시간 주기적 전기장 하의 기포 진동의 3차원 해석

오정민, 강인석

포항공과 대학교 화학공학과

Three-dimensional Analysis of a Bubble Oscillation

under Time-periodic Electric Fields

Jungmin O, I. S. Kang

Department of Chemical Engineering, POSTECH

서론

최근 전자기장 하에서의 기포의 동역학에 대한 연구가 활발히 전개되고 있다.  그리고, 이를 이용해 열전달과 물질전달의 효율을 높이려는 데 관심이 증가되면서, 그 현상을 설명할 유체역학적 해석에 목적을 두고 많은 이론적 접근이 이루어지고 있다.  하지만, 시간 주기적 전기장 하에서의 기포의 진동 방정식을 유도하고, 적절히 해석하는 데는 뚜렷한 연구성과를 찾아보기 힘들다.  이 부분은 많은 연구자들의 실험적 결과에 대한 해석을 위한 이론적 토대를 이루는데 기여할 수 있을 것이다.  본 연구에서는 uniform electric field와 axisymmetric straining electric field(이하 straining field)와 같은 2차원적 전기장 뿐만 아니라, hyperbolic electric field와 같이 3차원적 전기장 하에서의 기포의 진동방정식을 유도하고, 그에 따른 체계적 해석을 하고자 한다.

이론

유동이 없는 절연체 유체 속에 이상기체와 vapor로 채워진 기포가 있다고 생각하자.  여기에 시간 주기적 전기장 또는 일정한 전기장과 시간 주기적 압력장을 가할 때, 기포는 경계면에서의 stress의 차에 의해 진동을 하게 된다.  그 진동은 전기장의 진동수나 진동크기, 압력차의 크기, 또는 Reynolds수나 Weber수의 범위에 따라 규칙적일 수도 있고, 예상할 수 없는 불규칙성을 보여 줄 수도 있다.  이런 기포의 불규칙적 혹은 혼돈적(chaotic) 진동은 진동 방정식의 비선형성에 기인한다.  기포의 모양을 시간의 따른 변화로 표현하는 진동 방정식은  기포의 반지름에 대한 부피 진동 방정식(the Rayleigh-Plesset equation)과 모양 변화를 결정하는 모양 진동 방정식(the Prosperetti equations)으로 나누어 생각할 수 있는데, 기존의 방정식들은 Plesset과 Prosperetti에 의해 처음 정립된 다음에 여러 연구자들에 의해 조금씩 수정되어 왔다[1, 2, 3].

기존의 기포의 진동 방정식을 확장시켜 전기장의 영향을 더할 수 없었던 이유는 기포 주위의 전기장의 일반해가 없었기 때문이다.  하지만, 최근에 발표된 Lee & Kang[4]의 논문에서 외부 선형 전기장(linear electric field)이 주어졌을 때 구형 기포 주위에 대한 전기장의 일반해를 구하였고, 이를 domain perturbation method를 이용해 진동 방정식에 포함시킬 수 있다.  다음은 외부에서 hyperbolic 형태의 전기장이 주어졌을 때, 구형 기포 주위의 전기장의 일반해이다.

[eqn: {rm bold E}_infty = rm bold G cdot bold x``]

(1)

[eqn: {rm bold G} = left[ matrix{1 &0 &0#0 &-1 &0#0&0&0}right]``]

()

[eqn: {rm bold E} = B_1 ({rm bold G}cdot{rm bold n}) - B_2(rm bold n cdot bold G cdot bold n ) bold n``]

()

[eqn: B_1 = {5R}over{3+2q}, & B_2 = {5R(1-q)}over{3+2q}``]

여기서 [eqn: R``]은 기포의 반지름을, [eqn: q``]는 기포의 안과 밖의 전기 전도율(conductivity)의 비([eqn: epsilon_\in /epsilon``])를 나타낸다.

유체에 자유전하가 없는 perfect dielectric field의 경우, 전기장은 유체의 흐름에 직접적인 영향을 주지 않지만, 기포의 경계면에서 안과 밖의 전기 전도율의 차에 의한 Maxwell stress가 존재하기 때문에 기포의 진동에 영향을 줄 수 있다.  Hyperbolic electric field가 가해졌을 때, 기포의 안쪽과 바깥쪽의 Maxwell stress의 normal direction component의 차는 다음과 같이 표현될 수 있다.

[eqn: [[{rm bold n cdot bold n cdot bold T}^e}]] = epsilon R^2 G^2 Bigg[ - {(1-q)}over{(3+2q)}{10 sqrt{pi}}over{3}Y_0^0]

[eqn: -{(1-q)(3+4q)}over{(3+2q)^2}{5}over{12}left(sqrt{5pi}Y_2^0 + sqrt{30pi}Y_2^2 right)]	[eqn: +{(1-q)^2}over{(3+2q)^2}left({95sqrt{pi}}over{21}Y_4^0 - {100}over{7}sqrt{{pi}over{10}}Y_4^2 +{50}over{3}sqrt{{pi}over{70}}Y_4^4 right) Bigg]]

(4)

여기서 [eqn: Y_n^m ``]은 surface harmonics를 나타낸다.  Uniform electric field에서는 모양진동에서 하나의 모드([eqn: Y_2^0 ``])만이 활성화되고, straining electric field에서는 두 개의 모드([eqn: Y_2^0 , Y_4^0 ``])가 활성화되는데 반해, hyperbolic electric field에서는 다섯 개의 모드([eqn: Y_2^0 , Y_2^2 , Y_4^0 , Y_4^2 , Y_4^4 ``])가 활성화된다.  그리고, straining field의 경우와 마찬가지로 hyperbolic electric field에서의 Maxwell stress는 [eqn: R^2 ``]에 비례한다.  이에 비해uniform electric field의 경우에는 [eqn: R``]에 관계없이 일정한 값을 가진다.  Normal stress condition에서 전기장의 영향을 생각해보면, 기포의 크기가 커질수록 전기장의 영향도 커지고, 크기가 작아지면 그 영향이 줄어들게 됨을 뜻한다.  따라서 크기가 커지면, 전기장에 의해 기포의 표면을 더 세게 누르게 되므로, 더 이상 커지는 것을 막으려 하게 되고, 반면에 기포의 크기가 작아질 때에는 전기장의 영향이 작아져서 표면을 누르는 힘이 줄어들게 된다.  따라서 전체적으로 기포의 진동을 안정화하려는 경향이 나타나게 되는 것이다.  (4)식을 포함하는 normal stress condition에서 부피진동 방정식과 모양진동 방정식은 각각 다음과 같다.

(부피진동)

[eqn: R {d^2 R}over{dt^2} + {3}over{2}left( {dR}over{dt}right)^2 = Delta P + {(2- overline{Delta P``})}over{R^3kappa} - {2}over{R}- {4}over{{rm Re}``R}{dR}over{dt}``]	[eqn: -{5(1-q)}over{3(3+2q)}W``G^2 R^2 ``]

(5)

(모양진동)

[eqn: {d^2 alpha_nm}over{dt^2} + left[ {3}over{R}{dR}over{dt} + 2{(n+2)(2n+1)}over{rm Re}{1}{R^2} right] {d alpha_nm}over{dt}``]

[eqn: +(n-1) left[ {(n+1)(n+2)}over{R^3}-{1}over{R}{d^2 R}over{dt^2} + 2{(n+2)}over{{rm Re}``R^3}{dR}over{dt} right] alpha_nm ``]

[eqn: = (n+1)left( W over epsilon right) {(1-q)}over{21(3+2q)^2} bigg[ sqrt{5pi}(3+4q)(delta_n2 delta_m0 +sqrt{6}delta_n2 delta_m2 ) ``]	[eqn: + sqrt{pi} (1-q) (19 delta_n4 delta_m0 -6sqrt{10} delta_n4 delta_m2 + sqrt{70} delta_n4 delta_m4 ) bigg] ``]

(6)

각 경우의 안정성을 알아보기 위해, 평형상태를 해석을 할 필요가 있다.  다음의 식들은 평형상태일 때의 압력차([eqn: Delta P``])와 반지름([eqn: R``])의 관계를 나타낸 식들이다.  차례대로 uniform field, straining field, hyperbolic field의 경우를 나타낸다.

[eqn: -Delta P = {(2-overline{Delta P``})}over{R^3}-{2}over{R}-{3}over{4} W``]

(7)

[eqn: -Delta P = {(2-overline{Delta P``})}over{R^3}-{2}over{R}-{5}over{12} W``R^2``]

(8)

[eqn: -Delta P = {(2-overline{Delta P``})}over{R^3}-{2}over{R}-{5}over{9} W``R^2``]

(9)

위의 (7-9)식들에서 알 수 있듯이, uniform electric field의 경우는 전기장의 영향에 의해 평형 상태가 평행 이동하는데 그치는 반면, straining electric field와 hyperbolic electric field의 경우는 평형선(equilibrium line)의 성격을 바꾼다.  즉, 적당한 Weber 수의 범위에서는 3개의 평형상태가 존재하고, 그 중 2개의 상태가 안정한 평형상태가 된다.  이는 2개의 homoclinic orbit이 존재함을 뜻하고, 점성이 있는 유체에서 초기 조건에 따라 수렴하는 기포의 평형상태가 달라질 수 있음을 얘기한다(Fig. 1 참조).  따라서, straining field와 hyperbolic field의 경우에는 uniform field의 경우보다 안정한 영역이 훨씬 넓어질 수 있고, 이런 종류의 전기장들이 기포를 안정화하려는 경향이 있다고 말할 수 있다.

기포의 진동이 일어나는 영역은 그 범위가 넓다.  진동하는 기포의 반지름은 수[eqn: mu m``]에서 수[eqn: cm``]까지 변할 수 있고, 속도는 sonoluminescence의 경우 음속의 속도까지도 가진다.  따라서 Reynolds수도 그 범위가 넓어지는데, 본 연구에서는 Reynolds수의 극한의 경우인 potential flow에 대한 inviscid dynamics와 약한 점성의 영역을 구분하여 따로 살펴보기로 한다.  Potential flow의 경우 energy dissipation이 없으므로, 초기조건이 평형상태가 아니면 영원히 진동을 하거나, 발산을 하게 된다(Fig. 2 참조).  이런 경우, 부피 진동이나 모양 진동이 외부 전기장의 진동주기와 맞지 않고, 따라서 각 진동간의 동적 특성도 다르게 표현된다.  즉, 외부 전기장에 의해 부피진동이 비교적 규칙적인 진동을 보이더라도, 모양진동에서 예측할 수 없는 불규칙성을 보여줄 수 있다.  이것은 약한 점도의 유체에서 보여주었던 진동간의 특성, 즉 기포의 진동은 외부 전기장의 진동의 주기를 기준으로 분기발생을 비롯한 다양한 dynamics을 보여준다 점과 부피진동과 모양진동은 항상 같은 동적 특이성을 가진다는 점과 대치가 되는 potential flow만이 가지는 동적 특성이라고 할 수 있다.

약한 점성이 있는 유체에서는 energy dissipation이 일어나고, 그 결과로 기포는 끊임없이 평형상태에 다다르려는 경향을 가지게 된다.  시간 주기적 전기장이 가해졌을 때 기포의 진동은 전기장의 주기를 기준으로 주기배가의 분기(period doubling bifurcation)가 일어나게 된다[5].

결과

본 연구에서는 절연 유체 속 기포가 시간 주기적 전기장의 영향을 받을 때, 부피 진동 방정식과 모양 진동 방정식을 유도하고, 평형 상태 해석과 점성이 없는 유체 속에서의 기포의 동적 거동에 대한 해석, 그리고 약한 점성 유체 속에서의 기포의 동적 거동에 대한 해석을 시도하였다.  부피 진동에 있어 straining electric field와 hyperbolic electric field가 외부에서 주어졌을 때는 부피가 커질수록 전기장의 영향이 커지는 것을 알 수 있다.  그리고, 점성이 있을 때와 없을 때는 서로 다른 동적 특성을 나타냄을 알 수 있다.  이런 전기장의 영향을 고려한 진동 방정식의 해석은 sonoluminescence와 같이 열전달과 물질전달을 동시에 고려해야하는 기포 진동의 연구에 많은 도움을 줄 수 있을 것으로 기대된다.

참고 문헌

1. M. S. Plesset and A. Prosperetti, Bubble Dynamics and Cavitation, Annu. Rev. Fluid. Mech., 9, 145-85 (1977)

2. Z. C. Feng and L. G. Leal, Nonlinear Bubble Dynamics, Annu. Rev. Fluid. Mech. 29, 201-43 (1997)

3. A. Prosperetti, Viscous Effects on Perturbed Spherical Flows, Q. Appl. Math, 35, 339-52 (1977)

4. S. M. Lee and I. S. Kang, Three-dimensional Analysis of the Steady-state Shape and Small-amplitude Oscillation of a Bubble in Uniform and Non-uniform Electric Fields, J. Fluid Mech., 384, 59-91 (1999)

5. Jungmin O, P. J. Kim and I. S. Kang, Chaotic Oscillation of a Bubble in Time-Periodic Electric and Sound Fields, Theories and Appl. of Chem. Eng., 4(2), 3761-4, 1998

감사

포항공대 첨단유체 연구센터(AFERC)를 통한 한국과학재단(KOSEF)의 연구비 지원에 감사드립니다.

Fig. . Effects of Electric Fields on Equilibrium Bubble Radius

([eqn: overline{Delta P``}]=1.0, W=0.1)

Fig. . Poincare Section for Inviscid Dyanamcis of a Bubble in Axisymm. Straining Electric Field

([eqn: overline{Delta P``}]=1.0, W=0.1, □=1.0, □=0.1)