가열로 슬라브의 3차원 유한체적모델에 의한 전열해석

김영일, 강덕홍*

포항산업과학연구원 제철공정연구팀, 에너지화성연구팀*

A Heat-conduction study for a Slab in Reheating furnace using 3D time-dependent FVM

YoungIl Kim, DeokHong Kang*

Iron&Steelmaking/Energy&Chemical Process Research Team at RIST

서론

철강업에서 가열로(reheating furnace)는 슬라브(slab), 빌레트(billet) 등을 균일한 목표온도까지 가열하는 주요한 공정이다. 가열로에 장입된 슬라브는 일반적으로 3~4개의 가열구간을 통과하고, 이때 슬라브는 차후 공정인 압연에 피해를 주지 않도록 최대한 목표온도에 근접해야하고 단면방향의 온도도 균일해야한다.

슬라브의 가열은 가열로내에서 전진하면서 각 가열구간의 특정 위치에 설치된 버너들에 의해서 이루어지며 가열의 불균일은 버너의 위치, nose부의 존재, 유입공기등의 영향을 받는다. 또한 슬라브의 가열로내에서 지지를 위해서 설치되는 skid 시스템의 skid pipe의 존재 때문에 복사의 방해와 전도의 상이성이 존재하고 이로인해 슬라브의 바닥에는 자취(skid mark)가 남게되고 skid beam의 위치에서는 심한 온도 편차를 보인다. 이러한 문제를 해결하기 위해서 마지막 가열구간(soaking zone)에서의 재로 시간의 조정과 허스 영역의 전기가열 방법이 이용된다. 이러한 가열로 조업을 최적화하기 위해서는 무엇보다도 슬라브에대한 전열해석이 선행되어야하고, 전열해석을 위해서 측온실험이 행해져야하지만 모든 소재와 조업 조건에 대하여 실험하는 것은 많은 시간과 투자를 요구하므로 실질적으로 어려우므로 적절한 수학적 모델을 기반으로 예측하는 방식이 가장 이상적인 방법으로 채택되어진다.

본 연구에서는 후판 가열로의 슬라브에 대하여 3차원 유한체적법(Finite Volume Method)에 기반한 순수한 수학적 모델을 개발하고 경계조건을 최대한 실제에 가깝게 반영하여 추출온도를 예측하고 이를 실제 측온 실험의 결과와 비교하여 개선방향을 알아보고자 한다.

이론

1. 지배방정식

가열로 내부에 존재하게되는 슬라브의 비정상(nonstationary) 온도분포는 3차원 전도방정식으로 표현된다.

[eqn: rhoC_p {partial T}over{partial t} = {partial}over{partial x}left(k {partial T}over{partial x}right)+{partial}over{partial y}left(k {partial T}over{partial y}right)+{partial}over{partial z}left(k {partial T}over{partial z}right)]	(1)

2. 유한체적법

식(1)은 유한체적법에 의해서 차분화하게 되는데 그 방법은 다음과 같다. 먼저 대상영역을 특정 단위 요소의 집합체로 차분화하고 식(1)의 지배 방정식을 그 구성 단위 요소에 대하여 경계조건을 고려한 적분에 의하여 구성요소의 개수에 해당하는 대수방정식을 구하고, 이렇게 얻어진 대수방정식을 푸는 것이다. 슬라브는 유한체적방법을 적용하기에 적절한 육면체이므로 유한요소법에 비하여 적용하기가 용이하다. 그림(1)에는 슬라브를 대상으로 단위요소(육면체)로 세분화한 그림을 보였고 skid pipe의 접촉면 및 경계영역을 상세하게 처리하기위해서 nonuniform mesh를 생성하여 처리한도록한다. 그림(2)의 임의의 단위 육면체에 대하여 유한체적법에의하여 적분하면

[eqn: int_tau^{tau+Delta tau} int_b^t int_s^n int_w^e rho Cp {partial T}over{partial tau}dx dy dz d tau &=int_tau^{tau+Delta tau} int_b^t int_s^n int_w^e left[ {partial}over{partial boldx}left( boldk{partial T}over{partial boldx}right)right]dx dy dz d tau]	(2)

이고 여기서 적분기호의 첨자들은 각각 x축의 West, East, y축의 South, North, z축의 Bottom, Top 및 시간([eqn: tau])을 의미한다. 좌변의 시스템 에너지변화 항은

[eqn: int_tau^{tau+Delta tau} int_b^t int_s^n int_w^e rho Cp {partial T}over{partial tau}dx dy dz d tau &= rho Cp int_tau^{tau+Delta tau} Delta x Delta y Delta z {partial T}over{partial tau}d tau# &=rho Cp (T_p -T_p^0 ) Delta x Delta y Delta z]	(3)

이고, 여기서 밀도와 열용량은 온도의 함수로 주어지는데 explicit로 취급처리하고 온도([eqn: T])의 하첨자(p)는 Control volume(CV)의 중앙점이다. 에너지 출입 항인 우변의 항들 중 x축방향의 항에 대하여 적분하면

[eqn: int_tau^{tau+Delta tau} int_b^t int_s^n int_w^e left[ {partial}over{partial x}left( k{partial T}over{partial x}right)right]dx dy dz d tau =& int_tau^{tau+Delta tau}left[ left(k {partial T}over{partial x}right)_e -left(k {partial T}over{partial x}right)_w right]d tau Delta y Delta z # =& f left[left(k {partial T}over{partial x}right)_e -left(k {partial T}over{partial x}right)_w right] Delta y Delta z Delta tau # & + (1-f) left[left(k {partial T}over{partial x}right)_e^0 -left(k {partial T}over{partial x}right)_w^0 right] Delta y Delta z Delta tau]	(4)

이고, 여기서 f는 implicity를 조정하는 인자로서 1이면 fully implicit이고 상첨자 0는 계산에 이용되는 온도 값이 이전 step의 값을 이용한다(explicit). 만약 대상 CV가 경계영역이 아닌 영역 내부의 CV라면 식(4)의 편미분 항은 각각 다음처럼 얻어진다.

[eqn: left(k {partial T}over{partial x}right)_e =& {k_e (T_E - T_P )}over{delta x_e}\ \ \ \ \ \ \ left(k {partial T}over{partial x}right)_w =& {k_w (T_P - T_W )}over{delta x_w}#]	(5)

경계영역의 CV였다면 경계조건에 따라 달라지는데 Dirichlet조건은 내부CV와 동일한 방법으로 Neumann/Cauchy조건은 식(5)의 오른쪽이 해당조건으로 대체되어 얻어진다.

3. 경계조건

가열로내에서의 경계조건은 연소가스(CO2, H2O, SO2)와 벽면에서의 복사에 의해 지배되므로 열유속 밀도의 형태로 표현되고 아래와 같다.

[eqn: -k {partial T}over{partial n} &= q_N# q_N &= {epsilon_s sigma}over{left[ 1 -(1-epsilon_s )(1-A_gs )right]} (epsilon_g T_g^4 - A_gs T_s^4 ) + sigma sum_j=1^N epsilon_sw,j (T_w,j^4 - T_s^4 )]	(6)

여기서, 우변의 첫째항은 가스에 의한 열유속으로 [eqn: epsilon_g],[eqn: A_gs]는 각각 가스의 복사율, 흡수율로서 연소가스의 조성, 슬라브온도, 가스온도,가스층두께의 함수이고, 둘째항은 벽면과의 직접복사에 의한 것으로 [eqn: epsilon_sw = epsilon_s epsilon_w tau_gm f_sw + Delta epsilon_f]로 모델링된다. 형상인자([eqn: f_sw])의 계산 방법은 Lindhom[1]방식을 수정하여 적용한다. 가스복사관련 모델은 Leckner[2]의 방식을 적용한다.

실험

개발한 프로그램에는 가열로 형상정보를 처리하는 부분, 슬라브 물성치를 처리하는부분, 조업 정보를 처리하는 부분, 수치해석을 처리하는 부분으로 구성된다. 가열로 형상 정보는 사용자가 실제 가열로 dimension을 입력파일 형태로 입력하고, 슬라브 정보는 BC에 수집된 정보를 바탕으로 입력받고, 조업 정보는 슬라브의 가열로내에서 각 가열영역에서의 온도, 압력, 가스조성, 슬라브 진행속도(moving beam 이동횟수), 특정위치에서의  체류시간등을 수집 및 송수신할 수 있도록 데이터 수집 시스템이 갖추어지고, 이렇게 수집된 정보들은 수치해석모델에 의해서 처리된다. 그림(3)에는 전체 시스템 구성도를 개략적으로 도시하였다. DCS 및 PLC를 통하여 수집된 가열로 운전정보와 BC의 슬라브 소재정보는 SCC에서 정리되고 3차원 모델이 작동하는 MMS로 전달되고 처리된다.

그림  Mesh generation

그림  Control volume & Index

그림(4)에는 재로시간에 따른 부위별 온도 변화를 도시하였다. 사용된 소재의 치수은 240x1880x2580, 장입온도는 28□, IP는 497이였다. IP란 Fe를 제외한 구성성분에 100을 곱하여 얻어지는 값으로 이값을 바탕으로 실험식에 의해서 온도에 따른 밀도, 열용량, 열전도도가 구해진다.

그림  시스템 구성도

그림(5)에는 최종 추출 슬라브의 3차원 온도분포를 도시한 결과그림이다.

그림  분위기온도 및 계산결과

그림  최종온도 분포도

결과 및 토론

순수한 수학적모델을 기반으로 슬라브의 3차원 전열해석프로그램을 제시하였으며, 온라인의 실 조업데이터를 바탕으로 작동하도록 구성하여 추출온도 예측을 통한 최적온도 설정 모델로 이용하는 것은 계산시간(Mesh=23x19x26기준 □1hr)의 문제의 제약 때문에 이용될 수는 없지만 시험재에 대한 온도 예측이나 발생 불량재의 평가를 실조업 데이터를 바탕으로 확인/검정할 수 있는 모델을 제시하였다.

현재는 skid button의 부위의 열출입을 convection항으로 가정하여 전열상수(25W/m2K)를 이용하여 처리하고 있지만 향후에는 가열로 전체 시스템 에너지 발란스를 고려하여 좀더 실재에 가깝도록 개선할 계획이다.

참고문헌

1. Dag Lindholm, Bo Leden(1999),"A finite element method for solution of the three-dimensional time-dependent heat-conduction equation with application for heating of steels in reheating furnaces," Numeriacal Heat Transfer, Part A, 35,155-172

2. B. Leckner(1972),"Spectral and Total Emissivity of Water Vapor and Carbon Dioxide," Combustion and flame 19,33-48

3. Shenvar, Fred(1994),"Walking beam furnace supervisory control at Inlands 80-in hot strip mill," Iron and Steel Engineer 71(7), 25-34

4. T.F.Smith, Z.F.Shen, J.N.Friedman(1982),"Evaluation of Coefficients for the Weighted Sum of Gray Gases Model," Journal of Heat Transfer, 104,602-608

5. B.Y.Yang, C.Y.Wu, C.J.Ho, Tsan-ying Ho(1995),"A Heat transfer model for Skidma가 formation on Slab in a Reheating furnace," J. of Materials Processing & Manufacturing Sci. 3,277-295