반복 학습 제어 기법을 이용한 고속 열처리공정의 온도 균일 제어

이진호, 이광순, 최진훈

서강대학교 화학공학과

Control of Wafer Temperature Uniformity in Rapid Thermal Processing using an Optimal Iterative Learning Control Technique

Jinho Lee, Kwang Soon Lee, Jinhoon Choi

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

고속 열처리공정(RTP)은 단일 웨이퍼 가공 공정으로 최근 반도체 산업에서 많이 적용되고 있으나 웨이퍼 표면의 온도 균일도 유지가 아직도 어려운 문제로 남아 있다. 본 연구에서는 기존의 LQG 제어 알고리듬에 학습제어가 가미된 새로운 알고리듬을 제안하고 8 inch 웨이퍼용 RTP 모델을 대상으로 그 성능을 검증하였다. 또한 이런 새로운 알고리듬에 필요한 시변 선형 모델은 subspace 방법을 통하여 구한 각 온도별 시불변 선형 모델의 조합으로 유도하였다.

본론

RTP 공정의 모델링

본 논문에서는 웨이퍼를 반경 R과 두께 Z인 완전한 원통의 구조를 갖는다고

가정하였다. 웨이퍼의 회전각도에 따른 분포를 무시하면 에너지 수지식은 다음

과 같은 편미분 방정식으로 표현된다.

[eqn: rho {partial C_p (T)T} over partialt = 1 over r partial over partialr (k(T)r partialT over partialr )+ partial over partialz (k(T) partialT over partialz )]     (1)

[eqn: At~~~r=0~~~~ {partialT over partialr} = 0]

[eqn: At~~~r=R~~~~ {k(T) partialT over partialr} = q_{e} ^{rad} + h_e (T_gas - T)]

[eqn: At~~~z=0~~~~ {k(T) partialT over partialz} =-q_{b} ^{rad} + h_b (T_gas - T)]                           [eqn: At~~~z=Z~~~~ {k(T) partialT over partialz} = q_{t} ^{rad} + h_t (T_gas - T)]   (2)

여기에서 k, □, [eqn: C_p] 는 각각 실리콘의 열전도도, 밀도, 비열을 나타낸다. 사용된

밑첨자 e, b, t 는 각각 edge, bottom, top을 의미한다. 복사열의 경우, RTP의 기하

학적 구조에 따라 달라지며 본 연구에서는 Norman이 유도한 내용을 이 경우에

맞게 변환하여 사용하였다.

RTP의 대략적인 개략도는 다음과 같다.

그림 1. RTP 시스템의 개략도

Model Identification

본 연구에서 제안한 제어 알고리듬을 적용하기 위해서 시변 선형 모델을 채택하

였다. 앞의 그림에서 보는 바와 같이 RTP 시스템은 강한 비선형성을 가지고 있고

또한, 기준 온도 궤적을 따라서 운전이 되기 때문에 시변 선형 모델로의 근사가

가능하고 이의 적용을 실험하여 보았다. 시변 선형 모델을 구하는 과정은 다음과

같다.

1. 673°K에서 웨이퍼의 온도를 세 개의 SISO PID 제어기를 이용하여 조정한다.

안정화가 된 후, 제어기를 끈 상태에서 정상상태의 램프입력에 Perturbation을 더

하여 그 때의 온도 측정을 기록한다. 이러한 Data를 기반으로 하여 Subspace

Identification 방법인 N4SID를 사용하여 Linear state space model을 찾는다. 같은 과

정으로 1273°K까지 100°K 간격으로 반복하여 각 온도별로 찾아낸다.

2. 각 온도별로 구한 시불변 선형 모델을 state basis vector로 변환하여 찾아낸다.

3. 시변 선형 모델을 기준 궤적에 근거하여 변환된 모델을 내삽으로서 연결하여

전체적으로 하나의 시변 선형 모델을 구성한다.

N4SID로 찾아내어 구성한 time-varying stochastic state space model은 다음과

같다.

[eqn: x(t+1)=A(t)x(t)+B(t)u(t)+K(t)v(t),~t=0,1,cdots,N]   (3)

[eqn: y(t)=C(t)x(t)+v(t),~~with~R_v (t)=E(v(t)v(t)^T )]

최적 반복 학습 제어

위의 (3)식을 run-wise로 차를 취하여 정리한 식은 다음과 같다.

[eqn: z_k (t+1)=A(t)z_k (t)+B(t)Delta u_k (t)+K(t)w(t)]   (4)

[eqn: Delta y_k (t)=C(t)z_k (t)+w(t)]

이 때 [eqn: z_k = x_k - x_k-1 ,Delta u_k = u_k - u_k-1 , w_k = v_k - v_k-1 ,Delta y_k = y_k - y_k-1]로 정의된

다. 위의 (4)식에 근거하여 LQG 제어의 목적함수를 구성하면 다음과 같이 구성이

된다.

[eqn: min_{Deltau_k ()} J_k = E(e_k^T (N) Me_k (N)+sum_t=0^N-1 e_k^T (t) Lambdae_k (t)+Delta u_k^T (t)Gamma Deltau_k (t) )]  (5)

위와 같이 정리된 식은 일반적인 LQG 추적 제어문제의 목적함수이다. 이러한

형태의 문제의 해는 일반적으로 다음과 같이 주어져 있다.

[eqn: Delta u_k (t) =-L_fb (t) hat z_k (t|t)+L_ff (t)b_k (t+1)]   (6)

where,

[eqn: L_ff (t) = (B^T (t)S(t+1)B(t)+Gamma)^{-1}B^T (t)]

[eqn: L_fb = L_ff (t)S(t+1)A(t)]                (7)

이 때 식의 S(t)는 Riccati equation 의 해로서 다음과 같이 주어져 있다.

[eqn: S(t)=A^{T}(t)S(t+1)(A(t)-B(t)L_{fb}(t))+C^{T}(t)LambdaC(t)]

[eqn: S(N)=C^T (N)MC(N)]

또한, 앞먹임 신호인 [eqn: b_k (t)]는 다음 식으로 주어져 있다.

[eqn: b_k (t)=A^T (t)(I-S(t+1)B(t)L_ff (t))b_k (t+1)+C^T (t)Lambdae_{k-1}(t)]

[eqn: b_k (N)= C^T (N)Me_k-1 (N)]

위의 과정을 통하여 정리된 제어 알고리듬은 기존의 LQG 알고리듬에 학습제어기

능이 가미되어 좀 더 나은 성능을 보인다. 제안된 제어 알고리듬을 LQG-ILC라

부르며 다음의 수치모사를 통하여 그 성능을 검증하여 보았다.

수치 모사 결과

먼저 수치모사를 수행한 상황은 다음과 같다. 측정지점에서는 평균이 0이고 분산

이 0.5℃인 Gaussian noise를 더하여 온도측정을 하였다. 앞에서 제안한 시변 선형

모델을 사용하여 전체적인 모델을 구성하였다. 입력의 경우는 각각 2Kw, 15Kw,

50Kw 의 파워를 가진 램프로 가정하였고, 출력의 경우에는 웨이퍼의 중심으로부

터 r=0, r=1/3R, r=2/3R, r=R 지점에서 측정한다고 가정하였다.

우선 첫 번째 결과는 먼저 PID 제어기로 대략적인 제어를 한 후, 그 결과를 가

지고 10번의 회분을 운전한 후의 결과를 나타내었다. 좌측의 그림은 r=1/3R지점

에서의 출력이고, 우측은 그때의 세 번째 입력의 변화를 나타내었다.

그림 2. LQG-ILC 제어의 입출력 결과.

이러한 최종적인 결과를 표로 정리해 보았다.

Output Error at	r=0	r=1/3R	r=2/3R	r=R
Ramping	0.86	0.48	2.54	0.77
Regulation	0.51	0.38	1.36	0.58

표1. 10th run 후의 LQG-ILC 제어 결과

두 번째 경우는 RTP 시스템의 Viewfactor에 Perturbation을 가하여 똑같은 LQG

-ILC 알고리듬으로 제어한 결과이다. 다른 조건은 앞의 경우와 같다. 첫 번째 운

전은 앞의 마지막 10번째 운전의 결과를 이용하여 10번의 운전을 반복하였다. 입

력과 출력의 위치는 앞의 경우와 같다.

그림 3. LQG-ILC 제어의 입출력 결과

역시 마찬가지로 최종적인 제어 결과를 표로 정리하였다.

Output Error at	r=0	r=1/3R	r=2/3R	r=R
Ramping	1.36	0.88	3.82	0.43
Regulation	1.21	0.98	3.46	2.08

표2. 20th run 후의 LQG-ILC 제어 결과

(viewfactor`s perturbation)

결론

앞에서 제시한 LQG-ILC 제어 알고리듬의 성능을 수치 모사를 통하여 검증하여

보았다. 결과에서 나온 바와 같이 만족할 만한 성능을 볼 수 있다. 위의 운전회수

를 늘려 계속을 운전을 하면 제어 오차는 줄어들 수 있다. 그러나, RTP 시스템

자체가 가지고 있는 모델오차는 제어 알고리듬으로 극복할 수 없다. 따라서, 시스

템의 Design 문제에 귀결된다.