밑면으로부터 등가속 가열에 따른 유체층에서 열적 불안정성

정웅교, 최창균

서울대학교 공과대학 응용화학부

The Thermal Instability in a Fluid Layer Heated Subjected to Ramp Heating from Below

W. G. Jeong and C. K. Choi

School of Chemical Engineering, Seoul National University

서론

자연대류는 중력장 하에서 부력이나 표면장력의 차이에 의해 발생되는 물리적 현상이다. 부력에 의한 자연대류는 열 또는 물질전달이 일어나는 각종 화공장치의 설계에서 자주 볼 수 있으며, 자연대류에 의한 유동은 실제 공정에서 열 및 물질전달 특성에 영향을 미치므로 이에 대한 연구가 진행되어 왔다. 이러한 자연대류에 관한 연구는 대기의 모델링 및 제품의 균질화, 순수화를 요구하는 결정성장, 전자소재의 가공 등의 영역에서 중요한 기여를 하고 있다.

본 연구에서는 잘 알려진 선형안정성 이론과 Choi 등[1]에 의해 제안된 전파이론을 이용하여 밑면이 등가속 열속 형태로 가열되는 유체층에서의 열적 불안정성을 해석하고, 그 이론적 해석 결과와 Ahler 등[2]의 실험결과를 비교하였다.

이론

본 연구에서는 고려하는 계는 Fig. 1과 같이 유체층이 밑면으로부터 열속[eqn: rm q_w]로 가열되는 데, 이때 열속[eqn: rm q_w]([eqn: rm = q_0 +phi t])은 어떤 시간[eqn: rm t_0] 이후에[eqn: rm phi t]의 형태로 증가하게 된다. 초기에 계는 [eqn: rm T_u]의 정온 상태로 유지되며, [eqn: rm q_0]는 0으로 가정하였다. 이러한 경우 시간[eqn: rm t_0] 이후에 유체층의 온도분포는 비선형적으로 변하게 되며, 이때의 온도차에 의해 발생하는 부력에 의해 대류가 일어날 것이다. 이때 유체층은 비압축성 뉴튼 유체이며, 밀도가 온도에 대해 선형으로 변하고, 외력에 의한 밀도변화를 제외하고는 밀도가 일정하다는 Boussinesq가정을 도입하면 다음과 같은 운동식, 에너지식, 상태식을 적용할 수 있다.

[eqn: rm rho_i [ { partial} over {partial t } + {bold U} CDOT { TRIANGLED} ]~{bold U}=- {TRIANGLED} P+ mu TRIANGLED^2 {bold U} +rho vecg]

(1-a)

[eqn: rm [ { partial} over {partial t}+ {bold U} CDOT {TRIANGLED} ]T= alpha TRIANGLED^2 T]

(1-b)

[eqn: rm rho=rho_i [ 1- beta (T-T_i )]]

(1-c)

여기서 [eqn: rm `U,`P, rho_i ,`mu,`T,`T_i]은 각각 속도벡터, 압력, 유체층의 초기밀도, 점도, 유체층의 온도, 유체층의 초기온도를 나타낸다.

본 연구에서 고려되는 계에서 부력에 의한 자연대류 현상을 설명하는 데 중요한 무차원군인 Rayleigh수, Ra와 Prandtl수, Pr은 다음과 같다.

[eqn: rm Ra={g beta phi L^6 } over{ alpha^2 k nu} ,~~~Pr = {nu} over {alpha}]

여기서, [eqn: rm g,~beta,~nu,~alpha,~k]는 각각 중력 가속도, 부피 팽창계수, 동점도, 열 확산계수, 열전도도이다. 위 지배방정식에 기본량에 미소분의 교란량을 더하고 2차이상의 교란량을 무시하는 선형안정성이론을 적용하면 다음의 교란식이 얻어진다.

[eqn: rm rho_{iti} {partial{boldU}_1} over partialt = -del{boldP} +mudel^2 {boldU}_1 +rho vecg]

(2-a)

[eqn: rm partialT_1 over partialt + w_1 partialT_0 over partialZ = alpha del^2 T_1]

(2-b)

여기서 하첨자 □1□은 교란량을 □0□은 기본량을 나타내며, [eqn: rm w_1]은 z방향의 속도 성분을 나타낸다. 위 식들을 무차원하기 위하여 다음과 같은 무차원 군들이 사용된다.

[eqn: rm theta_0 = {T_0 - T_u} over DeltaT_phi], [eqn: rm Ra_phi = {g beta DeltaT_phi L^3} over {alpha nu}]

[eqn: rm theta_1 = Ra_phi T_1 over DeltaT_phi], [eqn: rm Ra = {g beta DeltaTL^3 } over {alphanu}]

여기서 [eqn: rm Delta T]([eqn: rm =T_b - T_u])는 계의 밑면의 온도와 윗면의 온도차를 나타내며, [eqn: rm DELTA T_phi]([eqn: rm = {phi L^3 } / {alpha k}])는 시간에 따라 증가하는 열속계에서 사용되는 온도차이다. 이 온도차를 일반적인 Rayleigh수에 대입하면 무차원[eqn: rm Ra_phi]가 얻어진다. 일반적으로 Rayleigh수에서 분자는 자연대류를 유발하는 부력을 나타내고 분모는 자연대류의 발생을 억제하는 열확산과 동점도를 나타낸다. 즉 Ra값이 증가할수록 자연대류의 발생이 쉬워진다.

위에서 정의한 무차원군과 교란량을 정규섭동식으로 치환하여 □이중 커얼□을 취한 후 z방향의 성분을 모으면 다음과 같이 변형된다.

[eqn: rm1 over Pr {partial } over {partial tau } del^2 w_1 = del^2 del^2 w_1 + del_1 ^2 theta_1 ~~~~del_1^2 = {partial^2} over {partial x^2} + {partial^2 } over {partial y^2 }]

(3-a)

[eqn: rm {partial theta_1 } over { partial tau } + w_1 Ra { partial theta_0 } over { partial z } = Del^2 theta_1]

(3-b)

여기서[eqn: rm w_1],[eqn: rm theta_1],[eqn: rm theta_0]는 각각 z방향의 속도교란량, 온도교란량, 그리고 전도만 일어날 때의 온도를 나타낸다. 전파이론은 이러한 교란량들의 변화가 일어나는 열침투 깊이를 길이단위로 교란량을 무차원하여 안정성해석을 수행하는 것이다. 일반적인 계의 길이보다는 실제로 변화가 발생하는 열침투깊이를 이용함으로써 이론적인 배경을 갖추었다고 할 수 있다. 따라서[eqn: tau]와 z의 함수인 속도와 온도 교란량을 유사변수의 함수로 전환하기 위해 [eqn: rm [w_1 (tau,z),theta_1 (tau,z)]= [ tau w^* (zeta),theta^* (zeta)]]인 관계를 도입하면 다음과 같은 초기치 문제의 지배방정식이 얻어진다.

[eqn: rm (D^2 -a^*^2 )^2 w^* = a^*^2 theta^* - 1 over Pr left[ 1 over 2 zeta D^3 w^* -{ a^*^2 } over 2 zeta Dw^* +a^*^2 w^* right]]

(4-a)

[eqn: rm - zeta over 2 D theta^* + Ra tau^2 w^* {partial theta_0} over {partial z} = D^2 theta^* - a^*^2 theta^*]

(4-b)

계의 대류가 발생하기 전의 전도만 일어나는 상태에서 아래의 식으로부터 얻어지는 온도분포의 해는 이미 잘 알려져 있다[3].

[eqn: rm {partial theta_0} over {partial tau}= {partial^2 theta_0} over {partial z^2}]

(5)

[eqn: rm &at~z=0, ~~theta_0 =0 #rm &at ~z=1, ~~D theta_0 = 1 ~~for ~tau=0,~~theta_0 =0]

위의 식 (5)로부터[eqn: rm {partial theta_0 } / {partial z}]를 구하여 식 (4-b)에 대입하면 최종적으로 다음과 같은 식이 얻어진다.

[eqn: rm (D^2 -a^*^2 )^2 w^* = a^*^2 theta^* - 1 over Pr left[ 1 over 2 zeta D^3 w^* -{ a^*^2 } over 2 zeta Dw^* +a^*^2 w^* right]]

(6-a)

[eqn: rm - zeta over 2 D theta^* + Ra^* w^* left[ { e^ {- {zeta^2 /4}} } over rootpi -erfc left( zeta over 2 right) left( zeta^2 over 2 +1 right) right] = D^2 theta^* - a^*^2 theta^*]

(6-b)

여기서[eqn: rm Ra^*],[eqn: rm a^*],[eqn: theta^*],[eqn: zeta]는 각각 무차원열침투깊이의 길이 스케일인 [eqn: root tau]를 이용하여 정의되었으며 각각[eqn: rm tau^3 Ra],[eqn: rma root tau],[eqn: theta_1],[eqn: rm z / root tau]를 나타낸다. 그리고 이때의 경계조건은 다음과 같다.

[eqn: rm at ~zeta =0 ~~~w^* = Dw^* = D theta^* =0]

[eqn: rm for ~ zeta rarrow inf ~~~w^* = Dw^* = theta^* =0]

결과 및 토론

이상의 교란식과 경계조건을 만족하는 해를 상미분방정식의 경계치 문제로서  수치해석적으로 구하는데, Chen[4]이 설명한 것과 같이 먼저 Pr,[eqn: rm Ra^*]와 [eqn: zeta]=0에서의[eqn: rm D^3 w^*],[eqn: theta^*]를 가정하고 지배방정식이 homogeneous하므로 [eqn: rm D ^2 w^*]를 지정할 수 있다. 이렇게 주어진 값을 가지고 가열면으로부터 [eqn: rm w^*],[eqn: theta^*]가 0이 되는 상부경계면을 향해 적분을 시작한다. 초기값은 Newton-Raphson방법에 의해 상부경계면에서 주어진 경계조건이 만족될 때까지 보정된다. 이렇게 얻어진 교란식과 경계 조건을 만족하는 고유치[eqn: rm Ra^*],[eqn: rm a^*]를 구하여 [eqn: rm Ra^*]값 중 최소값을 찾아야 한다. 시간이 작은 영역에서 기본 온도 분포의 비선형성이 심하게 나타나고 온도변화가 고정 경계면 사이에 국한된다고 가정할 수 있으며 경계 조건이 모두 주어지지 않았으므로 외삽법이 이용되었다.

이 때 구하여진 [eqn: rm Ra^*],[eqn: rm a^*]를 이용하여 각각의 Pr값에 대한[eqn: rm Ra _c ^*],[eqn: rm a_c ^*]를 구할 수 있다. 그리고 대류발생시점인 [eqn: rm tau_c]를 구할 수 있다. 이때 구해진 [eqn: rm Ra _c ^*]를 Pr값에 대해 도시한 그림이 Fig. 2이다. 그림에서 보면 임계Ra값은 Pr값이 10보다 큰 영역에서는 이미 알려진 대로 거의 일정함을 알 수 있으며, Pr값이 작은 영역에서는 임계Ra값이 급격히 증가함을 알 수 있다. 즉, Pr<0.1인 영역에서는 Pr값이 작아질수록 계가 급격히 안정해짐을 알 수 있고, Pr>10인 영역에서는 Pr값이 계의 안정성에 영향을 미치지 못함을 알 수 있다. 또한 전체적으로 Pr값이 커짐에 따라 임계Ra값이 작아지므로 Pr값이 크면 계가 불안정해짐을 알 수 있다.

파수와 Prandtl수에 대한 관계는 Fig. 3에 나타나 있다. Pr값이 작은 영역에서는 파수가 일정해짐을 보이는 데 이것은 대류에 의해 발생되는 셀의 크기가 일정함을 나타내며, Pr>100인 영역에서도 역시 파수가 일정해지므로 이 영역에서는 Pr값이 변하더라도 셀의 크기가 일정함을 알 수 있다. 또한 임계파수는 실제의 셀의 크기와 반비례하므로 Pr값이 증가함에 따라 임계파수는 작아지게 되는데 이것은 실제 대류로 인한 셀의 크기가 커짐을 나타낸다.

Fig. 3은 위에서 계산한 결과와 Ahler 등[2]의 실험결과를 비교한 것이다. 대류발생시점은 대류발생이 일어난 후 관찰되기까지의 차이로 인하여 계산된 대류발생 임계시점에 4배를 한 것이 실험적으로 관찰되는 임계시점이 된다는 것은 Foster[5]에 의해 알려져 있다. 실험 결과와 비교해보면, [eqn: rm 4 tau_c]의 계산 결과가 Ahler 등의 실험결과와 거의 일치함을 알 수 있다. Foster[5]의 결과는 증폭이론을 이용하여 온도가 일정하게 증가하는 계에 대한 계산 결과이다. 이 결과 역시 계산된 값과 비교하면 기울기가 거의 일치함을 알 수 있다. 이것은 비록 계가 서로 다르나 비슷한 계에 대해 그 경향성이 서로 일치함을 보여준다.

참고문헌

1.	J. S. Yoo and C. K. Choi; Korean J. Chem. Eng., 4, 128-134 (1987)

2.	G. Ahlers, M. C. Cross, P. C. Hohenberg and S. Safran; J. Fluid Mech.,       110, 297-334 (1981)

3.	H. S. Carslaw and J. G. Jager; Conduction of Heat in Solids, Oxford          Press, 2nd ed., Clarendon (1959)

4.	K. Chen, M. M. Chen and C. W. Sohn; J. Fluid Mech., 132, 49-63 (1983)

5.  T. D. Foster; Phys. Fluids, 8, 1249-1257 (1965)

Fig. 2. [eqn: rm tau _c Ra^1/3 ~vs. ~Pr]

Fig. 1. Basic Conduction State

Fig. 4. Comparison among present predictions and existing ones

Fig. 3. [eqn: rm tau_c a^2 ~vs .~ Pr]