 경우 그 해석이 시도되었다[1]. 하지만 축 대칭형 문제의 경우 다양한 실제 현상을 표현하는데 제한이 있을 뿐 아니라 추출 효율 측면에서도 그 효과를 극대화하는 것이 한정되어 있다. 이에 본 연구에서는 축 대칭형이 아닌 일반적인 전기장 하에서 drop내부와 외부의 mixing과 수송에 대한 문제를 다루고자 한다. 구형 drop 안팎의 유동장은 Stokes Flow의 경우 Lamb's Solution이라는 3차원 일반 해가 존재하며 주어진 경계조건을 이용하여 해석해를 얻을 수 있다[2]. 이러한 유동장의 해석해를 이용해 일반적인 전기장 하에서 dielectrophoretic force에 의해 drop이 이동하는 이동 속도의 계산과 drop 내부의 mixing 효율 문제 등을 해석해 보았다.

Translation을 고려한 3차원 유동장

Drop의 경계면에 작용하는 electric tangential stress에 의해 유도되는 유동장에 대한 해석해는 [4]에 제시된바와 같다. 하지만 이 해석해는 drop의 translation에 의해 생겨나는 유동을 고려하지 않은 것으로 일반적인 상황을 표현하기에는 부족한 답이다. 이에 본 연구에서는 [4]의 결론에서 밝힌 바와 같이 translation에 의해 생기는 유동장을 추가함으로써 일반적인 전기장 하에서 drop 내부와 외부에 유도되는 유동에 대한 온전한 일반해를 제시하고자 한다.

Stoke flow 영역에서 drop translation에 의해 유도되는 유동장은 축 대칭형 문제의 경우 Hadamard-Rybczynski solution 이라는 일반해가 존재한다[2]. 하지만 이 일반해는 translation 방향이 spherical coordinate system의 대칭축(보동[eqn: {bold e}_z]방향) 방향과 평행인 경우에만 적용할 수 있다. 하지만 앞서 [4]에서 구해진 해석해를 구하는 과정에서 좌표축을 특정한 방향에 고정 시켰기 때문에 본 연구에서 다루는 문제는 일반적으로 spherical coordinate system의 대칭축과 translation 방향이 평행하지 않다. 따라서 Hadamard-Rybczynski solution을 translation 방향으로 회전시킨 해석해를 사용해야 한다. Vector field를 회전시키는 경우에는 vector를 회전시킬 때와 달리 vector의 position vector도 함께 회전 시켜야 한다는 사실을 염두해 두어야 한다. 다음은 Hadamard-Rybczynski solution을 translation 방향으로 회전시켜 구한 해석해이다.

[eqn: {v^(i)} _r = U over {2(lambda+1)M} left[ 1-left( a over r right)^2 right] [(beta -1)gamma sin theta cos phi -beta delta sin theta sin phi +zeta cos theta]],

[eqn: {v^(i)} _theta = U over {2(lambda+1)M} left[ 1-2left( a over r right)^2 right] [(beta -1)gamma cos theta cos phi -beta delta cos theta sin phi -zeta sin theta]],

[eqn: {v^(i)} _phi = U over {2(lambda+1)M} left[ 1-2left( a over r right)^2 right] [-(beta -1)gamma sin phi -beta delta cos phi ]],

[eqn: {v} _r =- U over M left[ 1-{3lambda+2} over {2(lambda+1)}left( a over r right)+ lambda over {2(lambda+1)}left( a over r right)^3 right] [(beta -1)gamma sin theta cos phi -beta delta sin theta sin phi +zeta cos theta]],

[eqn: {v} _theta =- U over M left[ 1-{3lambda+2} over {4(lambda+1)}left( a over r right)- lambda over {4(lambda+1)}left( a over r right)^3 right] [(beta -1)gamma cos theta cos phi -beta delta cos theta sin phi -zeta sin theta]],

[eqn: {v} _phi = U over M left[ 1-{3lambda+2} over {4(lambda+1)}left( a over r right)- lambda over {4(lambda+1)}left( a over r right)^3 right] [(beta -1)gamma sin phi +beta delta cos phi ]],

where [eqn: M = sqrt{(beta-1)^2 gamma^2 + beta^2 delta^2 + zeta^2 }]. 위 첨자 (i)는 내부 성분임을 나타내고 U는 translation velocity, [eqn: lambda]는 viscosity ratio(in/out), a는 drop의 반지름 등을 각각 나타낸다. [eqn: beta,{ } gamma,{ } delta,{ } zeta]등의 파라미터들은 [4]에 사용된 일반적인 전기장의 형태를 나타내는 파라미터들이다. 이와 같이 구해진 해석해를 [4]에서 구한 해석해와 더함으로써 일반적인 전기장 하에서 drop 내부와 외부에 유도되는 유동장에 대한 일반해를 구하였다.

Dielectrophoretic translation

일반적으로 비 균일 전기장 하에서는 drop에 작용하는 dielectrophoretic force가 존재하며 이로 인해 drop은 움직이게 된다. Drop이 움직이면 주변의 유체들이 이러한 움직임을 방해하는 저항력이 생기게 되고 drop 내부와 외부에 생성되는 유동장에 의해서도 저항력은 생기게 된다. 이렇게 복합적인 저항력과 dielectrophoretic force의 balance가 이루어지면 drop은 일정한 속도(U)로 움직이게 되며 본 연구에서 구한 속도 U는 다음과 같다.

[eqn: U= -{epsilon }over mu a^2 E_0 G left[ {2(lambda+1)} over {15(3lambda+2)} A_2 (-5B_1 +2 B_2 )-{(3 B_1 T_A -2 A_1 T_B )} over{15(3lambda+2)} right] M]

where          [eqn: A_1 = Re left[ {3 e^{i omega t}} over { 2+Z} right]],             [eqn: A_2 = Re left[ {3(1-Z) e^{i omega t}} over { 2+Z} right]],

[eqn: B_1 = Re left[ {5e^{i omega t}} over { 3+2Z} right]],             [eqn: B_2 = Re left[ {5(1-Z) e^{i omega t}} over { 3+2Z} right]],

[eqn: T_A = (1- epsilon^(i) / epsilon )A_1 -A_2],      [eqn: T_B = (1- epsilon^(i) / epsilon )B_1 -B_2],

Re[ ]은 복소수의 실수 부를 나타내며 [eqn: Z= (sigma^(i) +i omega epsilon^(i) )/(sigma +i omega epsilon )]이다. [eqn: epsilon]과 [eqn: mu]는 각각 drop 외부 유체의 electrical permittivity와 viscosity를 나타내며 E0와 G는 각각 uniform electric field와 straining electric field의 크기를 나타낸다([1]을 참조}. [1]에서 구한 축 대칭형 경우의 해와의 차이점은 M이라는 파라미터뿐이다. 파라미터 M은 앞의 정의에서 알 수 있듯이 가해주는 전기장의 종류를 나타내는 파라미터로서 같은 크기의 전기장을 사용해도 전기장의 종류에 따라 translation velocity U가 달라질 수 있다는 것을 말해준다. 따라서 dielectrophoresis를 이용한 micro drop의 수송에 있어 이러한 결과를 이용한다면 기본 장치 설계에 좋은 지침을 줄 수 있을 것으로 보인다.

3차원 해석해에 대한 유동장 분석

Translation을 고려하지 않은 유동장의 경우 유동의 원인은 drop의 표면에 작용하는 tangential stress이며 따라서 표면에서의 속도 분포를 살펴보는 것은 매우 중요하고 유동의 특성을 잘 살펴볼 수 있는 방법이다. 그림 1은 축 대칭형의 경우([eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5])와 비 축 대칭형의 경우([eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]) 표면에서의 속도 분포를 나타내는 그림이다. 비 축 대칭형의 경우는 축 대칭형의 경우와 달리 축 대칭성이 깨지면서 표면에 vortex가 나타나는 등의 매우 흥미로운 현상을 관찰할 수 있다. 대칭성이 깨진다는 것은 유체 입자가 움직일 수 있는 영역이 그 만큼 넓어진다는 것을 의미하며 이는 바로 drop 내부 물질의 추출 효율 증대를 의미할 수 있다. 그림 2에서와 같이 그림 1과 같은 조건 하에서 drop 내의 3차원적인 입자의 경로를 살펴보면 이러한 효과를 정성적으로 확인할 수 있다. 그림 3에는 각 경우에 Poincare' section을 그려본 것이다. 비 균일 전기장 하에서 유동장은 동력학적으로 자유도가 3인 경우에 해당되어 축 대칭형과 달리 static한 전기장 하에서도 그림 2의 (b)나 그림 3의 (b)에서와 같이 chaos가 일어날 수 있으며 이러한 성질을 이용하면 micro drop 내의 mixing 효율을 획기적으로 향상시킬 수 있을 것으로 기대된다. 하지만 정확한 분석을 위해서는 [1]에서와 같이 mass transfer eqn.을 직접 계산하여 해석하는 정량적인 연구가 필요하며 앞으로 이러한 정량적인 연구를 수행할 예정이다.

결론

일반적인 선형 전기장 하에서 drop의 내부와 외부에 생성되는 유동장에 대한 해석해를translation을 고려하여 완성하였다. 구해진 해석해를 이용하여 dielectrophoretic migration velocity를 가해주는 전기장의 형태와 주기의 함수로 도출하였으며 이러한 결과는 향후 dielectrophoresis를 이용한 microfluid의 수송 장치의 설계에 좋은 지침이 될 수 있을 것으로 기대된다.

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

감사

본 연구는 한국 과학재단 목적 기초 연구 과제 및 교육부의 BK21 프로그램의 지원에 의해 수행되었으며, 지원에 감사 드립니다.

참고 문헌

1. S. M. Lee and D. J. Im and I. S. Kang "Circulating flows inside a drop under time-periodic nonuniform electric fileds" Phys. Fluids 12, 1899 (2000)

2. S. T. Kim and S. J. Karrila Microhydrodynamics Principles and Selected Applications (Butterworth-Heinemann, 1991)

3. H. Brenner "The Stokes resistance of a slightly deformed sphere" Chem. Eng. Sci. 19, 519 (1964)

4. D. J. Im, I.S. Kang, Three-Dimensional Analytical Solution for the Circulating Flow in a Spherical Drop under Non-axisymmetric Electric Fields, Theories and Applications of Chem. Eng., vol. 6, No. 2 (Proc. of KIChE 2000 Fall Meeting, Pohang, Oct. 20-21) pp. 4577-4580 (2000)

(a)                             (b)

그림 1 Surface velocity distributions : (a)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]; (b)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]

(a)                            (b)

그림 2 Three dimensional particle trajectories with the initial condition near the origin: (a)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]; (b)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]

(a)                            (b)

그림 3 Poincare' sections with the initial condition near the origin:

(a)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]; (b)[eqn: gamma=delta=0,{ } zeta=1,{ } beta=0.5]