등온 가열되는 수평 유체층에서 부력 효과

최창균*, 이종대**, 김민찬↕, 황선탁↗, 정태준*

*서울대학교 응용화학부, **충북대학교 화학공학과,

↕제주대학교 화학공학과, ↗신시내티대학교 화학공학과

Buoyancy Effects in the Isothermally Heated Horizontal Fluid Layers

C.K. Choi*, J.D. Lee**, M.C. Kim↕, S.T. Hwang↗ and T.J. Chung*

*School of Chemical Engineering, Seoul National University

**Dept. of Chemical Engineering, Chungbuk National University

↕Dept. of Chemical Engineering, Cheju National University

↗Dept. of Chemical Engineering, University of Cincinnati

서론

초기 정지상태의 유체층에서 부력에 의한 자연대류는 Benard의 체계적인 실험과 Rayleigh의 안정성 해석 이래 많은 연구자들의 관심을 끌어왔다. 부력에의한 자연대류 분야의 주된 연구는 급격한 가열조건하에서 온도 분포가 시간의존형의 비선형일 경우의 안정성 조건과 난류 영역에서의 열전달 특성에 대하여 진행되어 왔다.

급격한 가열조건하에서의 안정성 해석은 동결 시간 모델(frozen-time model), 에너지법(energy method), 증폭이론(amplification theory), 추계모델(stochastic method), 전파이론(propagation theory)등에 의하여 진행되어 왔다. 위의 방법들 중에서 각 모델들은 각각의 한계와 임의성을 내포하나 전파이론은 가정 및 임의성을 배제한 결정론적인 방법으로 많은 계에 대하여 성공적으로 적용되고 있다.

부력에 의한 자연대류가 열전달 특성에 미치는 영향에 대해서는 많은 연구가 실험적, 이론적으로 진행되어 왔다. Long [1], Cheung [2], Arpaci [3]는 넓은 범위의 Rayleigh 수 영역에서 적용될 수 있는 전달 상관식을 구했고, Castaing 등[4]은 hard turbulence 영역에서는 [eqn: N u sim Ra^2/7]의 관계가 기존의[eqn: N u sim Ra^1/3] 보다 더 실험결과를 잘 설명한다고 제안하였다. 하지만 각 모델들은 그들의 관심 영역에서만 잘 적용된다는 한계를 가지고 있다.

본 연구에서는 수평 유체층에서 부력에 의한 자연대류의 발생 조건에 대하여 살펴보고, 새로운 전달 상관식을 도출하여 기존의 실험 결과와 반이론적인 결과와 비교해 보려 한다.

안정성 해석

선형 안정성 이론하에서 속도 및 온도 교란에 대한 지배 방정식을 Boussinesq 가정을 사용하여 다음과 같은 무차원화 된 형태로 얻을 수 있다.

[eqn: left { 1 over {P r} partial over {partial tau } - Del^2 right } Del^2 w_1 = - Del_1^2 theta_1]                    (1)

[eqn: { partial theta_1 } over {partial tau } + Ra w_1 {partial theta_0 } over {partial z } = Del^2 theta_1]                      (2)

이때 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: w_1 = {partial w_1 } over {partial z } = theta_1 = 0]    at [eqn: z=0] and [eqn: 1]                (3)

Deep-pool 계에서 속도 교란과 온도 교란에 대한 스케일(scale) 해석과 정규 모드해석을 통하여 교란량들은 다음과 같은 형태로 주어진다고 할 수 있다.

[eqn: [ w_1 , ` theta_1 ] = [ tau w^* (zeta ), ` theta^* (zeta ) ] exp [ i (a_x x + a_y y ) ]]            (4)

여기서 [eqn: zeta = z / sqrt {tau }]이다. 이 식을 위의 지배 방정식에 대입하면 다음과 같은 안정성 방정식을 얻을 수 있다.

[eqn: left { ( D^2 -a^*2 ) ^2 + 1 over { 2 P r } ( zeta D^3 - a^*2 zeta D + 2 a^*2 ) right } w^* = a^*2 theta^*]          (5)

[eqn: left ( D^2 + 1 over 2 zeta D - a^*2 right ) theta^* = Ra^* w^* D theta_0]                   (6)

여기서 [eqn: a^* = a sqrt { tau }], [eqn: Ra^* = Ra tau^3/2], [eqn: D = d / d zeta]이다. 경계조건들은 다음과 같이 변환된다.

[eqn: w^* = Dw^* = theta^* = 0]    at   [eqn: zeta = 0] and [eqn: 1 / sqrt {tau}]              (7)

고유치 문제로 전환되는 위의 안정성 방정식을 수치적으로 풀면, deep-pool 영역에서는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

[eqn: tau_c = 7.53 left ( f_0 Ra right )^-2/3],   [eqn: f_0 = left [ 1 + left ( 0.804 over { P r} right )^3/4 right ]^-4/3]            (8)

자연대류는 교란이 발생한 다음 실험적으로 감지될 수 있을 정도의 크기로 성장하는 데에는 약 4배의 시간이 필요하므로 실제 자연대류 발생 시점은 다음과 같이 주어진다.

[eqn: tau_o = 4tau_c = 30.12 left ( f_0 Ra right )^-2/3]                       (9)

위의 결과를 기존의 이론 및 실험결과와 비교한 것이 Fig. 1에 주어져 있다.

열전달 상관식

자연대류가 열전달 특성에 미치는 영향을 Rayleigh수와 Prandtl수의 범위에 따라서 살펴보고자 한다.

(1) Finite ampitude convection 영역

Rayleigh수가 그 임계값인 1708에서 아주 크지 않은 영역으로, [eqn: P r >1]인 유체에서는 정상상태 cellular 흐름이 존재한다. 이 영역이 끝나는 점을 [eqn: Ra_t]라 두면 [eqn: P r <1]인 유체에서는 자연대류 발생 초기부터 시간 의존형의 흐름이 나타날 수 있으므로 [eqn: Ra_t]가 1708에 아주 가까운 값을 가지며, [eqn: P r -> 0]인 경우에는 finite amplotude convection 영역이 존재하지 않게 된다.

(2) Time dependent large scale flow(C-flow) 영역

이 영역에서 흐름은 시간 의존형의 진동 흐름을 보이나 완전히 전개된 흐름은 여전히 층류의 특성을 갖는다. [eqn: P r]이 큰 유체인 경우에는 위의 finite amplitude convection영역과 C-flow 영역에서는 Hollands [5]에 의하여 주어진 다음과 같은식이 적용된다.

[eqn: N u = 1 + 1.44 left [ 1 - 1708 over Ra right ] ^CDOT left [ f_1 + 1.39 left ( Ra^{1/3} over g_1 right )^g_2 right ] + left [ left ( Ra over 5830 right )^1/3 - 1 right ]^cdot]   (10.a)

[eqn: f_1 = left ( 1 + 0.018 / Pr + 0.00136 / Pr^2 right )^-1]                (10.b)

[eqn: g_1 = 75 exp ( 1.5 Pr^-1/2 )],   [eqn: g_2 = 1 - ln left ( Ra^1/3 / g_1 right )]          (10.c)

여기서  [eqn: left [ right ] ^ cdot]는 괄호안의 값이 양인 경우에만 그값을 가지고 음인 경우에는 0이 된다.

[eqn: P r -> 0]인 유체의 경우에는 이 영역에서의 흐름이 열전달에 미치는 영향은 그리 크지않고, 수은과 액체 나트륨에서의 실험 결과를 토대로 다음과 같은 전달 상관식을 구할 수 있다.

[eqn: N u = 0.36 left ( f_0 Ra right ) ^1/4]    for  [eqn: P r << 1]                  (11)

(3) Hard turbulent flow(B-flow) 영역

Castaing 등[5]은 난류 중심부에 강한 흐름의 존재하는 경우에는 [eqn: N u sim Ra^2/7]의 관계가 열전달 특성을 잘 나타낸다고 하였다. 이 영역에서는 기존의 실험결과를 종합하여 다음과 같은 전달 상관식을 유도하였다.

[eqn: N u = 0.15 ( f_3 Ra )^2/7]     [eqn: Ra_I < Ra < Ra_II]                (12.a)

[eqn: f_3 = {P r } over { 0.0414 + P r }]                        (12.b)

(4) 경계층 불안정성 영역 (P-flow)

이 영역은 [eqn: Ra -> inf]의 경우에 가열면에서 thermal 이나 plume이 일정한 주기를 가지고 간헐적으로 이탈한다. Howard와 Busse의 경계층 불안정성 모델에 의하면 이 영역에서의 열전달 상관식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

[eqn: N u = 1 over 2 L over Delta = 1 over 2 left [ { Ra over {2 Ra_Delta} }right ]^1/3]    for [eqn: Ra -> inf]             (13)

여기서 [eqn: Delta = L sqrt { pi alpha tau_* }]인 경계층 두께이며, Patrick과 Wragg [6]의 실험결과를 사용하면 다음과 같은 열전달 상관관계를 얻을 수 있다.

[eqn: N u = 0.0648 ( f_0 Ra )^1/3]                        (14)

(5) Long-Cheung, Arpaci 모델

이 모델들은 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

[eqn: N u = { C_1 (L/ Delta ) } over { 1 - C_2 (L/Delta ) Pe_t^-1 }]                      (15)

Long-Cheung 모델은 [eqn: L / Delta sim ( N u Ra )^1/4], [eqn: Pe_t sim ( N u Ra )^1/3]이고, Arpaci 모델은 [eqn: L / Delta sim ( f_3 Ra )^1/3], [eqn: Pe_t sim ( f_3 Ra )^2/9]가 된다. 이 모델들은 제한된 범위의 [eqn: P r]과 [eqn: Ra]에서 상수를 결정하는데 사용된 실험결과들은 잘 맞추지만 범위를 벗어나면 만족할 만한 결과를 주지 못한다.

위의 전달 상관식들을 수은, 공기 및 헬륨, 물에 대한 실험 결과와 비교한 것이 각각 Figs. 2 ,3, 4에 주어져 있다.

결론

전파이론을 사용한 안정성 해석 결과와 새로운 scale 해석을 통한 열전달 상관식은 기존의 실험 결과를 아주 잘 설명하여 준다.

참고문헌

1. Long, R.R, J. Fluid Mech., 73, 445 (1976).

2. Cheung, F.B., J. Fluid Mech., 97, 743 (1980).

3. Arpaci, V.S., Advances in Heat Transfer, 30, 1 (1997)

4. Castaing, B., Gunaratne, G., Heslot, F., Kadanoff, L., Libchaber, A., Thomae, S., Wu, X.-Z., Zaleski, S. and Zanetti, G., J. Fluid Mech., 204, 1 (1989).

5. Hollands, K.G.T., Int. J. Heat Mass Transfer, 27, 466 (1984).

6. Patrick, M.A. and Wragg, A.A., Int. J. Heat Mass Transfer, 18 (1975)

Fig. 1 Comparison of stability criteria.

Fig. 2. Comparison of mercury data with predictions.

Fig. 3. Comparison of gas data with predictions.

Fig. 4. Comparison of water data with predictioms.