회분식 증류 공정의 Rigorous Modeling과

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

End-point Collocation Method를 이용한 최적화

Theories and Applications of Chem. Eng., 2002, Vol. 8, No. 1

김현기, 이범석

경희대학교 화학공학과

Rigorous Modeling and Optimization using End-point Collocation Method of Batch Distillation Process

Hyun-gi Kim, Bomsock Lee

Department. of Chemical Engineering, Kyung Hee University

서 론

일반적인 화학공업에서 널리 사용되는 증류공정은 소품종 다량 생산체재인 연속식 공정에서 최근 다양한 소비자의 요구를 충족시키면서 공정의 유연성을 갖는 다품종 소량 생산체재인 회분식 공정으로 관심이 집중되면서 이에 대한 연구가 계속적으로 진행중이다.

하지만 연속식 증류 공정에 비해 에너지 소모가 많은 회분식 증류 공정은 시간에 따른 상당수의 미분·대수 방정식(DAE)으로 구성되어 비정상상태 거동을 보이므로 이를 정확하게 모델링하고 동적특성을 해석하기란 쉽지 않다.

본 연구에서는 최적의 환류비를 구하여 최대 생산량과 최소의 에너지 소모를 이루기 위한 회분식 증류공정의 최적운전을 그 목적으로 하였다. 최적화 모델링은 에너지 수지식이 고려된 Rigorous Method를 이용하였고, 이 방법을 적용할 경우 성분의 물질 수지식과 에너지 수지식이 미분·대수 방정식(DAE)형태로 나타나는데 이를 End-point Collocation Method를 이용하여 일반적인 대수방정식으로 근사하였다. 그리고 상용 프로그램인 GAMS MINOS를 사용하여 회분식 증류 공정의 최적해를 구하였다.

본 론

1. 회분식 증류 공정의 Rigorous Dynamic modeling과 최적화

전형적인 회분식 증류 공정에 있어 최적운전의 목적은 정해진 시간동안 최대의 생산량을 얻는 공정과 일정한 생산량을 얻기 위한 조업시간을 단축시키는 것이다. 즉 회분식 증류 공정을 이용한 조업에서는 최소의 에너지 소모와 최대의 이윤을 얻는 게 목적이다.

본 연구에서는 각 단에서의 물질 수지, 에너지 수지, 조성의 합, 기-액 상평형을 고려하였다. 회분식 증류탑 내 j 번째 단에서의 모델식을 나타내면,

- 성분의 물질 수지 [eqn: {HU}_{j}{{dx}_{i,j}}over{dt}={V}_{j+1}{y}_{i,j+1}+{L}_{j-1}{x}_{i,j-1}-{V}_{j}{y}_{i,j}-{L}_{j}{x}_{i,j}]          (1)

- 에너지 수지      [eqn: {HU}_{j}{ {dH}`_{j}^{L} }over{dt}={V}_{j+1} {H}`_{j+1}^{V} +{L}_{j-1} { H}`_{j-1 } ^{L } -{V}_{j} {H}`_{j }^{V }-{L}_{j}{H}`_{j}^{L}]    (2)

- 기-액 평형       [eqn: {y}_{i,j}={eta}_{j}{K}_{i,j}{x}_{i,j}+(1-{eta}_{j}){y}_{i,j+1}]      [eqn: { eta }_{j }] : 단효율         (3)

- 상평형           [eqn: {K}_{i,j}= { { P}`_{i,j} ^{□}}over{{P}_{j}}{gamma}_{i,j}({T}_{j},{x}_{i,j})]                                 (4)

식 (4) 로 나타내어지는 상평형은 비이상 액상의 활동도 계수를 구하기 위하여 NRTL식을 사용하였다. 또한 Antoine Eq.을 사용하여 증기압을 구하고, 온도의 함수로 표현된 열용량 식을 사용하였다.

2. DISCRETIZATION : End-point Collocation Method

일반적으로 Rigorous Method로 모델링한 회분식 증류공정의 최적화 문제에서 상당수의 제약조건은 미분·대수 방정식(DAE)으로 표현된다. 이러한 미분·대수방정식(DAE)에 포함된 변수를 Lagrange polynomial형태로 근사하면,

위와 같이 Lagrange Polynomial형태로 표현된 변수를 미분하여 주어진 제약조건식에 적절히 치환하면 다음과 같은 residual equation을 얻을 수 있다.

,

위에서 얻어진 residual equation을 End-point Collocation Method를 이용하여 discretization하면,

is Dirac delta function

따라서 미분·대수 방정식이 포함된 최적화 문제는 다음과 같이 Lagrange polynomial로 표현된 변수로 구성된 대수방정식을 제약조건으로 하는 일반적인 형태로 표현될 수 있다.

,

예제

1. GAMS MINOS를 이용한 회분식 증류 공정의 최적화

초기조건

GAMS MINOS 이용

성분 : Heptane/Cyclohexane/Toluene

초기 조성 (Still pot) 0.4,0.2,0.2

기·액 평형 : NRTL사용

Rigorous Method

압력 : 101.33 kPa

온도 : 100℃

Tray Number : 7 tray

- 성분의 물질 수지

- 에너지 수지

결론

회분식 증류 공정의 설계는 시간에 따른 상당한 변수로 이루어진 비선형 미분·대수방정식(DAE)으로 이루어지게 되므로 해석하기가 쉽지 않다.

본 연구에서는 Rigorous Method를 이용하여 회분식 증류 공정을 모델링하였고  End-point collocation Method를 이용하여 미분식을 discretization하였다. 또한 GAMS MINOS를 이용하여 최적 환류비를 구하고 이것을 적용하여 최소 에너지 소모와 최대 생산량 그리고 최대 효율을 얻었다.

감사

본 연구는 한국과학재단의 지원(과제번호 1999-1-307-002-3)으로 진행되었으며, 이에 대하여 진심으로 감사드립니다.

화학공학의 이론과 응용 제8권 제1호 2002년

참고문헌

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