경계 요소법을 이용한 전기 삼투 현상의 해석

주민돈, 윤병준

포항공과대학교 화학공학과

The Boundary Element Method for Electroosmotic Flow

in Three-Dimensional Microchannels

M. D. Joo*, B. J. Yoon

Department of Chemical Engineering and

Division of Mechanical and Industrial Engineering, POSTECH

서  론

DNA chip, Lab-on-a-chip 등의 미세 장치(micro device)에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 마이크로 채널에서의 유체의 흐름에 대한 관심이 높아지고 있다. 특히 채널 속의 전해질 용액이 외부 전기장에 의해 움직이게 되는 전기 삼투 (electro-osmosis) 현상은 오래 전부터 알려져 왔으나 복잡한 모양의 채널에서 유체의 거동은 수치적인 방법을 이용해야 알 수 있다. 최근에 2차원에서 전기 삼투현상에 대한 수치 해가 일부 보고되고 있다. 이 연구에서는 경계 요소법을 이용하여 3차원의 마이크로 채널에서의 유동 현상을 해석하였다.

이  론

마이크로 채널은 수십 마이크로미터(□) 정도로 크기가 작아서 Reynolds 수도 작고, 따라서 많은 경우 유동은 Stokes flow의 특성을 갖는다. 따라서 주요 시스템은 Stokes 식의 지배를 받게 된다.

[eqn: bold TRIANGLED CDOT bold v =0]

()

[eqn: - bold DEL p + mu Del ^2 bold v + rho_f bold E = 0]

()

여기서[eqn: bold v], [eqn: p]와 [eqn: mu]는 각각 유체의 속도, 압력과 점도를 나타내며, [eqn: rho_f]와 [eqn: bold E]는 전해질 용액의 전하밀도와 전기장을 각각 의미한다. 따라서 [eqn: rho_f bold E]의 항은 외부 전기장에 의해 단위 부피의 용액에 가해지는 힘을 나타내고 있다.

한편, 전하밀도 [eqn: rho_f]와 전기장 [eqn: bold E]는 전위 [eqn: PSI]로 나타낼 수 있으며 전위는 Poisson 식의 지배를 받는다.

[eqn: Del ^2 PSI = - rho_f over epsilon]

(3)

[eqn: bold E = - bold Del Psi]

(4)

전위 [eqn: PSI]에 대한 Poisson 식의 특해(particular solution)를 [eqn: psi]라 하고, 여해(homogeneous solution)를 [eqn: phi]라 하면, [eqn: psi]와 [eqn: phi]는 각각 LPB(Linearized Poisson Boltzmann) 식과 Laplace 식을 만족한다.

[eqn: Del^2 psi = - rho_f over epsilon SIMEQ kappa^2 psi][eqn: Del^2 phi = 0]

(5)

(6)

여기서 [eqn: kappa^-1]는 Debye 길이, 즉 전기 이중층의 두께를 나타낸다.

위 식들을 풀기 위하여 미분 방정식을 Green의 정리와 Lorentz의 정리를 이용하여 적분 방정식 형태로 나타내면 아래와 같이 정리 된다.

[eqn: c( bold xi ) psi( bold xi ) = INT _{ S} [ G_1 (bold x , bold xi ) {partial psi} over {partial n} (bold x ) - {partial G_1} over {partial n} (bold x , bold xi ) psi( bold x ) ] dS( bold x )]

(7)

[eqn: c( bold xi ) phi( bold xi ) = INT _{ S} [ G_2 (bold x , bold xi ) {partial phi} over {partial n} (bold x ) - {partial G_2} over {partial n} (bold x , bold xi ) phi( bold x ) ] dS( bold x )]

(8)

[eqn: c( bold xi ) bold v ( bold xi ) = INT _{ S} [ bold G_3 (bold x , bold xi ) cdot bold f (bold x ) - bold v cdot bold G_4 (bold x , bold xi ) cdot bold n ( bold x ) ] dS( bold x ) # + INT _{V } [ bold G_3 ( bold x , bold xi ) cdot rho_f bold E ] dV(bold x )]      이때, 위의 변수들은 적절하게 무차원화 된 값이며, [eqn: c( bold xi )]는 [eqn: bold xi in S]일 때 0.5, [eqn: bold xi in V]일 때 1의 값을 갖는다. LPB 식, Laplace 식, Stokes 식의 3차원 Green 함수들은 각각 다음과 같이 정의된다.

(9)

[eqn: G_1 ( bold x , bold xi ) = { exp( - kappa R `| bold x - bold xi | ) } over { 4 pi `| bold x - bold xi |}][eqn: G_2 ( bold x , bold xi ) = {1 } over { 4 pi `| bold x - bold xi |}][eqn: bold G_3 ( bold x , bold xi ) = 1 over {8 pi} ( { bold delta } over { | bold x - bold xi |} + { (bold x - bold xi ) (bold x - bold xi ) } over { | bold x - bold xi |^3 } )]

(10)

(11)

(12)

[eqn: bold G_4 ( bold x , bold xi ) = - 3 over {4 pi} { (bold x - bold xi ) (bold x - bold xi ) (bold x - bold xi ) } over { | bold x - bold xi |^5 }]

(13)

여기서 [eqn: kappa R]은 마이크로 채널의 크기를 Debye 길이로 무차원화한 값이다. 적분 방정식 (7), (8), (9)를 이용하여 경계 요소법에 적용하면 채널 내의 전위 분포와 유체의 거동을 계산할 수 있다.

결과 및 고찰

반지름 1인 실린더(파이프) 내에 전해질 용액이 있고 외부에 z 축 방향으로 전기장이 가해지는 경우 유동을 계산하여 해석해와 비교해 보았다. 먼저 경계 요소법을 사용하기 위해 반지름 1, 높이 2인 실린더의 표면을 그림 1과 그림 2와 같이 756개의 작은 삼각형 요소로 나누고, 실린더의 내부를 810개의 삼각 기둥 모양의 요소로 나누었다. 전위, 속도, 표면력 등의 변수는 삼각형에서 선형적으로 변한다는 가정 아래 선형 요소법을 사용하였다. 면적 적분은 삼각형 내에 6개의 점을 이용하는 Gaussian quadrature로 계산했고, 부피 적분은 삼각 기둥 요소 내의 1개의 점만을 사용하여 계산했다. 그림 2는 전기 이중층의 두께가 매우 작을 때 실린더 벽면 쪽에서 전위 값이 급격히 변하므로 벽면 쪽의 삼각형 요소를 더 작게 나눈 것이다.

그림 3, 그림 4와 그림 5는 실린더 내에서 전기 삼투 현상이 일어날 때, 실린더 내부의 위치에 따라 전기 이중충의 영향에 의한 전위(□), 외부 전기장에 의한 전위(□), 유체의 속도를 각각 계산한 것이다. 그 결과를 해석해와 비교했을 때 오차가 크지 않음을 알 수 있다. 다만 Debye 길이가 매우 작을 때에는 전위, 속도 등의 변수가 실린더 벽면 근처에서 급격한 변화를 보이므로 비교적 큰 오차를 보였다.

이 방법을 이용하면 실린더 이외의 복잡한 모양의 마이크로 채널에서의 유동의 계산이나  채널의 벽면에 복잡한 형태로 전위가 분포될 때의 유동 계산이 가능할 것이다.

참고문헌

1.  J. C. L. Rice and R. Whitehead, J. Phys. Chem., 69, 4017(1965)

2.  Jeffry J. Hoyt and Wihelm G. Wolfer, Electrophoresis, 19, 2432(1998)

그림 1 표면을 756개의 삼각형으로 나눈 실린더 ( □R = 1 )

3.  Sangtae Kim and Seppo J. Karrila, □Microhydrodynamics : Principles and

그림 3  실린더 안의 위치에 따른 전위값(□) 계산((a)□R=1, (b)□R=10)

Selected Applications□, Butterworth-Heinemann, Boston, 1991. 3.

그림 2 표면을 756개의 삼각형으로

나눈 실린더( □R=10 )

그림 4 실린더 안의 위치에 따른 전위값(□) 계산

그림 5 실린더 안의 위치에 따른 속도 계산