시간 주기적 전기장과 압력장 하에서의 기포의 혼돈적 진동

오정민, 김평종, 강인석

포항공과 대학교 화학공학과

Chaotic Oscillation of a Bubble in Time-Periodic Electric and Sound Fields

Jungmin O, P. J. Kim, I. S. Kang

Department of Chemical Engineering, POSTECH

서론

기포의 동역학은 오래 전부터 학문적 관심뿐만 아니라 산업적으로도 그 응용분야가 광범위하기 때문에 많은 연구자들에 의해 연구되어져 왔다.  절연체인 액체 속에 이상기체로 채워진 기포가 있고, 그곳에 직류 전기장이나 압력을 시간주기적으로 가해주면 기포는 여러 가지 동적인 거동을 보이게 된다.  본 연구에서는 이런 동적인 거동을 표현하는 volume oscillation equation과 shape oscillation equation을 유도하고 그 거동을 해석하였다.  유도전기장을 시간 주기적으로 가해준다고 하더라도, 기포의 모양의 변화는 시간 주기적인 것과 관계없이 매우 복잡한 거동을 보일 수 있다.  이런 복잡한 기포의 거동현상을 혼돈이론에 바탕을 둔 해석방법으로 해석하고자 한다.  혼돈이론은 최근에 관심이 집중되고 있는 해석방법으로서 자연현상을 관찰하고 해석하는데, 새로운 방법론을 제시하고 있다.

이론

유동이 없는 절연체 유체속에 이상기체로 채워진 기포가 있고, 그 기포는 중력의 영향을 받지 않는 계를 생각하자.  유체 속에 균일한 직류 전기장이 가해진다면(그림 1 참조), 전기장은 기포 주위 유체의 흐름에는 직접적인 영향을 주진 않지만, 기포의 표면에 stress를 가해서 기포의 모양을 변화시키기 때문에 간접적으로 영향을 주게 된다.  기포 주위의 전기장을 풀기위한 지배방정식은 다음과 같은 Laplace equation이다.

[eqn: nabla^2 psi ~=~ 0``]

그림  System Description

기포의 모양의 변화가 완전 구형에서 크게 벗어나지 않는다는 가정을 해서, 전기장에 그런 영향을 배제한다면 다음과 같은 기포 주위의 전기장을 구할 수 있다.  여기서는 경계조건으로 far-field condition과 insulating condition이 쓰여졌다.

[eqn: psi ~=~-E_0 (t) left( r + {R^3}over{2r^2}right) cos theta``]

절연체 액체를 Newtonian fluid로, 기포 내의 기체를 이상기체로 가정한다면, 기포 주위의 유동장은 Navier-Stokes equation에 의해 지배되고, kinematic condition, tangential stress condition, normal stress condition등을 경계조건으로 가지게 된다.

[eqn: rho left[ {partial {rm bold u}}over{partial t} + ({rm bold u}cdot {bold nabla}){rm bold u} right] ~=~-{bold nabla}p + mu nabla^2 {rm bold u}``]

[eqn: {rm bold n}cdot{rm bold u} = -{1}over{|{bold nabla}F``|}{partial F}over{partial t}``]

[eqn: {rm bold t}cdot[{rm bold n}cdot({rm bold T}_out - {rm bold T}_{i n})] = 0``]

[eqn: {rm bold n}cdot[{rm bold n}cdot({rm bold T}_out - {rm bold T}_{i n})] ~=~ gamma`` ({bold nabla}cdot {rm bold n})``]

Kinematic condition에서 [eqn: F`(=``r-R-epsilon f``)]는 shape fuction으로 기포의 모양을 결정한다.  따라서 shape function에서 [eqn: R``]과 [eqn: f``]를 결정하는 것이 식유도의 목적이다.  그리고, [eqn: f``]는 기포가 축대칭 구형에서 크게 벗어나지 않을 것이므로 Legendre polynomial로 표현될 수 있다.

[eqn: f~=~Sum_{n=2}^infty a_n P_n (t`)``]

유동장이 potential flow에 가깝다고 가정한다면, 속도를 다음과 같이 potential flow part와 viscous flow part로 나눌 수 있다.

[eqn: rm bold u ~=~{bold u}_p ~+~epsilon{bold u}_v``]

Potential flow part부분은 다시 pure radial motion part와 correction part를 가지는 velocity potential을 도입한다.  Potential flow part는 지배방정식이 Laplace equation이므로 해석적으로(analytic) 해를 구할 수 있다.  여기서 해를 구한다 함은 해를 [eqn: R``]과 [eqn: a_n``]으로 표현함을 뜻한다.  Viscous flow part는 vorticity formulation을 한다음, tangential stress condition에 적용하면 viscous pressure를 구할 수 있다.  이렇게 전기장과 유동장과 압력을 [eqn: R``]과 [eqn: a_n``]으로 표현한다음, normal stress condition에 대입하면 volume oscillation에 해당하는 [eqn: O(1)``] problem부분과 shape oscillation을 나타내는 [eqn: O(epsilon)``] problem을 구할 수 있다.  Volume oscillation euation은 modified Rayleigh-Plesset equation이고, shape oscillation equation은 modfied Prosperetti equation이다.

[eqn: O(1)``]problem : volume oscillation

[eqn: R ddot R + {3}over{2}dot R^2 ~=~{2-bar{Delta P``}+{3}over{4}W}over{R^{3 kappa}}-{2}over{R}+Delta P - {4}over{rm Re}{dot R}over{R}-{3}over{4}W``[E(t`)]^2 ``]

[eqn: O(epsilon)``]problem : shape oscillation

[eqn: ddot a_n &+& left[ 3{dot R}over{R}+{2(n+2)(2n+1)}over{rm Re}{1}over{R^2}right]dot a_n ## &+&(n-1)left[{(n+1)(n+2)}over{R^3}-{dot R}over{R}+{2(n+2)}over{rm Re}{dot R}over{R^3} right] a_n## &=& left( {W}over{epsilon}right) {3}over{4}{(n+1)[E`(t`)]^2}over{R}delta_n2``]

여기에서 Reynolds number([eqn: rm Re``])는 inertia force와 viscous force의 비를 나타내고, Weber number([eqn: W~])는 electric force와 surface tension force의 상대적 비를 나타낸다.  그리고, 위의 식에서 알 수 있듯이 shape oscillation equation에서 전기장이 직접적으로 가해지는 것은 [eqn: n=2``]일 때 뿐이고, 압력은 기포표면에 균일하게 가해주는 힘이므로 shape oscillation에는 직접적인 영향이 없음을 알 수 있다.  따라서 본 연구에서는 기포의 거동을 관찰함에 있어 주로 [eqn: R``]과 [eqn: a_2 ``]만을 해석할 것이다. Shape function [eqn: F``]이 0인 곳이 기포와 유체의 경계면이므로, 이 미분방정식에서 [eqn: R``]과 [eqn: a_n``]을 구하면 시간과 위치에 따른 [eqn: r`(t, theta)``]을 구할 수 있게 된다.  즉, 시간에 따른 기포의 모양을 표현할 수 있는 것이다.

위의 미분방정식에서 외부에서 가해줄 수 있는 external force는 전기장과 압력이 있는데, 다음과 같이 준다고 가정한다.

[eqn: E_0 (t`)~&=& bar{E_0}(1 + epsilon_1 sin omega_1 t``)## Delta P~&=&~ bar{Delta P} (1 + epsilon_2 sin omega_2 t``)``]

여기서 frequency([eqn: omega_1, ~omega_2``])와 amplitude([eqn: epsilon_1 , ~epsilon_2``])가 control parameter가 된다.  Control parameter를 변화시킴에 따라 기포의 거동이 전기장과 압력의 변화의 영향으로 규칙적일 수도 있고, 매우 불규칙적일 수도 있다.  이런 일반적인 기포의 거동에 대한 경향성은 bifurcation diagram을 통해 관찰할 수 있다(그림 2 참조).

위의 식에서 알 수 있듯이, volume oscillation equation은 비선형 미분방정식으로서 전기장과 압력을 시간에 따라 어떻게 주느냐에 따라 매우 불규칙한 거동을 보일 수 있다.  반면에 shape oscillation equation은 선형방정식이나, 그 계수에 비선형성을 강하게 내포하고 있는 volume averaged radius를 가지고 있으므로 그 영향으로 비선형적인 성격을 가지고 있다고 볼 수 있다.  실제로 [eqn: R``]과 [eqn: a_2 ``]의 phase diagram을 보면 서로 다른 거동을 보이고 있지만, Poincar□ section을 보면 두 방정식은 비슷한 성격을 가지고 있음을 알 수 있다.

전기장은 기포의 표면에 불균일하게 stress를 가하고, 압력은 균일하게 stress를 가하게 되므로, 이 두가지 external force는 기포의 진동에 서로 다른 방식으로 영향을 주게 된다.  전기장과 압력의 영향을 각각 볼 때에는 volume oscillation과 shape oscillation이 비슷한 성향을 보이지만, 이 두가지 힘을 동시에 시간주기적으로 가하게 되면 따로따로 가했을 때와는 다른 동적거동을 보인다.  게다가 각각에 대해서는 비교적 규칙적인 거동을 보이다가도, 동시에 가했을 때는 매우 불규칙적인 거동을 보이기도 한다.

결과

본 연구에서는 절연체 유체속에 기포가 있고, 여기에 전기장이 가해졌을 때, 기포의 동적거동을 표현하는 volume oscillation에 해당하는 modifed Rayleigh-Plesset equation과 shape oscillation에 해당하는 modifed Prosperetti equation을 domain perturbation method를 사용하여 유도하였다.  Bifurcation diagram analysis를 통해 external force의 amplitude가 커질수록, frequency가 natural frequency에 가까워 질수록 기포는 안정성을 잃어감을 관찰할 수 있었다.  Shape oscillation equation은 선형 미분방정식이지만, 계수로 비선형적 성격을 가진 volume averaged radius([eqn: R``])을 가지고 있기 때문에 비선형적 성격도 가지고 있다.  그리고, 그 비선형성은 [eqn: R``]로부터 나온것이므로, shape oscillation과 volume oscillation은 비슷한 성격을 가지고 있다고 말할 수 있으며, 이는 Poinca□ section에서 strange attractor를 비교함으로써 확인할 수 있었다.  External force로는 전기장과 압력이 있는데, 두가지 모두에 대해 chaotic oscillation을 관찰할 수 있었고, volume oscillation과 shape oscillation이 비슷한 성격을 가지고 있었다.  하지만, 전기장과 압력을 동시에 가해줄 때는 두가지 모드가 다르게 변함을 관찰할 수 있었다.  전기장하에서의 기포의 동적거동을 정확히 이해함으로써 열전달, 또는 물질전달의 향상을 연구하는데 좀더 명확하고 폭넓은 이해를 할 수 있으리라 기대된다.

참고 문헌

1. PoungJong Kim, Thesis : Dynamics of a Non-Spherical Bubble in a Viscous Fluid under a Time-Periodic Electric Field, 1995

2. I. S. Kang, Dynamics of a conducting drop in a time-periodic electric field, J. Flud Mech. 257, 229-64 (1993)

3. L. Gary Leal, Laminar and convective transport processes, Butterworth- Heinemann, USA, (1992)

4. N. B. Tufillaro, T. Abbott, J. Reilly, An experimental approach to nonlinear dynamics and chaos, Addison-Wesley Pub., 1992

감사

포항공대 첨단유체 연구센터(AFERC)를 통한 한국과학재단(KOSEF)의 연구비 지원에 감사드립니다.

그림 2 Bifurcation Diagram of volume averaged radius(R) under Re=10, W=0.5, △P=1.5, □1=0.3