회전타원체 입자의 전기영동 움직임 텐서 계산

김응수, 윤병준

포항공과대학교 화학공학과

Computation of Electrophoretic Mobility Tensor for Spheroid

Eung Soo Kim, Byung Jun Yoon

Department of Chemical Engineering, POSTECH

서론

전기영동(electrophoresis)은 주위에 전하를 띠고 있는 입자가 외부에서 걸어준 전기장에 의해 이동하는 현상을 말하는데 이것은 표면에 전하를 가진 콜로이드 입자들을 분석하는데 쓰이는 기본적인 방법이다. 단백질과 같은 생체 분자의 경우 pH에 따라 음전하 또는 양전하를 띠게 되므로 전기영동을 통해 많은 분리가 이루어지며 이때 전기영동에 대한 정보를 알아야 하는 것은 중요한 일이다[1].

본 연구에서는 콜로이드 입자를 구형이 아닌 회전타원체로 모델을 삼아 여러 형태의 회전타원체에서 전기영동 움직임 텐서(electorophoretic mobility tensor)값을 수치적으로 구했다. 입자는 전도성이 없는 강체라고 가정했으며 경계조건은 표면전위가 일정하다고 하였다. 입자 주위의 전하로 인해 생기는 전위(potential)는 경계요소법으로 구했다.

이론

일반적으로 임의의 모양을 갖는 입자에서 전기영동속도는 다음과 같이 외부 전기장의 크기에 선형적인 관계를 갖는다.

[eqn: U sub i ={ epsilon psi sub 0 } over { mu } C sub ij E sub j ,]

(1)

여기서 [eqn: U sub i]는 [eqn: E sub j] 의 전기장이 걸린 곳에서 강체 입자의 전기영동속도이고, [eqn: psi sub 0] 는 유전상수(dielectric constant)가 [eqn: epsilon] 이고 점도가 [eqn: mu] 인 분산된 입자의 표면전위(surface potential)이다. [eqn: C sub {ij}] 는 구하려고 하는 전기영동 움직임 텐서로서 전기장안에서 입자가 이동하는 속도와 전기장과의 관계를 이어주는 비례상수로 볼 수 있는데 이는 입자의 모양, 전기 이중층의 두께, 입자가 놓인 방향 등에 영향을 받는다.

전기영동 움직임 텐서에 관한 구체적인 식을 얻기 위해 전기장이 걸린 전해질 용액 입자에 대해 힘 수지 식을 세우면 입자가 움직일 때 입자의 속도 항을 포함하는 수력학적 힘은 입자 바깥부분에서의 수력학적 힘과 정전기적 힘의 합과 같다고 놓을 수 있으며 이는 아래와 같이 표현된다.

[eqn: mu A sub ij U sub j = INT _{ V sub f } ( u sub ij - delta sub ij ) rho E sub j ~ dV.]

(2)

이 때[eqn: A sub ij] 는 회전타원체 입자의 병진 저항 텐서이다. 여기서 전기장의 세기[eqn: E sub j] 는 입자 주위의 전기 이중층에 의한 전위[eqn: psi] 와 그 외의 전위[eqn: PHI] 의 영향으로 생기며 식으로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: {bold E }=- nabla ( psi + PHI).]

(3)

또한 [eqn: psi] 와 [eqn: PHI] 는 각각 다음과 같은 관계식을 만족한다.

[eqn: ~~nabla ^2 psi = kappa ^2 psi .]

(4)

[eqn: nabla ^2 PHI = 0.]

(5)

식 (4) 는 전기화학적으로 평형을 이루고 있는 전해질 용액에서 이온농도가 볼츠만 분포를 갖는 경우에 표면전위가 아주 작으면 얻을 수 있는 선형화된 Poisson-Boltzmann (LPB) 식이다. 이때 [eqn: 1/kappa] 는 데바이 길이(Debye length)라 하며 전기 이중층의 두께를 결정한다.

회전타원체의 경우에[eqn: PHI] 에 대한 해석해를 얻을 수 있으나[2] [eqn: psi] 는 해석해를 구할 수 없으므로 경계요소법을 도입하여 구한다. 식 (4)와 식 (5)에 경계조건([eqn: psi vert sub s = psi sub 0], [eqn: psi vert sub{ r -> INF } = 0], [eqn: PHI vert sub{r -> INF } =- {bold E} sup INF CDOT {bold x}], [eqn: {bold n} CDOT nabla PHI vert sub s = 0].)을 적용시킨 후에 식 (2) 를 식 (1) 에 넣어 정리하면 전기영동 움직임 텐서는 전위 [eqn: psi] 를 포함하는 부피 적분식으로 표현이 된다[2].

[eqn: psi] 를 경계요소법으로 얻기 위해 그린 정리와 그린 함수를 이용하면 임의의 지점에서의 전하분포 [eqn: psi ( {bold x'} )] 는 다음과 같은 적분 방정식으로 쓸 수 있다[3].

[eqn: alpha psi({bold x'})= INT _{ S} psi({bold x}) { PARTIAL G } over { PARTIAL n } ({boldx}, {boldx'}) dS({bold x}) - INT _{ S } G({bold x}, {boldx'}) { PARTIAL psi({bold x}) } over { PARTIAL n } dS({bold x}),]

(6)

[eqn: G({bold x},{bold x'})= { e sup {- kappa ~LEFT | {bold x} -{bold x'} RIGHT | } } over { 4 pi ~LEFT | {bold x} -{bold x'} RIGHT | } .]

여기서 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: {bold x'} in V,~ {bold x'} in S, ~{bold x'} NOTIN V + S] 일 때 각각 1, 1/2, 0 이다. 이 식에 표면전위가 일정하다는 경계조건을 이용하면 [eqn: { PARTIAL psi} /{ PARTIAL n}] 에 대한 경계적분방정식을 얻을 수 있고 경계요소법으로 [eqn: { PARTIAL psi} /{ PARTIAL n}] 를 구할 수 있다. 이렇게 얻은 [eqn: { PARTIAL psi} /{ PARTIAL n}] 를 다시 식 (6) 에 넣은 후 [eqn: {bold x'} in V] 일 때 계산하면 입자 외부의 임의 지점[eqn: bold x] 에서 [eqn: psi({bold x})] 를 얻을 수 있다.

결과 및 토론

그림 1. 은 경계요소법을 쓰기 위하여 입자의 표면을 삼각형으로 나눈 것이고 입자의 단축과 장축의 비(종횡비)가 0.6 인 경우이다. 입자를 그림 1. 과 같이 나누면 [eqn: { PARTIAL psi} /{ PARTIAL n}] 와 전위[eqn: psi] 가 [eqn: phi] 방향으로 대칭임을 이용하여 계산 시간을 줄일 수 있다. 그림 2. 는 종횡비가 0.1 인 경우에 표면전하농도(surface charge density)의 변화를 나타낸 것이며 무차원 수 [eqn: kappa c] ([eqn: c] 는 단축의 길이, 장축의 길이는 1 로 고정)가 각각 1, 10, 100 인 경우이다.  표면전하농도 [eqn: sigma] 는 식 (7) 과 같으므로 경계요소법을 써서 구한[eqn: { PARTIAL psi} /{ PARTIAL n}] 값들을 그림 2. 를 통해 확인해 볼 수 있다.

[eqn: sigma=-{ epsilon} {PARTIAL psi }over { PARTIAL n } vert sub S]

(7)

경계요소법을 통해 전위[eqn: psi] 를 얻은 결과는 그림 3. 에 나타내었다. 종횡비가 0.1 이고 [eqn: kappa c] 가 1 인 경우에 등전위 지점을 그린 것이다. 앞에서 말했듯이[eqn: psi] 가 [eqn: phi] 방향으로 대칭이므로 전위 분포를 2차원으로 나타낼 수 있다. 표면 전위가 1 일 때(경계조건) 입자에서 멀어지는 순서대로 전위가 각각 0.9, 0.7, 0.5, 0.3, 0.1 이다. 편장타원체(prolate spheroid) 입자의 종횡비가 각각 0.1, 0.6 인 경우에 [eqn: kappa c] 에 따른 움직임 텐서의 값을 나타낸 것이 그림 4. 이며 가운데 굵은 선은 구형입자의 움직임 텐서 값을 나타낸 것이다. 입자가 이동하는 방향이 전기장의 방향과 수평, 수직일 때를 구했다. 무한 실린더가 전기장에 수평, 수직한 방향으로 이동하는 경우의 값들은 점선으로 표시되었다.

회전타원체의 움직임 텐서 값들을 [eqn: kappa c] 가 크지 않은 범위에서 얻을 수 있음 알 수 있다. [eqn: kappa c] 가 매우 큰 경우에는 데바이 길이가 매우 짧아지므로 입자에서 가까운 범위에서 전위 [eqn: psi] 가 급격하게 변하게 되어 [eqn: psi] 를 구하는 것이 쉽지 않아진다. [eqn: kappa c] 가 다양하게 변하는 범위에서 움직임 텐서를 구할 수 있도록 [eqn: kappa] 가 커지는 경우에 부피적분및 전위 [eqn: psi] 를 정확히 구하는 방안이 모색되어야 할 것으로 생각된다.

참고문헌

1. Mosher, R. A., Saville, D. A., and Thormann, W., "The Dynamics of     Electrophoresis", VCH, Weinheim, 1992.

2. Yoon, B. J., and Kim, S., J. Colloid Interface Sci. 128, 275 (1989).

3. Chen, C., and Zhou, J., "Boundary Element Methods", Academic        Press, London, 1992.

그림 . □에 따른 표면전하밀도의 변화 (종횡비 = 0.1)

그림 1. 종횡비가 0.6 일 경우에 편장타원체의 입자표면 및 좌표계

그림 . 종횡비가 0.1이고 □c 가 1 인 경우에 편장타원체 주위의 전위분포도

그림 . 종횡비가 0.1, 0.6 인 경우에 □c 의 변화에 따른 움직임 텐서 값