실리콘 Ingot 결정성장의 열 및 성장속도에 관한 동특성 모사

정재학, 서민교, 이영호, 이문용

영남대학교 응용화학공학부

Dynamic Simulation of Heat and Pull Speed

For Crystal Growth of Silicon Ingot

Jae Hak Jung, Minkyo Seo, Yeong Ho Lee and  Moonyong Lee

School of Chemical Engineering and Technology, Yeungnam University,

Kyongsan 712-749, Korea

1. 서론

제어 시스템으로 자동 운전되고 있는 많은 실제 공정에 있어서 공정 재현성 증진, 수율 및 품질 향상, 운전 안정성 증대를 도모하기 위해서 기존 제어시스템의 Hardware를 그대로 유지하면서 최대의 제어효과를 낼 수 있도록 하기 위해서 제어 Logic의 개선, 제어기 조율 등을 수행한다. 그리고 여기서 제어를 향상시키기 위한 과정들을 수행하기 위해서는 먼저 실제 공정과 최대한 흡사한 Simulation을 충분히 수행해야 하는데, Simulation을 정확히 하기 위해서는 우선 공정의 동적 모델이 결정되어야 한다. 본 연구는 공정의 동적 모델을 결정하는 기존의 잘 알려진 공정인식 방법을 분석, 응용하여 총괄적인 공정인식을 수행 할 수 있는 프로그램을 개발하고 이를 실제 산업 현장인 Czochralski 결정성장로 공정에 적용시키는 것을 목적으로 한다.

본 논문에서는 결정성장로 공정의 제어를 위해서 Ingot Diameter 와 Pull-Speed를 제어변수로 두고, 조절 변수를 Heater의 전력량과 Pull-Speed로 두어 이들 변수들로 Czochralski 결정성장로에서의 열전달 Mechanism을 수립하여 Heater의 전력량과 Pull-Speed에 따른 Ingot Diameter를 결정 지워주었고, Pull-Speed 변화에 따른 Ingot Diameter의 동특성 파악을 위해 Pull-Speed를 Steady-State로부터 Step Change Up 시킨 실험결과를 바탕으로 적분공정계에 대한 Simulation을 시행하였다.

2. 결정성장로 공정의 Modeling 및 Simulation

결정성장로 공정의 제어는 Pull Speed에 따른 Diameter 제어나 혹은 Pull Speed를 일정범위 안에서 벗어나지 않도록 하여 heater 전력 공급을 주로 하는 제어로 나눌 수 있다. 공정의 Modeling을 위해 Pull Speed와 Ingot diameter를 제어 변수로 두고 이들을 제어하기 위해 조작해야하는 조절변수로는 Heater의 전력량, Pull Speed로 두었다. 장치 자체의 크기 및 무게, Material의 물성치는 상수로 두어 처리하였다. 냉각수의 온도 변화차이는 공정조업에 따라 일정하게 두었고, Crucible의 회전, 자력선의 방향, 세기는 Parameter에서 제외하였다.

다음은 이들 변수들로서 열전달 Mechanism을 이해하고, Pull-Speed에 따른 Ingot의 Diameter를 Simulation 하는 Modeling 수립단계를 나타낸다.

① Heater에서 표면온도에 의한 Radiation으로 Graphite Crucible 표면에 열이 전달된다.

② Graphite Crucible과 접촉하고 있는 Quartz Crucible로 Conduction에 의해 열이 전달된다.

③ Quartz Crucible은 다시 Conduction에 의해 Poly Silicon Melt로 열전달이 되고, Melt의 평균온도는 Melt의 양과 Quartz Crucible과의 접촉면을 통한 열전달 된 양에 의해 알아낸다.

④ Melt에서 결정화된 Ingot으로 전달되는 열량을 Ingot과 Melt의 접촉면을 통한 Conduction으로 계산한다. Melt 표면에서 Ingot 표면으로의 Radiation은 무시한다.

⑤ 결정화된 Ingot 표면으로부터 수냉관으로 전달되는 열은 Radiation으로 계산한다.

위 Modeling의 순서에 따라 결정성장의 Dynamics를 얻기 위해서는 에너지 전달의 효율적 계산이 요구된다. Radiation이 주로 일어나는 결정성장로 공정은 그 system의 geometry가 큰 중요성을 갖는데 View Factor는 다음과 같다.

[eqn: View``` Factor ````: { F}_{12 }= { 1} over { {A }_{1 } } INT _{ {A }_{1 } } INT _{ { A}_{2 } } {cos { phi }_{ 1} cos { phi }_{2 } }over { pi { s}^{2 } } d{A }_{1 } d{A }_{2 }]

[eqn: { Q}_{12 }= sigma { A}_{1 }{ F}_{12 } LEFT ({{T}_{1 }}^{4 }`````-{{T }_{2 } }^{4 } RIGHT )]	(1)

Graphite Crucible과 Quartz Crucible, Quartz Crucible과 Melt, Melt와 Ingot사이의 열전달은 Conduction에 의한 열전달이다. 이는 다음 식(2)으로 계산한다.

[eqn: Q ~=~ UA ( T_1 ~-~ T_2 )]	(2)

Conduction에 의한 열전달은 비교적 간략하게 Melt의 총량으로 계산된 평균 Melt의 온도를 알게 해 준다.

위의 다섯 단계에 대한 에너지 수지식을 쓰면 다음과 같다. 여기서 Heater의 온도는 T0, Graphite Crucible의 온도는 T1, Quartz Crucible의 온도는 T2, Melt의 온도는 T3, Ingot의 온도는 T4, 수냉관의 온도는 T5가 된다.

[eqn: { dQ} over {dt }= {Q }_{input }- { Q}_{output }]

①식 [eqn: INT { m}_{1}{Cp}_{1}{dT}_{1} = INT LEFT { { A}_{0 }{F }_{01 }({{T }_{0 } }^{4 }- {{T }_{1 } }^{4 } ````) - {U }_{1 } {A }_{1 }({T }_{1 }-{T }_{2 }```) ``` RIGHT }``dt]

∀ [eqn: { m}_{1}{Cp}_{1}({{T}_{1 } }^{2 }- {{T }_{1 } }^{1 }```) = { A}_{0 }{F }_{01 }({{T }_{0 } }^{4 }- {{T }_{1 } }^{4 } ````)``( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``) - {U }_{1 } {A }_{1 }({T }_{1 }-{T }_{2 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``)]

②식 [eqn: { m}_{2}{Cp}_{2}({{T}_{2 } }^{2 }- {{T }_{2 } }^{1 }```) = {U }_{1 } {A }_{1 }({T }_{1 }-{T }_{2 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``) - {U }_{2 } {A }_{2 }({T }_{2 }-{T }_{3 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``)]

③식 [eqn: { m}_{3}{Cp}_{3}({{T}_{3 } }^{2 }- {{T }_{3 } }^{1 }```) = {U }_{2 } {A }_{2 }({T }_{2 }-{T }_{3 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``) - {U }_{3 } {A }_{3 }({T }_{3 }-{T }_{4 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``)]

④식 [eqn: { m}_{4}{Cp}_{4}({{T}_{4 } }^{2 }- {{T }_{4 } }^{1 }```) = {U }_{3 } {A }_{3 }({T }_{3 }-{T }_{4 }```) ```( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``)- { A}_{4 }{F }_{45 }({{T }_{4 } }^{4 }- {{T }_{5 } }^{4 } ````)``( { t}_{2 }-{ t}_{1 } ``)]

Pull-Speed에 의해 Diameter가 영향을 받는 항을 V-equation, 온도에 의해 영향을 받는 항은 T-equation이라 두었다.

[eqn: V-equation= LEFT ( { 1} over {V+0.4 } -0.888 RIGHT )*2]

위 식에서 V는 실제 조업 pull-speed로써 1분 sampling time에서의 조업데이터로써 단위는 [mm/min]이다. 실제 데이터에 의하면 V의 범위는 0.5∼1.1[mm/min]의 범위를 가지므로 V-equation항의 값의 범위는 -0.442∼0.446cm가 된다.

[eqn: T-equation= LEFT ( { 10} over { SQRT { DELTA T+500} } -0.39 RIGHT ) *60]

여기서 [eqn: DELTA T]는 silicon 녹는점(1412℃)과 melt 평균온도 사이의 차를 말한다. 위의 T-equation항으로써 1∼400℃의 온도변화에 따라 Ingot Diameter가 ±3.4cm의 변동폭을 가지게끔 scaling하여 Diameter의 변동을 Pull-Speed와 온도의 영향에 관한 식으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: Rs=7.752+ LEFT ( { 1} over {V+0.4 }-0.888 RIGHT ) *2 + LEFT ( { 10} over { SQRT { DELTA T+500} } -0.39 RIGHT )*60]

여기서 7.752이란 값은 pull-speed가 0.6이고 [eqn: DELTA T]가 50일 때 실험적으로 Diameter가 거의 일정한 것을 고려해 역으로 원하는 Ingot 반지름인 10.16cm에 맞추기 위한 것이다.

위의 equation은 현재의 Pull-Speed 값이 Ingot Diameter에 주는 영향만을 고려하였기 때문에 Pull-Speed 변화에 따른 Ingot Diameter의 동특성을 고려하기 위해 다음의 과정을 실행하였다.

그림 1은 Pull-Speed를 0.03mm/min step-up 시켰을 때의 actual diameter의 실제 응답과 추정된 모델에 의한 응답을 나타낸다. Pull speed. Vs. diameter 의 동특성은 시간지연을 갖는 적분 공정으로 잘 표현될 수 있었으며 이때 실험을 불확실성이 고려된 모델 Parameter는 아래와 같이 추정되었다.

[eqn: { G}_{p } =- { k} over {s } { e}^{- theta S }], [eqn: 265.34 PREC k ({ { DIA}_{ scal } } over {mm}) PREC 360], [eqn: 5.2 PREC theta (min) PREC 7.2]

위의 Pull-Speed에 대한 동특성을 고려하여 본 연구에서는 Ingot의 Diameter 추정식에 적분 공정계의 Pull-Speed에 따른 Diameter 영향을 추가적으로 고려하였고, 이때 사용한 dynamic equation은 다음과 같다.

[eqn: { G}_{p } =- {265.34} over {s } { e}^{- 5.2 S }]

즉 5.2분의 시간지연과 -265.34           의 Gain을 갖는 적분 공정을 고려하여 주어진 모범적 Pull-Speed Trajectory를 Steady-State의 Pull-Speed로 간주한 Pull-Speed변화에 따른 적분공정계 Dynamics가 Ingot Diameter에 반영되도록 하여 다음과 같은 최종 Ingot Diameter공식을 사용하였다.

[eqn: Rs=7.752+ LEFT ( { 1} over { {V }_{st }+0.4 }-0.888 RIGHT ) *2 + LEFT ( { 10} over { SQRT { DELTA T+500} } -0.39 RIGHT )*60 +□Rs]

여기서 는는 Pull-Speed Actual이 Input으로 작용한 위 적분공정계에 의한 Rs의 error값을 나타낸다. 주어진 시간에 따른 모범적 Pull-Speed의 값을 의미하고

즉 최종적으로 얻어지는 RS는 Ingot의 반지름을 cm 단위로 나타내고 있다.

이 equation은 앞서 살펴본 ①∼④까지의 에너지 Simulation Model과 결합되어 실시간 대별 조업상황에 따른 Pull-Speed trajectory와 heater의 temperature trajectory 또는 온도를 임의로 바꿔봄으로써 Diameter의 Dynamic정보를 얻어낼 수 있는 형태의 equation이 된다. 이 equation을 통해 매 iteration마다 Ingot의 Diameter Rs를 계산함으로써 energy balance의 ③, ④식에서의 melt와 Ingot사이의 전도에 의한 열전달 Q = U3 A3 (T3-T4) 에서 접촉면적 A3을 알 수 있다.

3. 결론

Simulation 내에서  Pull-speed의 step change에 대한  ingot diameter의 response에 Integral 공정을 적용하여 modeling함으로써 Pull-Speed와 Heater 온도변화에 따른 Ingot Diameter의 변화 Trend를 모사 할 수 있었으며 실제 조업과 유사한 dynamics가 얻어짐을 확인하였다. 이것을 이용하여 제어 Parameter의 Tuning과 Close loop 상에서 공정을 Test 볼 수가 있고 실제 조업운전에 많은 기여를 할 것이라 여겨진다.

4. 참고문헌

(1) Michael F. Modest, "Radiative Heat Transfer", McGraw-Hill, Inc. (1993)

(2) Warren L. McCabe, Julian C. Smith, Peter Harriott, "Unit Operations of        Chemical Engineering", McGraw-Hill, Inc. (1995)

(3) Jone R. Howell, "A catalog of Radiation configuration Factors", McGraw-Hill, Inc. (1982)

그림1 . Pull speed 의 step-up 변화에 대한 diameter 응답

그림 2. Iteration 200에서 온도 step change up 후 Iteration 700에서 온도 step change down

그림 3. Iteration 150에서의 pull speed step change