점탄성 유체의 등온 방사공정에서 연신공명과 운동학적 파동에 관한 분석

정현욱, 송현섭, 이찬호, 최승민, 이주성, 현재천

고려대학교 화학공학과

Analysis of Draw Resonance and Kinematic Waves in the Isothermal Melt Spinning of Viscoelastic Fluids

Hyun Wook Jung, Hyun-Seob Song, Chan Ho Lee, Sung Min Choi,

Joo Sung Lee, and Jae Chun Hyun

Department of Chemical Engineering, Korea University

서론

방사공정에서 발생하는 주요한 불안정성의 하나인 연신공명은 연신비가 임계점 이상으로 커질 때 발생하며 방사단면적이나 힘과 같은 방사변수의 주기적인 변화를 그 특징으로 하고 있다. 지난 수 십년 동안 관련 연구의 발전으로 연신공명에 대한 몇 가지 중요한 결과들이 도출되었다[1-3]. 연신공명은 점탄성에 의해서도 변화되지만 Newtonian 유체에서도 관찰되는 hydrodynamic한 불안정성이고, 적당한 경계조건을 갖는 지배방정식이 주어지면 연신공명이 발생하는 임계연신비를 수치적으로 계산할 수 있다. 그러나, 아직까지 연신공명이 왜, 어떻게 발생하는지에 대한 근본적인 문제는 완전하게 규명되지 않은 상태다.

Hyun 등[4-8]은 계의 hyperbolic한 특성에 초점을 둔 운동학적 파동의 새로운 개념을 적용하여 불안정성의 메카니즘을 분석하였다. 즉, 방사사선에서 생기는 throughput 파동과 최대, 최소 방사단면적 파동의 전파시간을 비교함으로써 연신공명에 대한 새로운 기준식(또는, 판별식)을 제시하였다. 이 기준식의 중요한 의의는 다음과 같다. 선형 안정성분석 방법은 고유치(eigenvalues)의 부호로 공정의 안정성을 판별해 주지만 불안정성의 근본적인 물리적 현상을 설명하지 못한다. 이에 반해 운동학적 파동 개념은 연신공명이 왜, 어떻게 발생되고 지속되는가를 밝혀 준다. 또한, 이 개념을 사용함으로써 공정의 안정성을 간단하고 빠르게 판별할 수 있는 근사식을 유도할 수 있고[7], Lucchesi 등[9]이 고안한 "draw resonance eliminator" 장치의 냉각의 안정화 효과에 대한 근본적인 메카니즘을 설명할 수 있다[8].

본 연구에서는 점탄성 유체에 대해 이 운동학적 파동 개념을 확장, 적용하고자 한다. 이 결과로부터 안정성 기준식을 제시하고 점탄성 유체의 방사 거동 특성을 고찰하며 민감도(sensitivity) 분석으로 점탄성의 안정성에 대한 효과를 살펴보고자 한다.

지배방정식

Upper convected Maxwell 유체를 대상으로 하는 등온 방사공정의 무차원 지배방정식은 다음과 같다.

연속식:[eqn: rm {partial A} over {partial t} `+`{partial (AV)} over {partial x} `=` 0``] (1)

운동식:[eqn: rm {partial(A tau)} over partialx `=` 0``] (2)

구성방정식:[eqn: rm left(1`+`{overlinea} root3 De partialV over partialx right)`tau`+`De`left(partialtau over {partialt} `+` V partialtau over partialx `-` 2 tau ` partialV over partialx right) `=` 2`partialV over partialx``]

[eqn: rm lambda `=` lambda_o `/`left(1`+`overlinea`root3`lambda_o`partialV over partialx right)``],[eqn: rm De `=` lambda_o`V_o `/` L``]        (3)

경계조건:[eqn: rm A `=` A_0` `=` 1, ~V `=` V_0 `=` 1 ``] at x=0

[eqn: rm V `=` V_L `=` r``(1`+`epsilon) ``]        at x=1 for t=0+  (4)

여기서, A=무차원 방사단면적, V=무차원 방사속도, □=무차원 축방향 응력, x=무차원 방사거리, t=무차원 시간, De=Deborah 수,[eqn: rm overline a]=물질풀림시간의 변형률속도에 대한 의존도를 나타내는 상수, □=물질풀림시간, □o=zero 변형률속도에서의 □, r=연신비, □=권취점에서 초기 외란을 나타내는 상수이고 하첨자 0, L은 각각 방사구와 권취 지점을 나타낸다.

시간 t=0+일 때 권취점에서 외란(1%)을 도입시켜 방사사선의 과도 응답(transient response)을 계산한다.

결과 및 토론

점탄성 유체의 과도 응답은 Newtonian 유체에 의한 것[5]과 비슷한 거동을 보인다. Fig. 1은[eqn: rm overline a]=0.4, De=0.019, r=rc=27.97의 공정조건에서의 x-t좌표로 도시된 방사단면적(A), throughput(AV), 방사속도(V), 방사사선 힘(F)의 과도해이다. 이 결과로부터 다음과 같은 중요한 정보들을 얻을 수 있다. (1) 연신공명의 임계점 부근이므로 Fig. 1의 모든 곡선들이 대칭이다. (2) 방사사선 힘(F)은 이차적인 힘을 무시하였으므로 모든 nodes에 대해서 같다. (3) 권취점에서 방사사선 힘과 방사단면적의 시간 차이가 있다. (4) Amax과 Amin의 파동이 진동주기를 결정한다.

점탄성 유체의 방사공정에 대한 안정성 기준식은 Newtonian 유체에 대해서 유도된 것과 같은 방법으로[5] 유도될 수 있다. (Fig. 1에서 나타난 Amax, Amin 파동의 전파시간과 AV=1인 throughput 파동의 전파시간의 비교.) 다음 절에서 설명하는 바와 같이 점탄성 유체와 Newtonian 유체의 방사 거동 차이가 있음에도 불구하고, 안정성 기준식은 동일하다(Eq. (5)).

[eqn: rm left(t_L right)_1 `+` left(t_L right)_2 `+` T/2 ~ MATRIX { {>}#{=}#{<} } ~ left(theta_L right)_1 + left(theta_L right)_2]   for  [eqn: rm r ~MATRIX { {<}#{=}#{>} } ~ r_c] (5)

여기서, (tL)1, (tL)2=throughput 파동(AV=1)의 전파시간, (□L)1, (□L)2=최대, 최소 방사단면적의 전파시간, T=진동주기를 나타낸다. Fig. 2는 Eq. (5)의 안정성 기준식에 의한 결과를 도시한 것으로 계산된 임계연신비는 선형안정성 결과와 같다. 이러한 연신공명의 동력학적 특성을 더욱 구체적으로 묘사하는 Fig. 3은 위상 평면(phase plane)에서 연신공명 진동의 궤적을 보여 준다. r≥rc인 경우 limit cycle pattern이 계속됨을 알 수 있다.

Newtonian 유체와 점탄성 유체의 거동 차이를 구체적으로 설명하면 다음과 같다. Newtonian 유체에서는 node 1에서의 Amax 파동이 방사사선 힘이 최소인(Fmin) 순간에 나타나지만, 점탄성 유체의 경우 Fmin이 되기 전에 □ 시간만큼 앞서 나타난다(Fig. 1). 즉, 방사사선 힘은 node 1에서 대응되는 A 파동이 나타난 후 □ 시간만큼의 시간 지연을 갖게 된다. 이 시간 지연 □는 약 De 수에 해당되는 범위 안에 있는데 구성방정식(Eq. (3))을 힘의 표현식으로 변화시키면 알 수 있다.

[eqn: rm F `+` gamma`left(DF `/` Dt right) ``=`` 2`A`dot epsilon`gamma `/` De``]

여기서 F = □ A,[eqn: rm gamma `=` De `/` left(1`+`De`dot epsilon`(overlinea`root3 `-` 1) right)],[eqn: rm dot epsilon ``=`` partial V `/` partial x] (6)

□는 node 1에서 De의 크기 범위에 있는 양수임이 증명되고, Eq. (6)으로부터 방사사선 힘은 node 1에서 A 파동보다 지연되는 것을 확인할 수 있다.

이러한 결과를 바탕으로 점탄성 유체의 운동학적 파동 특성과 Jung 등[8]에서 적용한 방사사선 힘의 민감도 분석 방법으로 점탄성 유체의 안정성에 미치는 효과를 설명할 수 있다.

참고문헌

1. Gelder, D., Ind. Eng. Chem. Fundam., 10, 534 (1971).

2. Petrie, C. J. S. and Denn, M. M., AIChE J., 22, 209 (1976).

3. Petrie, C. J. S., Progress and Trends in Rheology II, 9 (1988).

4. Hyun, J. C., AIChE J., 24, 418 (1978), also, 24, 423 (1978).

5. Kim, B. M., Hyun, J. C., Oh, J. S. and Lee, S. J., AIChE J., 42, 3164 (1996).

6. Jung, H. W., Song, H.-S. and Hyun, J. C., submitted to AIChE J. (1999).

7. Jung, H. W., Choi, S. M. and Hyun, J. C., AIChE J., 45, 1157 (1999).

8. Jung, H. W., Song, H.-S. and Hyun, J. C., J. Non-Newt. Fluid Mech., in press (1999).

9. Lucchesi, P. J., Roberts, E. H. and Kurtz, S. J., Plast. Eng., May, 87 (1985).

Fig. 1. Transient curves of spinline variables at five different spatial points of the spinline when r=rc=27.97 for the case of[eqn: rm overline a]=0.4, De=0.019.

Fig. 2. Required traveling time for two successive unity-throughput waves, and allowed traveling time by Amax and Amin waves plotted against drawdown ratio, r.

Fig. 3. Pictures of the spinline area at take-up in the phase plane.