비선형계에서의 동적 거동 모사

유용석, 한현각

순천향대학교 화학공학부

Simulation of Dynamic Behaver in the Nonlinear System

Yong-Seok Yoo, Hyun-Kak Han

Department of Chemical Engineering, Soonchunhyang University

서론

제어들은 일반적으로 선형화한 시스템에 대한 적용을 보편적 제어 방식으로 사용하고 있으며, 현재에 와서는 실제계, 즉 비선형계에 대한 제어 방식을 많이 사용하고 있다. 실제 화학반응을 동반하고 있는 연속 회분식 반응기에 대한 온도제어를 함으로서 실제 현장에서의 현상 등을 예측할 수 있고, 또한  선형화한 시스템과 비선형시스템을 비교 함으로서 그 차이점을 쉽게 찾을 수 있다.

본 연구에서는 범용성이 우수한 Wittenmark 의 indirect pole assigment에 Smith preditor 을 겸비한 적응제어 방식을 채택하여 비선형화학반응에 적용하여 모사한다.

이론

시스템에 대한 수학적 모델

본 실험은 Fig. 1와 같이 나타낼 수 있다.

Fig. . CSTR with cooling jacket.

여기에서,

cA : 반응물의 농도,

T  : 반응물의 온도,

F  : 반응물의 유량,

TC : 냉각수의 온도,

FC : 냉각수의 유량,

i  : 초기 상태

이 변수들에 대한 분류를 해 보면,

상 태 변 수 : cA, T

상태 방정식 :

[eqn: rm {dV} over {dt} ~=~ F_i ~-~ F]	(1)

[eqn: rm {dc_A} over {dt} ~=~ 1 over tau ~(c_A_i ~-~c_A )~-~k_0 e^{-E/RT} ~c_A]	(2)

[eqn: rm {dT} over {dt} ~=~ 1 over tau ~(T_i ~-~ T) ~+~ Jk_0 e^{-E/RT} c_A ~-~ {Q} over {rho c_p V}]	(3)

여기에서       J = (-□Hr)/□cp

1/□= Fi/V

출 력 변 수 : V , cA , T

입 력 변 수 : Q , Fi , Ti , cAi , F

입력변수들 중 가장 일반적인 외란은

외       란 : cAi , Fi , Ti

일반적인 조절변수

조 절 변 수 : Q , F

상 수 인 자 : 밀도(□) , 열용량(cp) , 반응열(-□H) ,

반응속도상수(k0) , 활성에너지(E) , 기체상수(R)

여기에서,  Q는 공급열량, V는 반응기의 부피이다.

본 실험은 농도 cA 를 제어하기 위한 실험으로, 조절 변수로 Q 를 선택한다.  이에 나머지 입력변수들은 모두 상수로 놓는다.

본 실험에 대한 상수들은 Table 1과 같다.

위에서 말했듯이 Q 를 제외한 모든 입력변수를 상수로 놓게 되면, V도 상수로 놓이게 되어 식 (22), (23), (24)은 다음과 같이 간단해 진다.

Table . Constant Value.

Variable	Value	Variable	Value
Fi	2L/min	E/R	-3605.6K
cAi	0.1mol/L	k0	7.00*102 min-1
Ti	295K	Q	9*103 J/min·K
V	2L	TC	293K
□	1000g/L	cA	0.08mol/L
CP	4.184J/g·K	T	313K
(-□H)	-7.8KJ/mol

[eqn: rm {dc_A} over {dt} ~=~ 1 over tau ~(c_A_i ~-~c_A )~-~k_0 e^{-E/RT} ~c_A]	(4)

[eqn: rm {dT} over {dt} ~=~ 1 over tau ~(T_i ~-~ T) ~+~ Jk_0 e^{-E/RT} c_A ~-~ {UA} over {rho c_p V} (T_c ~-~ T )]	(5)

위 식을 상태 공간 방정식 형태로 적으면,

[eqn: rm & dc'_A over dt ~=~ a_11 c'_A ~+~ a_12 T' # rm & ~dT' over dt ~=~ a_21 c'_A ~+~ a_22 T' ~+~ b_2 T'_s]	(6)

여기에서

[eqn: rm a_11 = -q over V - k_0 e^{(-E/RT)}]   [eqn: rm a_12 = -k_0 e^{(-E/RT)} c_A left( E over RT^2 right)]

[eqn: rm a_21 = {(-Delta H) k_0 e^{(-E/RT)}} over {rho c_p}]     [eqn: rm a_22= 1 over {V rho c_A} left[ -(rho q c_p + UA) + (-Delta H) V c_A k_0 e^{(-E/RT)} left ( E over {RT^2} right ) right ]]

[eqn: rm b_2 = UA over {V rho c_p}] 이다.

식 (27)을 정리하여 laplace 변환을 해주면,

[eqn: rm & (s-a_11 ) c'_A (s) ~=~ a_12 T' (s) # # rm & (s-a_22 )~ T' (s) ~=~ a_21 c'_A (s) ~+~ b_2 T'_s (s)]

이 되고 열량 Q를 조절하여 Ts를 조절할 수 있으므로, 이것을 출력 c'A 와 입력 T's 에 대한 전달함수 형태로 적어주면,

[eqn: rm {c'_A (s) }over {T'_s (s)} ~=~ {a_12 b_2} over {s_2 - (a_11 ~+~ a_22 )s ~+~ a_11 a_22 ~-~ a_12 a_21 }]	(7)

이 된다.

결과 및 고찰

모사 결과에서는 실제계의 응답에 대한 오버슈트와 응답속도가 입력 변화 직후에는 크게 나타나지만 곧 실제계의 응답과 일치됨을 알 수 있었다.

Fig. . Response of Concentration for Supplied Heat Change.

Fig. . Response of Temperature for Supplied Heat Change.

Fig. . Response Concentration and Temperature for Step Input        Change at Reactor Volume 2 L.

Fig. . Response Concentration and Temperature for Step Input            Change at Reactor Volume 1 L.

Fig. . Result of P and PI Control.

참고문헌

1. Michael A. Henson. and Dale E. Seborg, "Nonlineal Process Control", Prentice

Hall PTR, (1997).

2. Dale E. Seborg., Thomas F. Edgar and Duncan A. Mellichamp, "Process Dynamic

and Control", John Wiley & Sons, (1989)

3. Michael L.Luyben. and William L. Luyben, "Essentials of Process   Control"

,McGRAW-Hill, (1997).

4. George Stephanopoulos, "Chemical Process Control",Prentice Hall PTR, (1984).