밑면이 가열되는 유체층에서의 전파이론의 확장

양대준, 최창균

서울대학교 공과대학 응용화학부

Extension of Propagation Theory in a Horizontal Fluid Layer Heated from Below

D. J. Yang and C. K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

밑면과 윗면에서 가열이나 혹은 냉각하는 경우 표면장력이나 부력에 의해 자연대류가 발생한다. 이와 같은 현상은 B□nard[1]가 처음 실험으로 발표하였다. 그로부터 많은 사람들에 의해 자연대류에 대한 문제가 연구되기 시작하였다. Lick[2]과 Currie[3]는 동결시간 모델을 바탕으로 Foster[4]는 증폭이론, Choi 등[5]은 열침투깊이를 새로운 길이차원으로 하고 교란의 시간의존성인 성질을 거리 의존성인 성질로 유사변환하는 전파이론을 사용하여 deep-pool계에 대하여 안정성 해석을 수행하였다. 본 연구에서는 Rayleigh[6]이후 잘 알려진 선형안정성 이론을 바탕으로 수평유체층에서 밑면에서 일정 열속, 등가속 열속으로 가열되는 계에 대해서 전파이론을 확장하여 전시간 영역에 걸쳐 자연대류 임계시점을 구하였다. 일정 열속계는 Nielsen 과 Sabersky[7], 등가속 열속계는 Ahlers 등[8]의 실험결과와 비교하였다.

이론

본 연구에서는 고정경계면에서 밑면으로부터 일정 열속(Case A)과 등가속 열속(Case B)으로 가열되는 유체층을 기본계로 하고 있으며 Figure 1과 Figure 2에 잘 나타나 있다. 초기 안정화된 유체층이 밑면으로부터 가열되기 시작하면 온도분포는 비선형적으로 변하게 되며 이에 따른 온도차이에 의해서 밀도변화가 발생하게 된다. 이러한 밀도변화에 따라 어느 시점이후에서는 부력에 의한 자연대류가 발생하게 될 것이다. 이때 유체층은 비압축성 뉴튼 유체이며, 밀도가 온도에 대해 선형으로 변하고, 외력에 의한 밀도변화를 제외하고는 밀도가 일정하다는 Boussinesq가정을 도입하면 다음과 같은 운동식, 에너지식, 상태식을 적용할 수 있다.

[eqn: rm rho_i [ { partial} over {partial t } + {bold U} CDOT { TRIANGLED} ]~{bold U}=- {TRIANGLED} P+ mu TRIANGLED^2 {bold U} +rho vecg]

(1a)

[eqn: rm [ { partial} over {partial t}+ {bold U} CDOT {TRIANGLED} ]T= alpha TRIANGLED^2 T]

(1b)

[eqn: rm rho=rho_i [ 1- beta (T-T_i )]]

(1c)

여기서[eqn: rm t, `{bold U},`P, `rho_i ,`mu,`T,`T_i , `vec g , `alpha,` beta]는 각각 시간, 속도벡터, 압력, 유체층의 초기밀도, 점도, 유체층의 온도, 유체층의 초기온도, 중력가속도, 열확산계수, 부피팽창계수를 나타낸다. 위 지배방정식에 기본량과 미소분의 교란량을 더하고 2차이상의 교란량을 무시하는 선형안정성이론을 적용하면 교란식이 얻어진다. 이를 다음과 같은 무차원 변수와 무차원군들을 이용하여 무차원화한다.

[eqn: rm theta _0 = {g beta L^3 (T_0 -T_u ) } over { alpha nu }], [eqn: rm theta _1 = {g beta L^3 T_1 } over { alpha nu }], [eqn: Pr = nu over alpha],[eqn: rm tau= { alpha t } over L^2]

교란량을 정규섭동식으로 하여 'double curl'을 취하게 되면 다음과 같은 교란량에 대한 진폭함수를 얻게 된다.

[eqn: rm1 over Pr {partial } over {partial tau } del^2 w_1 = del^2 del^2 w_1 + del_1 ^2 theta_1 ~~~~]

(2a)

[eqn: rm {partial theta_1 } over { partial tau } + w_1 { partial theta_0 } over { partial z } = Del^2 theta_1]

(2b)

여기서[eqn: rm {del ^2}_1],[eqn: rm w_1],[eqn: rm theta_1],[eqn: rm theta_0], Pr은 각각 2차원 Laplacian, z-방향의 속도교란량, 온도교란량, 그리고 전도만을 고려한 온도, Prandtl 수를 나타낸다. 일반적인 계의 길이보다는 실제로 변화가 발생하는 열침투깊이([eqn: PROPTO~ tau ^ 1/2])를 이용함으로써 이론적인 배경을 갖추었다고 할 수 있다. 따라서 전파이론에 의거[eqn: tau]와 z의 함수인 속도와 온도 교란량을 유사변수의 함수로 전환하기 위해[eqn: rm [w_1 ,theta_1 ]= [ tau w^* (zeta),theta^* (zeta)]]인 관계를 도입하면 다음과 같은 초기치 문제의 안전성방정식이 얻어진다.

[eqn: rm (D^2 -a^*^2 )^2 w^* = a^*^2 theta^* - 1 over Pr left[ 1 over 2 zeta D^3 w^* -{ a^*^2 } over 2 zeta Dw^* +a^*^2 w^* right]]

(3a)

[eqn: rm - zeta over 2 D theta^* + tau^2 w^* {partial theta_0} over {partial z} = D^2 theta^* - a^*^2 theta^*]

(3b)

여기서 [eqn: rm {a^*}]와 [eqn: zeta]는 각각 [eqn: rm a root tau] (a는 파수), [eqn: rm z / root tau]를 나타내며 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: rm w^* = Dw^* = D theta^* =0~~~~~at~~ zeta =0~~~]

(4a)

[eqn: rm w^* = Dw^* = theta^* =0~~~~~~at~~ zeta = 1/ root tau]

(4b)

계의 대류가 발생하기 전의 전도만 일어나는 상태에서의 온도분포는 이미 잘 알려져 있으며 온도분포 식은 다음과 같다[9].

[eqn: rm {partial theta_0} over {partial tau}= {partial^2 theta_0} over {partial z^2}]

(5)

이때 윗면의 온도는 [eqn: rm T_u] 로 일정하다. 즉 [eqn: theta --_0]는 0으로 유지된다. 여기서 우리는 다음과 같이 초기/밑면의 조건이 다른 두 경우를 살펴보겠다.

(Case A)                 [eqn: rm`theta sub 0 = 0~~~~~at ~~ tau =0]                         (6a)

[eqn: `` { PARTIAL theta _0} over {rm PARTIAL z} = -Ra_q`~~rm at ~~z=0 ~~~]

(6b)

(Case B)     [eqn: ~~~~~~~theta _0 = -Ra_0 rm (z-1)~~~~~at ~~tau =0~~~]                (7a)

[eqn: ~~~~ { PARTIAL theta_0} over { rm PARTIAL z } = -1.14`Ra_0 - 1.14`Ra_ psi tau -0.5`Ra_psi~~~~ rm at ~~z=0]

(7b)

위의 조건을 바탕으로 식 (5)의 해는 다음과 같이 주어진다. (Case B)는 Alhers 등[8]의 실제 실험조건을 대변한다.

(Case A)    [eqn: theta _0 = -2Ra_q tau ^1/2 rm SUM from { { n}=0} to inf LEFT [ ierfc (a' ) - iefrc(b' ) RIGHT ]]                   (8a)

(Case B)    [eqn: theta_0 =-Ra_0 {rm (z-1)}-]                                      (8b)

[eqn: (Ra_phi +0.28`Ra_0 )tau ^1/2 {rm SUM from { { n}=0} to inf (-1) ^n LEFT [ ierfc (a' ) -ierfc (b' ) RIGHT] } # - 9.12`tau^3/2 Ra_phi rm SUM from { { n}=0} to inf (-1) ^n LEFT [ i^3 erfc (a' ) -i^3 erfc (b' ) RIGHT]~~~]

여기서 [eqn: rm a' = {2n+2-z } over { 2 root tau } ,~ b' = {2n+z } over { 2 root tau }], [eqn: Ra_ phi =rm {g beta phi L^6 } over { alpha^2 k nu }], [eqn: Ra_q = rm {g beta q_w L^4 } over { alpha k nu }], [eqn: Ra_0 = rm{ g beta ( T_b - T_u ) L^3 } over { alpha nu}]이다.

이상의 교란식과 경계조건을 만족하는 해를 상미분방정식의 경계치 문제로서  Runge-Kutta-Gill 방법을 사용하여 수치해석적으로 구하였다. 먼저 Pr, [eqn: Ra_0], [eqn: Ra_q], [eqn: Ra _ phi]의 조건을 지정하고 [eqn: zeta]=0에서의[eqn: rm Dw^*^3],[eqn: theta^*]를 가정하고 지배방정식이 균일하므로 [eqn: rm D ^2 w^*]를 지정할 수 있다. 초기온도기울기를 지정하고 상부경계면조건들을 만족시키는 고유치[eqn: Ra_q], [eqn: Ra_phi], [eqn: rm a]를 Newton-Raphson방법으로 구하였다.  이때 파수[eqn: rm a]에 대해 최소의 [eqn: Ra_q], [eqn: Ra _ phi]값을 찾으면 되는데 그때 해당하는 [eqn: tau] 는 임계시점 [eqn: tau_c]를 나타내게 된다.

결과 및 토론

위의 수치해석법을 이용하여, 주어진[eqn: Ra_q], [eqn: Ra_ phi] 와 Pr에 따라 대류가 발생되는 임계시점[eqn: tau-_c]을 구하였다. 이 결과를 Figures 3 과 4에서 실험결과와 비교하였다.  Figure 3은 Nielsen 과 Sabersky[7]의 실험결과와 비교한 것이고 Figure 4는 Alhers 등[8]과 Foster[4]의 실험결과와 비교한 것이다. 그림에서 알 수 있듯이 일정열속계에 대해선 [eqn: Ra_q_c]가 이론치인 1296에 접근하고 있는 것을 알 수 있으며 등가속 열속계에 대해선 초기 온도 기울기의 영향이 상당히 크다는 것을 알 수 있다. 실험적으로 대류가 눈에 관찰되는 시점이 임계시간보다도 4배가 지난 후에 나타난다는 Foster[10]의 이론에 따르면 열속이나 등가속 열속에 대한 이론적 결과가 실험결과와 거의 일치함을 확인할 수 있다. 이전의 전파이론에서는 임계시점이 짧은 경우, 즉 deep-pool계의 경우에 대해서 타당한 결과를 얻었으나 이번 연구에서는 전파이론을 확장하여 전시간영역에 대해서 거의 정확한 임계시점을 얻을 수 있었다. Alhers 등은 실험결과를 Foseter[4]의 증폭이론에 따른 예측결과([eqn: tau-_c][eqn: PROPTO][eqn: {Ra_phi } ^-2/5])와 비교하였는데 이는 타당성이 결여된 것이다. 그들의 실험결과는 본 연구에서 보다 정확하게 해석하게 되었다는 것을 알 수 있다. 전파이론에 따르면 무한평판의 경우 등가속 열속계에선 [eqn: tau-_c][eqn: PROPTO][eqn: {Ra_phi} ^-1/3]의 관계가 나오며 옆면효과를 고려했을 때 Ahlers 등의 결과와 일치한다. 따라서 전파이론을 전시간영역으로 확장했을 때에도 deep-pool계 뿐만 아니라 다른 계에 대해서 대류발생시점을 예측하는데에 유용한 결과를 도출한다고 하겠다.

참고문헌

1.	B□nard, H.: Ann. Chem. Phys., 23, 62(1901).

2.	Lick, W.: J. Fluid Mech., 21, 565(1965).

3.	Currie, I. G.: J. Fluid Mech., 29, 337(1967).

4.	Foster, T. D.: Phys. Fluids, 8, 1249(1965).

5.	Choi, C. K., Lee, J. D., Hwang, S. T. and Yoo, J. S., Proceedings of the International Conference on Fluid Mechanics, Oxford, 1193(1988)

6.	Lord Rayleigh: Philos. Mag., 32, 529(1916)

7.	Nielsen, R. C. and Sabersky, R. H., Intl. J. Heat Mass Transfer, 16,	2407(1973)

8. Ahlers, G., Cross, M. C., Hohenberg, P. C. and Safran, S.: J. Fluid Mech.,  110, 297(1981).

9. Carslaw, H. S.  and Jager, J. G.: □Conduction of Heat in Solids□, 2nd ed., Oxford Press, Clarendon(1959).

10. Foster, T. D.: Phys. Fluids, 12, 1282(1969).

Figure 1. Schematic diagram of uniform heating (Case A).

Figure 2. Schematic diagram of time-dependent heating (Case B).

Figure 3. Comparison of the present prediction with Nielsen & Sabersky[7] data

Figure 4. Comparison of present results with Alhers et al.'s [8] data