열교환기 망을 흐르는 냉각수 유량의 조절

김진경, 이범석

경희대학교 화학공학과

Manipulation of Cooling Water Flows in A Heat Exchanger Network

Jinkyeong Kim, Bomsock Lee

Dept. of Chemical Engineering, Kyunghee University

서론

일반적으로 화학 공장에서 사용되는 열교환기들은 열교환기 망이라는 하나의 네트워크로 연결되어 냉각수를 공급받으며, 각 열교환기를 흐르는 냉각수의 유량은 열교환기 후미에 설치되어있는 밸브를 여닫음으로써 조절되어 진다. 이런 경우에 네트워크에 연결된 한 열교환기에 흐르는 냉각수의 유량을 변화시키면, 함께 연결되어진 다른 모든 열교환기를 흐르는 냉각수의 유량이 영향을 받게 된다. 결국 열교환기 망에 연결되어 있는 하나의 열교환기에 흐르는 냉각수의 유량을 조절하기 위해서는 열교환기 망에 연결된 모든 열교환기의 후미에 부착되어진 밸브를 조절해야 한다.

본 연구는 화학 공장 등에서 사용되어지는 열교환기 망을 흐르는 냉각수의 유량을 예측하기 위한 알고리즘1)을 바탕으로, 각 열교환기에 흐르는 냉각수의 유량을 조절하는 것을 목적으로 한다. 이를 위하여 열교환기 후미에 부착되어진 밸브의 열림 정도와, 관의 직경 등을 조절 변수로 하고, 각 열교환기에서 요구되는 냉각수의 유량과 실제 열교환기에 흐르는 냉각수 유량의 차이를 최소화하는 것을 목적함수로 하는 최적화 모델을 개발하였다.

본론

1. 최적화 모델

본 연구에서는 열교환기 망을 흐르는 냉각수의 유량을 예측하기 위해 식 (1)에 나타낸 Hazen-Williams 식을 사용하였다. Hazen-Williams 식은 파이프를 흐르는 냉각수의 유량과 수두손실의 관계를 나타내는 대표적인 실험식 중의 하나이다.2), 3), 4)

[eqn: Q_ji~ = ~C_H ~ D_ji^2.63 ~ LEFT ( {DELTA H_ji} over {C·L_ji} RIGHT )^0.54~~~~~~~~~~where,~~~ Q_ji ~:~ 지점 ~j와~ i를~ 흐르는~ 냉각수 ~유량~~~~~(1)]

[eqn: DELTAH_ji ~:~지점~ j와 ~i~간의~수두차~[m]]

[eqn: D_ji ~:~지점 ~j~와 ~i~간의 ~파이프~직경]

[eqn: L_ji ~:~지점 ~j와~ i~간의 ~파이프~길이]

[eqn: C_H ~:~ 파이프~특성~상수]

[eqn: C ~:~ 변환~상수]

각 node에서의 냉각수 흐름에 대해서 물질 수지식을 세우면 식 (2)와 같이 나타내어지는데, 이 식은 node j에서 node i로 흐르는 냉각수의 흐름을 node i에서의 물질 수지식으로 표현한 것이다.

[eqn: SUM from {{j}=1} to {n} Q_ji + Q_ext = 0~~~~~~~(i=1,…, n)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)]

여기서, [eqn: Q_ext]는 열교환기 망의 외부로부터의 냉각수 유입(>0) 혹은 유출(<0) 유량을 나타낸다. 위의 두 식은 최적화 모델의 제약조건이다.

식 (1)과 (2)로써 나타내어진 비선형 연립 방정식에서 node j에서 node i로 연결되는 관의 직경 [eqn: D_ji]와 길이 [eqn: L_ji]를 상수로 가정하고, Newton-Raphson Method를 이용하여 비선형 연립방정식의 해를 구하면 두 제약조건을 만족하는, 각 node에서의 수두와 냉각수의 유량을 얻을 수 있다.1)

그러나 본 연구의 최적화 모델은 각 열교환기 후미에 연결되어진 밸브를 조정하여 목적함수인 식 (3)을 최소화 시키는 것이다.

[eqn: SUM from {(j,i) IN S} {LEFT | ~ Q_ji - Q_ji ^D ~ RIGHT | },~~~~~~~~~where, ~(j,i) IN S ~:~ 열교환기의 ~앞,~ 뒤를 ~나타내는 ~node~ j, ~i~~~~(3)]

[eqn: Q_ji ,~(j,i) IN S ~:~ 각~열교환기를~흐르는~냉각수~유량]

[eqn: Q_ji^D ,~(j,i) IN S~:~각~열교환기에~요구되는 ~냉각수~유량]

그러기 위해서 각 열교환기의 후미 파이프에 부착되어진 밸브의 조절에 의존하는 등가 길이([eqn: L_e] )라는 개념을 적용한다. 이 등가 길이는 실제 네트워크에 연결된 파이프의 길이와 밸브 등가 길이의 합으로 이루어져 있다. 이를 식 (4)와 같이 수식으로 표현할 수 있다.

[eqn: L_ji,e = L_ji,real + L_v~~~~~~~~~~~~~~~where,~~~L_ji,real ~:~열교환기~후미의~파이프~실제~길이~~~~(4)]

[eqn: L_v ~:~열교환기~후미에~장착된~밸브의~등가~길이]

식 (4)에서 밸브 등가 길이([eqn: L_v])는 밸브의 열림 정도에 의해 결정되어지는 값으로, 아래의 식 (5)로 나타내어 진다.5)

[eqn: L_v = a delta ^3 + b delta^2 + c delta + d ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)]

여러 직경의 파이프에 대한 게이트 밸브에서의 상수 a, b, c, d 값은 그림 (1)에서 구할 수 있다. 그리고 [eqn: delta]는 밸브의 열림 정도를 나타낸다.5)

그림  게이트 밸브에서의 밸브 등가 길이와 밸브 열림 정도의 관계

관직경 (m)	a × 10-6	b	c	d
0.102 (○)	5.3627	0.00306	0.64510	18.55191
0.154 (■)	1.4410	0.00128	0.41775	19.11229
0.212 (△)	0.6187	0.00073	0.31470	19.26600
0.265 (●)	0.2995	0.00045	0.24776	19.22704

2. 최적화 기법 - 시행착오법

일차적으로 관의 직경은 상수로 가정하고, 초기 밸브의 등가 길이(Lv)는 밸브가 완전히 열린 상태의 등가 길이로 한다. 이렇게 하여 식 (1)과 식 (2)에 값들을 대입하여 비선형 연립 방정식의 해를 구하면, 그 때의 각 node에서의 수두 초기 조건에서 각 열교환기를 통과하는 냉각수의 유량을 구할 수가 있다. 이렇게 계산되어진 유량들을 목적함수에 대입하여 나오는 값이 주어진 오차 범위에서 만족하는지의 여부를 확인한다. 만약 오차 범위를 만족하지 않을 경우에는 relaxation을 이용하여 새로운 등가 길이를 가정하고, 이 값들을 이용하여 새로운 유량을 계산한다.

이와 같은 시행착오 방법을 이용하여 목적함수를 최소화시키는 등가 길이가 구하여지면, 이 등가 길이에서부터 식 (5), 혹은 그림 (1)을 이용하여 밸브의 열림 정도를 결정할 수가 있게 된다.

만약 주어진 파이프의 실제 길이와 직경에서 등가 길이를 얻을 수 있는 밸브의 열림 정도로 밸브의 조작이 불가능할 경우에는 파이프의 직경을 변화시키고, 그 직경에서의 밸브 열림 정도를 결정한다.

예제

그림 (2)에서 보여지는 것과 같이 10개의 열교환기가 하나의 네트워크로 연결되어진 열교환기 망이 있다. node 1으로 들어오는 냉각수의 유량은 항상 일정하고 그 값은 89.5 l/s이다. 그리고 node 40에서의 수두는 103 m로 일정하다. 밸브가 연결되어진 파이프의 직경과 길이에 대한 값들은 표 (1)에 나타내었다. 또한 본 예제에서 밸브의 열림 정도는 25∼75% 까지 가능하다고 가정하였다.

그림  열교환기 네트워크

표 1각 열교환기 후미의 관의 직경과 길이

NCES	Pipe
	D (m)	Lreal	Le 초기값 (m)
12-39	0.053	21.58	22.0
14-35	0.154	24.83	26.0
16-35	0.154	67.83	69.0
18-37	0.154	57.83	59.0
20-34	0.053	9.58	10.0
22-33	0.053	11.58	12.0
24-32	0.041	16.65	17.0
26-31	0.102	15.18	16.0
28-31	0.102	21.18	22.0
30-36	0.078	95.17	97.0

이 예제에 대하여 위에 설명한 시행착오 방법을 사용하여 식 (3)으로 나타내어지는 목적함수를 최소화한 결과를 표 (2)에 나타내었고, 이 때 각 열교환기를 흐르는 유량과 각 열교환기에 설계 시 요구되는 유량 값이 표 (3)에 나타내어져 있다.

표 2 밸브의 조작과 관 직경의 변경

NCES	조작 전		조작 후
	D (m)	Valve state	D (m)	Valve state
12-39	0.032	25% closed	-	30% closed
14-35	0.204	〃	0.305	33% 〃
16-35	0.127	〃	-	52% 〃
18-37	0.102	〃	0.114	56% 〃
20-34	0.032	〃	-	71% 〃
22-33	0.032	〃	-	67% 〃
24-32	0.025	〃	-	25% 〃
26-31	0.076	〃	-	55% 〃
28-31	0.102	〃	0.204	55% 〃
30-36	0.051	〃	-	30% 〃

표 3 각 열교환기의 실제 냉각수 유량

열교환기	Flow rates, Q (l/s)
	요구값	조작 후
A	1.9	1.9
B	23.0	22.2
C	20.5	20.5
D	20.5	20.5
E	1.4	1.4
F	1.4	1.4
G	0.8	0.8
H	7.8	7.8
I	10.0	10.0
J	2.2	3.0

결과 및 토론

열교환기 망에서 각각의 열교환기에 요구되는 냉각수 유량을 최대한 만족시키기 위해서는 모든 열교환기를 함께 고려해가며 각 열교환기의 후미에서 밸브를 조절하여야 한다. 이 때에 어느 곳의 밸브를 어느 정도 열고 닫아야 하는가를 결정하기 위해서 최적화 모델을 개발함으로써, 작은 system의 경우에는 시행착오 방법을 이용하여 각각의 열교환기에 요구되는 냉각수의 유량과 근접한 유량으로 냉각수를 흐르도록 할 수 있게 되었다.

그러나 대형 화학 공장에서와 같이 매우 많은 수의 열교환기가 연결된 네트워크에 적용시킬 경우에는 위에 설명한 시행착오 방법을 사용하면 상당한 시간이 걸리고, 결과를 얻는데 많은 어려움이 따른다. 따라서 본 연구에서는 이러한 경우의 비선형 최적화 문제에 널리 사용되는 최적화 상용 프로그램인 GAMS / MINOS를 사용하여 대형 열교환기 망을 흐르는 냉각수 유량 조절 문제를 해결하려고 한다.

감사

본 연구를 위해 많은 지원을 해주신 포항공대 ARC에 감사드립니다.

참고문헌

) Hyungtak Lee, Bomsock Lee, and In-Beum Lee, "Analysis and operation of cooling water flows in a heat exchangers network", KJChE (1997)

) Hammer and Mark, J., "Water and Wastewater Technology", John Wiley & Sons (1986), chap 4.

) Walski, T.M., Gessler, J. Sjostrom, J.W., "Water Distribution Systems : simulation and Sizing", Lewis (1990).

) Male, J.W. and Walski, T.M., "Water Distribution Systems", Lewis (1990).

) Ludwig, E. E., "Applied Process Design for Chemical and Petrochemical Plants volume 1", Gulf Publishing Co. (1977)