Oxide 단결정 성장을 위한 초크랄스키 공정에서

결정-용융액 계면 모양에 대한 해석적 연구

정 자훈, 고 영덕, 강 인석

포항 공과 대학교 화학공학과 및 지능자동화 연구센터

Analytical studies on the crystal-melt interface shape

in the Czochralski process for the oxide single crystal

J.H. Jeong, Y. Koh, I.S. Kang

Dept. of Chem. Eng. and Automation Res. Center, Postech

서론

초크랄스키 공정은 semiconductor material이나 oxide의 단결정을 성장시키는 가장 널리 사용되고있는 공정 중의 하나이다[1].  단결정 성장 공정에서 결정-용융액 계면의 휘어진 모양은 단결정 열 이력의 반경 방향으로의 불균일성을 의미하므로 계면의 모양은 단결정의 품질을 결정하는 중요한 요소이다.  특히, oxide 물질의 단결정 성장시 계면은 일반적으로 용융액쪽으로 매우 볼록한 모양을 이루게 되는데 이러한 과도하게 휘어진 계면의 모양은 facet의 형성을 용이하게 하여 결정 품질을 저하하는 것으로 알려져 있다.  본 연구에서는 oxide 물질의 단결정 성장에서 결정-용융액 계면의 모양을 해석적인 방법으로 표현하였고, 조업 조건의 변화의 영향을 조사하였다.

계면의 모양은 계면을 둘러싸고 있는 용융액 영역과 결정 영역에서의 에너지 수지식에 의해 결정되는데 계면의 모양을 예측하고 mechanism을 설명하기 위한 많은 실험적, 수치해석적 연구들이 수행되어왔다.  결정-용융액 계면 모양에 대한 실험적인 연구는 고온에서 이루어지는 결정 성장 공정의 특성상 주로 model fluid를 이용한 관찰 결과들이 보고되고 있다[2].  최근 수치 해석적 방법을 이용하여 초크랄스키 공정을 전산 모사하고 계면의 모양에 대한 조업 변수의 영향을 분석하는 연구가 활발히 진행되고 있다.  계면 모양에 대한 수치 해석적 연구는 계면의 모양과 용융액 및 결정 영역의 열 전달 문제를 동시에 풀어야하는  자유 계면 문제에 해당하므로 대부분 유한 요소 법에 기반을 두고 있다[3].  이러한 연구 결과들로부터 oxide 단결정 성장의 경우, 용융액 영역에서 정의되는 상대적으로 큰 Prandtl수의 영향으로 용융액 온도장에 미치는 자연 대류 유동장의 영향이 증가하고 결정 영역에서의 내부 복사로 인하여, 계면의 모양은 용융액쪽으로 매우 볼록한 모양을 이루게 됨을 알 수 있다.  또한 계면의 모양은 결정의 회전 속도가 증가함에 따라 평평해지게 되는데, 평평한 계면을 유지하기 위한 결정의 회전 속도를 구하기 위해 많은 노력이 기울여지고 있다.

본 연구에서는 oxide 단결정 성장시 계면의 모양에 대한 실험적, 수치 해석적 연구 결과들을 요약하고 계면의 휘어지는 mechanism을 이해하기 위해 해석적 방법을 통한 계면 모양에 대한 해석해를 유도하였다.  결정의 휘어짐을 고려한 계면에서의 에너지 수지식으로부터 계면에서의 조건을 구한 뒤, 결정 영역에 대해서는 영역 섭동법을 이용하고 용융액 영역에 대해서는 경계층 이론으로부터 유도되어지는 결과를 이용하여 정상 상태에서의 계면의 모양을 구하였다.  이러한 해석해는 극한적 경우에 대한 점근해에 해당하며, 해석적 연구를 통한 계면 모양에 대한 결과는 앞서 보고된 실험 및 수치해석을 통한 연구결과들과 정성적으로 잘 일치하였다.

결정-용융액 계면에서의 조건

잠열([eqn: L``])을 포함하는 계면에서의 에너지 수지식으로부터 계면의 모양을 결정지어주는 식을 얻을 수 있다.

[eqn: L bold{n} cdot (tilde{bold v} - tilde{V} {bold e}_P ) = {bold n} cdot Nabla {tilde T}_S - {bold n} cdot Nabla {tilde T}_L + {tilde q}_R ``]	.	(1)

이때 Fig. 1.에서 볼 수 있듯이 [eqn: bold n``]은 결정 성장 방향의 단위 벡터이고, [eqn: tilde V``]는 결정의 당김 속도, [eqn: tilde bold v``]는 계면의 움직임 속도, [eqn: {tilde T}_S ``],[eqn: {tilde T}_L ``]은 결정 영역과 용융액 영역에서의 온도, [eqn: k_S, `` k_L``]은 각 영역에서의 전도도, [eqn: {tilde q}_R ``]은 계면에서 결정 영역쪽으로 내부 복사의 양이다.  삼중점에서의 meniscus를 무시할 수 있다고 가정하면, 결정의 반지름([eqn: a``])을 일정하게 유지시켜주는 결정의 당김 속도식과 그 때의 계면의 이동 속도식을 구할 수 있다.  길이에 대한 특성치를 [eqn: l_c = a``]로 하고 속도에 대한 특성치를 잠열을 포함하여 [eqn: V_c``][eqn: =][eqn: k_S (T_m - T_{am} ) / (L a) ``]로 잡고 무차원화하여 나타내면 무차원화된 당김 속도([eqn: V``])와 계면의 이동 속도[eqn: ( {bold n} cdot {bold v})]는 다음과 같다.

[eqn: V ``]	[eqn: =] [eqn: {bold n} cdot Nabla {theta}_S |_{x=1} - {bold n} cdot Nabla {theta}_L |_{x=1} + Sr {q}_R |_{x=1}``],	(2)

[eqn: {bold n} cdot {bold v} ``]	[eqn: =] [eqn: v_S ``+`` v_L ``],	(3)

[eqn: v_S``][eqn: =][eqn: {bold n} cdot Nabla {theta}_S - {bold n} cdot Nabla {theta}_S |_{x=1} + Sr `` left( {q}_R - {q}_R |_{x=1} right)],	(4)

[eqn: v_L``][eqn: =][eqn: - k_L / k_S ~ left({bold n} cdot Nabla {theta}_L - {bold n} cdot Nabla {theta}_L |_{x=1} right)].	(5)

여기서 [eqn: Sr``]은 내부 복사에 의한 열 전달 양과 전도에 의한 양의 비를 나타내는 무차원 수이며 무차원화된 온도는 [eqn: theta``][eqn: =][eqn: (T - T_{am})/(T_m - T_{am})]로 정의하였다.  위 식에서 볼 수 있듯이 계면의 이동 속도는 결정 영역에 대한 [eqn: v_S``]와 용융액 영역에 대한 [eqn: v_L``]으로 나누어 생각할 수 있으며, 용융액 영역에서의 복사로 인한 열 전달은 무시하였다.  또한 본 연구에서는 계면의 모양이 [eqn: y``][eqn: =][eqn: (epsilon h)(1 - x^2 )]의  2차식으로 주어진다고 가정하여 식을 전개하였다.

결정 영역 해석

내부 복사를 무시하였을 때 결정 영역의 열 전달을 영역 섭동법으로 [eqn: v_S``]를 구하는 방법은 앞서 발표한 문헌에 자세히 나와있다[4].  본 연구에서는 결정 영역에서 복사에 의한 열 전달은 결정-용융액 계면에서만 일어나게 된다고 가정하였는데, 이는 단결정 표면에서 발생할 수 있는 불순물의 기상 증착 등을 무시한 경우에 해당한다.  이때 Gibbs-Thomson 효과를 무시하면 복사에 의한 항은 결정 영역의 온도장에는 영향을 주지 않고 계면의 모양에만 영향을 주게 된다.  정상 상태와 축 대칭 조건을 가정하고 계면에서의 조건을 유도할 때 사용한 특성치로 무차원화하면 다음과 같은 온도장에 대한 Laplace형태의 지배 방정식을 얻게 된다.

[eqn: Nabla^2 theta_S ~=~ 0].	(6)

경계 조건으로 결정 표면에서의 열 전달에 대하여 Newton's cooling law를 적용하고 휘어진 형태의 계면에 대해서는 영역 섭동법을 이용하면 결정 영역 온도장에 대한 해석해를 구할 수 있다.  최종적으로 구한 series형태의 해석해는 다음과 같이 주어진다.

[eqn: theta_S ~ = sum_{n=1}^{infty} left[ B_n^{(0)} + epsilon h B_n^{(1)} right] J_0 (lambda_n x) {sinh(lambda_n l/a - lambda_n y)}over{sinh(lambda_n l/a)} +O(epsilon h cdot N u) + O(epsilon^2 h^2 )].	(7)

이때 [eqn: N u``]는 결정 표면에서 열 전달 계수를 포함하여 정의되는 무차원 수이고, [eqn: lambda_n``]은 [eqn: lambda_n ~ J_1 (lambda_n `)][eqn: = N u ~ J_0 (lambda_n `)]를 만족시키는 eigenvalue이며, 모르는 계수인 [eqn: B_n^{(0)}``],[eqn: B_n^{(1)}``]는 Bessel 함수의 orthogonality로부터 구해진다.

용융액 영역 해석

결정-용융액 계면에서 내부 복사에 의한 열 전달량이 커질수록 계면 모양에 대한 용융액 영역으로부터의 영향은 증가하게 된다.  특히 oxide와 같이 Prandtl수가 큰 물질의 경우 용융액 영역의 온도 분포는 용융액 영역의 유동장에 많은 영향을 받게 되므로 계면 모양에 대한 유동장의 영향을 이해하는 것은 매우 중요하다.  용융액 영역에서의 유동 형태는 부력에 의한 자연 대류와 결정 및 도가니의 회전에 의한 강제 대류로 크게 분류할 수 있다.  이때 물질 상수에 의해 정해지는 자연대류에 비하여, 결정 등의 회전에 의한 강제대류는 조절 가능한 조업 변수로 생각할 수 있다.  일반적으로 용융액 영역에서의 산소 농도 분포를 조절하기 위해서 도가니의 회전 정도를 조절하고, 계면 근처의 열적, 물질적 균일성 향상을 위해 결정의 회전 정도를 조절하는 것으로 알려져 있다.  본 연구에서는 이러한 두 회전류를 해석적인 방법으로 분석하기 위하여 각각의 회전에 의해 유도되는 이차 유동이 경계층을 이룬다고 가정하였다.  Fig. 2.에서 볼 수 있듯이 결정 회전에 의한 회전류는 정지 유체 속의  회전 판 문제로, 도가니 회전에 의한 것은 회전 유체 속의 정지 판 문제로 가정할 수 있으며 각각에 대하여 얻어진 유동장에 대한 해석해와 Prandtl수가 큰 경우에 대한 열 경계층 이론으로부터 유도된 다음 식을 이용하여 원하는 계면 모양에 대한 점근해를 구할 수 있다[5].

[eqn: {partial theta}over{partial y}|_{y=0}``][eqn: =][eqn: -{2 Re^{1/2} Pr^{1/3}}over{Gamma(4/3)} {1}over{g(x)}``],	(8)

[eqn: g(x)^3 ``] [eqn: =] [eqn: 9 ~ x^{-{3}over{2}} ~ |lambda(x)|^{-{3}over{2}} int^x left(~ x^{-{3}over{2}} ~ |lambda(xi)|^{-{1}over{2}} right) {rm d} xi ``].	(9)

이때 [eqn: lambda (x)]는 계면에서의 무차원화된 shear rate에 해당하며 유동장에 대한 해석해로부터 구할 수 있다.

결론

Oxide 단결정 성장시 결정-용융액 계면 모양에 대하여 현재까지 실험적, 수치 해석적 연구 결과들이 주로 보고되어 있으며, 계면 모양이 휘어지는 mechanism과 여러 조업 변수들의 영향을 보다 명확히 이해하기 위한 해석적 연구 결과는 거의 이루어지고 있지 않다.  본 연구에서는 계면에서의 내부 복사를 고려하여 계면에서의 조건을 에너지 수지식으로부터 유도한 후 결정 영역과 용융액 영역을 각각 풀어 계면 모양에 대한 해석해를 구하였다.  이러한 해석해로부터 oxide 단결정 성장의 경우 내부 복사로 인하여 계면 모양에 미치는 용융액 영역의 영향이 더욱 증가함을 알 수 있었다.  또한 oxide의 경우 용융액 영역에서 정의되는 Prandtl수가 크기 때문에 용융액에서의 열 전달에 대한 유동장의 영향은 증가하므로 결정-용융액 계면의 모양은 계면 근처의 용융액의 유동장에 크게 의존하게 된다.  결정 등의 회전에 의한 강제 대류가 없고 용융액 내부의 온도 분포에 의한 자연 대류가 지배적인 경우는 결정-용융액 계면은 용융액 쪽으로 볼록한 모양을 가지게 되지만 결정 및 도가니의 회전이 가해지면 이차 유동장의 형성에 따른 온도 분포의 변화로 인하여 계면의 모양은 변하게 된다.  특히, 결정의 회전은 계면 근처에 균일한 온도장을 유발하여 계면의 모양을 평평하게 만들어주는 역할을 한다.

감사

본 연구는 포항 공과 대학교 공정 산업의 지능 자동화 연구 센터(ARC)를 통한 한국 과학 재단의 지원금에 의한 것입니다.

참고 문헌

1. F. Dupret and N. Van Den Bogaert, in: "Handbook of Crystal Growth", vol. 2, Ed. D.T.J. Hurle, 875 (1994)

2. A. Hirata, M. Tachibana, Y. Okano and T. Fukuda, J. Crystal Growth, 128, 195 (1993)

3. Q. Xiao, J.J. Derby, J. Crystal Growth, 128, 188 (1993)

4. J.H. Jeong, H.J. Oh and I.S. Kang, J. Crystal Growth, 177, 303 (1997)

5. H. Schlichting, "Boundary Layer Theory", Pergamon. (1968)