자기장이 축대칭 당김흐름 내에 존재하는

기포의 정상상태 변형에 미치는 영향

신상민, 강인석

포항공과 대학교 화학공학과

Effects of Magnetic Field on Steady Shape of a Bubble

in a Uniaxial Straining Flow Field

S. M. Shin, I. S. Kang

Department of Chemical Engineering, POSTECH

서론

연주공정에서 용강(molten steel)의 내부에 가스 주입은 중요한 역할을 한다. 노즐의 막힘을 방지할 뿐만 아니라 기체의 표면에 개재물을 포집하여 부상하기 때문에 품질의 향상에도 기여할 수 있기 때문이다. 실제 연주공정에서는 아르곤 가스의 주입과 함께 용강의 유동을 조절하기 위해 전자기력을 가해주는데 기포의 크기와 형태는 용강-기포 2상 유동을 계산하는데 중요한 기초자료가 된다. 일반적으로 유동장내에 존재하는 기포의 최대 반경은 당김흐름 내에서의 기포 변형 특성으로부터 예측할 수 있는데, Ryskin & Leal[2]은 축대칭 당김흐름 내에서 정상상태의 기포의 변형을 연구하여 임계 Weber 수(Weber 수가 임계값 보다 큰 경우에는 정상상태 해가 존재하지 않음, 즉 기포가 파괴됨)의 값을 알아보았다.  본 연구에서는 자기장 하에서의 2상 유동 해석의 기초 자료로서 일정한 방향으로 가해진 자기장이 축대칭 당김흐름(uniaxial straining flow)내에서 기포 변형 특성에 미치는 영향을 알아보기로 한다.

문제설명 및 결과

<그림 1> System Description

축대칭 당김흐름내에서 중력의 영향을 받지 않는 기포에 한 방향으로 일정한 값을 가지는 자기장이 가해진 상태가 전체 시스템이다.(<그림 1> 참고) 유체가 용강과 같이 전기전도도(conductivity)가 큰 물질인 경우 유동장의 속도와 자기장에 의하여 유도전류가 생성되고 다시 이 전류는 자기장과 로렌츠 힘을 만들어 유동장을 변화시키게 된다. 변화된 유동장은 기포 주변의 normal stress 분포를 변화시켜 기포의 형태를 바꾸게 된다. 정상상태에서 기포의 모양은 다음과 같이 정의되는 3개의 무차원 수에 의해 결정된다.

[eqn: N={sigma B_c^2 l_c} over {rho u_c}] (Magnetic interaction parameter)

[eqn: Re={rho u_c l_c} over mu] (Reynolds number)

[eqn: W={rho u_c^2 l_c} over gamma] (Weber number)

Ryskin & Leal[2]은 자기장이 가해지지 않은 축대칭 당김흐름 내에서 정상상태의 기포의 변형을 연구하기 위하여 기포 주변의 유체는 비압축성 유체로 가정하고 기포 주변의 압력 변화가 기포의 부피를 변화시킬 수 없을 정도로 작아 기포의 부피는 일정하다는 조건을 도입하였다. 본 연구에서도 동일한 조건을 부여하고 자기장에 대하여는 기포 내부의 기체와 기포 외부의 유체의 자기투자율(magnetic permeability)은 거의 동일하다고 가정하였다.([eqn: mu_gas^EM] □ [eqn: mu_fluid^EM] ) 이는 실제 모든 경우에 타당한 가정이다. 기포의 자유계면 문제를 풀기 위한 좌표계는 Ryskin & Leal[1]에 의해 개발된 방법을 이용하였다. 기포 주변의 유동장을 풀기 위한 지배방정식과 경계조건으로서의 tangential stress condition, normal stress condition, far field condition은 다음과 같다.

[eqn: rho left[({rm bold u}cdot {bold nabla}){rm bold u} right] ~=~-{bold nabla}p + mu nabla^2 {rm bold u} +bold J TIMES bold B``]

[eqn: {rm bold t}cdot[{rm bold n}cdot({rm bold T}_fluid - {rm bold T}_{gas})] = 0``]

[eqn: {rm bold n}cdot[{rm bold n}cdot({rm bold T}_fluid - {rm bold T}_{gas})] ~=~ gamma`` ({bold nabla}cdot {rm bold n})``]

[eqn: {rm bold u}_inf = E`` BMATRIX { { 1}& ~~{0 }& ~~{0 }# { 0}& {-{1 over 2} }& ~~{0 }# { 0}& {~~0 }& {-{1 over 2} } }cdot {rm bold x}``]

유동장의 해를 구하기 위하여 vorticity - stream function formulation을 ADI-method를 이용하여 풀었다. 먼저 자기장이 가해진 정상상태에서의 기포의 모양을 얻기 위한 확인 과정으로 자기장이 가해지지 않은 정상상태 기포의 모양을 구하고, 이를  Ryskin & Leal[2]의 정상상태 기포 모양과 비교하여 동일함을 확인하였다. Ryskin & Leal의 경우 고정된 Re에 대하여 W를 계속 증가시키면 기포의 변형이 관찰되었으나 일정 한계의 W 값에 대하여는 수치해석의 해를 얻을 수 없는 임계 W 값이 존재하였다. 이 문제는 Kang & Leal[3]에서 동일한 문제를 비정상상태로 접근하여 임계 W 값이 존재하여 이 값을 넘어서는 W 값에 대하여는 기포가 대칭축으로 늘어나서 파괴됨을 확인하였다. 자기장의 존재 하에 기포의 변형이 어떤 방향으로 진행될 것인가를 예측하기 위하여 먼저 구의 형태로 모양이 고정된 기포에 자기장을 가하여 normal stress 분포를 알아보아 N이 증가할수록 대칭축에 가까운 곳에서 normal stress가 증가하고 멀어질수록 그 값이 감소함을 알 수 있었다.  이러한 결과로 자유계면에서 기포의 변형이 자기장이 가해질수록 대칭축으로 많이 변형된다는 것을 예측할 수 있다. <그림 2>는 Ryskin & Leal[2]의 연구결과와 비교하기 위하여 그들의 조건과 동일하게 Re=50, W=0.5에 각각 자기장 효과를 가하여 기포의 변형을 구한 것이다. Re=5, W=0.25의 경우에도 N을 증가할수록 대칭축 방향으로 기포의 변형이 진행됨을 확인할 수 있었다.

<그림 2> Bubble deformation under magnetic effects for Re=50, W=0.5,

long dash line : N=0, small dash line : N=2.0, solid line : N=2.4, horizontal     line is symmetric axis

<그림 3> Diagram of bubble breakup for Re=50, W=1.05

따라서, 고정된 Re 값과 W 값 하에서 N 값을 증가시켜가면서 임계 W 값을 구해 어느 범위까지 기포의 변형이 가능한가를 알아볼 수 있다. 본 연구에서는 Re 값이 고정된 경우에 N 값을 증가시켜가면서 기포의 변형을 관찰하여 임계 W값의 존재 범위를 얻었다. <그림 3>에 Re=50, W=0.5 경우의 임계 W 값의 그래프가 나타나 있다. 이 그래프로부터 자기장이 가해진 유동장 하에서 반지름이 a인 기포가[eqn: W={rho u_c^2 a} over gamma = {rho(Ea)^2 a} over gamma] 의 관계식을 만족함을 이용하여 W의 값을 알면 존재 가능한 기포의 크기를 예측할 수 있다. <그림 3>에서 임계 W 값들을 연결하여 기포가 존재 가능한 영역과 변형이 계속 진행되어서 기포가 깨지는 영역으로 구분하였는데 임계 W 값을 넘어서 기포가 깨지는 여부는 향후 비정상 상태 문제로 접근하여 임계 W 값의 타당성을 밝혀야 할 것이다.

결론

본 연구에서는 자기장이 가해진 축대칭 당김흐름 내에서 정상상태의 기포변형이 어떻게 되는가를 알아보았다. 먼저 자기장이 가해지지 않은 경우의 해를 구하여 Ryskin & Leal[2]의 결과와 동일함을 확인하였다. 자기장이 가해진 상태에서의 변형 방향을 예측해보기 위하여 기포의 모양이 구로 고정된 경우 기포의 표면을 따라서 normal stress 분포를 알아보고, 대칭축에 가까울수록 normal stress 값이 크고, 대칭축에서 멀어질수록 값이 감소하는 결과를 얻었다. 자기장 하에서 Re=50, W=0.5 경우와 Re=5, W=0.25 경우 모두 대칭축으로 변형이 진행되어서 자기장의 영향이 클수록 대칭축 방향으로 기포가 늘어난다는 결론을 내렸다.  또한, 자기장  하에서 기포의 최대 변형 정도를 임계 W 값을 구하여 알아보았다. 이로써 자기장 하에서의 기포의 모양 변형을 이해하고 존재 가능한 기포의 크기를 임계 W 값을 이용하여 알 수 있다. 이는 향후 2상 유동장 해석을 위한 기초 자료들로서 활용될 수 있다. 그러나, 실제 임계 W 값을 넘어서는 기포에 대하여 기포가 대칭축으로 늘어나서 깨지는지 여부는 정상상태의 접근 방법으로는 증명할 수가 없어 앞으로 이 문제를 비정상 상태의 변형 문제로 접근하여 임계 W 값의 타당성을 밝혀야 할 것이다.

참고 문헌

1. G. Ryskin and L.G. Leal, Orthogonal Mapping, J. Comput. Phys., 50, 71-100 (1983)

2. G. Ryskin and L.G. Leal, Numerical solution of free-boundary problems in fluid mechanics. Part 3. Bubble deformat`on in an axisymmetric straining flow, J. Flud Mech. 148, 37-43 (1984)

3. I. S. Kang and L.G. Leal, Numerical solution of axisymmetric, unsteady free-boundary problems at finite Reynolds number. I.Finite-difference scheme and its applocation to the deformation of a bubble in a uniaxial straining flow, Phys. Fluids, 30, 1929-1940, (1987)

4. L.G. Leal, Laminar and convective transport processes, Butterworth- Heinemann, USA, (1992)

감사

포항공대 첨단유체 연구센터(AFERC)를 통한 한국과학재단(KOSEF)의 연구비 지원에 감사드립니다.