유한한 공간에서의 비선형 유체 안정성 해석

장영두, 박흥목

서강대학교 화학공학과

Nonlinear Hydrodynamic Stability in a Finite Domain

Y.D.Jang and H.M.Park

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

수평 유체층을 아래로부터 가열하면 가열 면에 인접한 유체의 밀도가 유체층의 상부에 위치한 유체의 밀도보다 작아지게 된다. 중력장하에서 이러한 유체의 구조는 불안정하지만 유체의 점성에 의한 저항, 열 확산 등 계의 안정화 요인에 의해 최초 평형 상태가 즉각 깨어지지는 않는다. 불안정성을 유발하는 구동력이 유체를 안정화시키려는 힘보다 커지면 평형은 깨어지고 그 결과로서 자연대류가 발생한다. 이와 같은 Rayleigh-B□nard 대류에서 교란(perturbation)이 성장하여 커지는 경우에 종국적인 대류 격자(convection cell)의 형태를 해석하기 위하여 비선형 안정성 해석(nonlinear stability analysis)을 적용하여야 한다. 본 연구에서는 지금까지 많은 사람에 의해 다루어진 무한한 영역이 아닌 유한한 직각의 상자 계에 대해서 비선형 안정성 해석을 수행하고 이로부터 Landau식을 유도하여 대류 격자의 amplitude를 결정한다. 상자의 종횡비(aspect ratio)를 바꾸어 가면서 비선형 안정성 해석을 통하여 구한 이론해(analytic solution)를 Fourier spectral법을 이용하여 모사한 수치해(numerical solution)와 직접 비교해 보았다.

이론

본 연구에서는 직사각형의 상자로 이루어진 계에 존재하는 유체를 고려한다. 무차원화 되고 미소 교란 변수들로 이루어진 지배 방정식은 다음과 같다.

[eqn: TRIANGLED CDOT bold v{} =0]	(연속 방정식)	(1)

[eqn: {partialboldv}over{partialt}+boldv cdot delboldv{}=-delomega+R Pr theta hatz +Prdel^2 boldv]	(운동 방정식)	(2)

[eqn: {partialtheta}over{partialt}+boldv cdot deltheta{}=omega+del^2 theta]	(에너지 방정식)	(3)

지배 방정식에 사용된 무차원 변수들은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: Pr= nu over kappa] , [eqn: R={g alpha betaH^4} over {kappa nu}]	(4)

다음과 같은 경계 조건을 가지는 육면체의 유한한 공간을 고려한다.

[eqn: u= partialtheta over partialx = partialv over partialx = partialw over partialx =0]	at  [eqn: x=0,W]	(5)	[eqn: v= partialtheta over partialy = partialu over partialy = partialw over partialy =0]	at  [eqn: y=0,D]	(6)

[eqn: w= theta = partialu over partialz = partialv over partialz =0]	at  [eqn: z=0,H]	(7)

Perturbation법을 사용하여 변수들을 다음과 같이 전개하였다.

[eqn: boldv{}=epsilon {boldv}_1 +epsilon {boldv}_2 +epsilon {boldv}_3 + CDOTS]	(8)

[eqn: theta{}=epsilon theta_1 +epsilon theta_2 +epsilon theta_3 + CDOTS]	(9)

[eqn: R{}=R_0 +epsilon R_1 +epsilon R_2 + CDOTS]	(10)

시간 변수 t에 대해서는 [eqn: partial/partialt =epsilon^2 partial/partialtau]로 보정하고 [eqn: epsilon]에 대한 1차, 2차 교란 변수 방정식으로부터 3차 교란 변수 방정식을 다음과 같이 유도한다.

[eqn: -Pr Del^4 {w}_3 -R_0 Pr Del_H^2{} theta_3 = R_2 Pr Del_H^2{} theta_1 - {partial}over {partialtau} Del^2 w_1]

[eqn: +{bolddelta} cdot[{boldv}_1 cdot Del {boldv}_2 +{boldv}_2 cdot Del {boldv}_1 ]]           (11)

[eqn: w_3 + Del theta_3 ={partial{theta}_1}over{partialtau}+{boldv}_1 cdot Del {theta}_2 +{boldv}_2 cdot Del {theta}_1]	(12)

윗 식에 solvability 조건을 이용하면 다음과 같이 Landau식을 얻을 수 있고 이를 통하여 대류 cell의 amplitude를 구할 수 있다.

[eqn: alpha partialC over partialtau +betaC=gammaC^3]	(13)

수치 해석에 있어서 Fourier spectral 법을 이용하였다. 본래의 지배 방정식(1)∼(3)을 Fourier 변환하면 다음과 같다.

[eqn: partial over{partialt} {hat boldu}+Prk^2 {hat boldu}{}=-{R over k^2} Pr {hatT}{boldk} wedge(boldk wedge{bolde}_z )]	(14)

[eqn: partial over{partialt} {hat T}+k^2 {hat T}{}=-i boldk cdot(boldu {hatT})+hatw]	(15)

식(12)의 [eqn: hatboldu]는 [eqn: boldu]의 Fourier 변환을 의미한다. 위의 식을 Fast Fourier 변환을 이용하여 푼다.

결과 및 토의

그림 1은 Rayleigh수에 따른 root mean square perturbation temperature [eqn: SQRT { <theta^2 >}]을 나타낸 것이다. Rayleigh 수가 임계값으로부터 증가함에 따라 [eqn: SQRT { <theta^2 >}]의 변화율은 증가한다. 임계값 근처, 즉 약 1.2Rc까지는 비선형 안정성 해석의 결과와 Fourier spectral 모사 결과가 정확히 일치하지만, 그 이상 Rayleigh수가 증가하면 모사 결과와 약간의 차이가 나는 것을 볼 수 있다. 그림 2는 aspect ratio가[eqn: W:D:H=2:2:1]이고 Prandtl수가 0.72일 때 비선형 안정성 해석을 통하여 얻은 유동장[eqn: boldv]를 나타낸 것이고, 그림 3은 같은 조건에서 Fourier spectral법을 이용하여 모사한 결과를 나타낸 것이다. 그림에서 나타나듯이 두 방법으로 나타낸 유동장 [eqn: boldv]가 거의 일치하는 것을 확인할 수 있다. 그림 4와 그림 5는 같은 조건에서의 비선형 안정성 해석을 통하여 얻은 온도장 [eqn: theta]와 전산 모사 결과를 나타낸 것이고 마찬가지로 두 결과는 거의 일치한다.

본 연구에서는 종래에 많이 다루어진 무한한 공간 대신 실제적인 유한한 공간을 대상으로 모든 방향에서의 경계 조건을 다 고려해준 비선형 Rayleigh number에 따른 대류 cell의 변화를 조사하였다.

참고 문헌

[1] S. Chadrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford          University Press, Oxford, 1961.

[2] P.G. Drazin and W.H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge University      Press, Cambridge, 1981.

[3] S. Rosenblat, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 21, 201(1986).

그림 (1).  Pr = 0.72 일 때 Rayleigh 수의 증가에 따른 안정성

해석 결과 [eqn: SQRT { < theta > ^2 }] 와 전산모사 [eqn: SQRT { < theta > ^2 }]를 비교

그림 (2). Nonlinear stability analysis를 통하여 구한            그림(3). Fourier spectral 모사를 이용하여 구한

유동장(W:D:H=2:2:1)                                   유동장(W:D:H=2:2:1)

그림(4). Nonlinear stability analysis를 통하여 구한            그림(5). Fourier spectral 모사를 이용하여 구한

온도(W:D:H=2:2:1)                                     온도(W:D:H=2:2:1)