뉴튼유체 점성에 대한 Simplified Brake Theory

I: 이론적 근거

박성훈, 김원수*, 최동식

고려대학교 화학과, 홍익대학교 금속공학과

Simplified Brake Theory of Newtonian Fluids

I: Theoretical Foundation

Sung-Hoon Park, Wonsoo Kim*, and Tong-Seek Chair

Department of Chemistry, Korea University, Seoul, 136-701

Department of Metallurgical Engineering, Hong-Ik University*

서론

기체의 점성식으로는 1860년 Maxwell의 이상기체에 관한 연구를 필두로 1936년 Enskog와 Chapmann이 Boltzmann방정식을 계산하여 실제기체에 관한 연구의 계기가 되었으나 dense gas영역에 대한 점성계산에는 별다른 진전을 보이지 못했다. 1977년 Enskog 점성식의 압력을 thermal pressure로 대신한 Modified Enskog Theory의 출현으로 dense gas영역에서 일부 액체 영역의 점성을 계산할 수 있었다. 그러나 아직 왜 thermal pressure로 대신하였는지에 대한 명확한 설명을 하지 못하고 있다.

Mean free path개념을 사용한 Maxwell의 기체 점성식을 받아들인 이후 많은 이론학자들에 의해 액체점성에 대한 연구가 시작되었으며 액체의 점성은 기체와는 전혀 다른 메카니즘에 의한 것으로 여기게 되었다. 즉, 액체의 밀도가 매우 크기 때문에 기체에서의 기체분자의 충돌에 의한 모멘텀 전달과는 달리 액체에서는 주위분자들에 의한 분자간 힘에 의해서 모멘텀을 전달할 것이라는 생각을 하게되었다. 이러한 생각을 바탕으로 1946년 Kirkwood의 이론을 시작으로 1952년 Green, 1956년 Longuet-Higgins등의 이론등 많은 이론들이 나왔으며 1960년대에도 PNM이론, BBR이론 등의 이론으로 액체점성의 실체를 밝히는데 상당한 기여를 했으나 이들 이론들은 모두 실용적인 계산에는 도움이 되지 못하는 한계성을 드러냈다. 따라서 액체에 대한 점성식에서는 아직도 Andrade, Batschinski- Hildebrand등의 많은 실험식을 사용하고 있는 상황이다.

액체의 점성식의 괄목할만한 이론으로는 액체점성의 메카니즘을 속도론적으로 해석한 Actrivated Reaction Rate Theory가 있다. 이것은 액체를 solid-like와 gas-like molecule의 단순혼합물로 해석한 액체모델, Significant Liquid Structure에서 출발하여 액체 내부구조와 점성과의 관계를 잘 설명한 것으로 알려져 있다. 그러나 이 이론은 액체구조에 대한 복잡한 이해가 필요하며 실용적인 계산을 위해서 2개 이상의 adjustable parameter가 요구되는 등 아직 상당한 개선의 여지가 많다.

1988년 본 연구팀에서 개발한 Brake점성이론은 비평형적 현상으로 이해하는 점성현상을 평형열역학적 현상으로 파악하여 열역학 함수로서 점성식을 표현했으며, 이 식은 기체, dense gas, 액체 영역을 하나의 점성식으로 계산할 수 있었으며, 임계점에서의 이상성, 고압하의 점성, 물과 액체 금속의 점성, 액체 헬륨의 점성을 계산할 수 있었다. 그러나 Brake점성이론은 이론 성립과정에서의 비약성과 점성계산을 위한 많은 열역학적 실험치가 필요로 하는 단점을 갖고 있다.

본 논문에서는 이러한 Brake 점성이론의 타당성을 설명하고 점성계산에 필요한 파라미터를 줄일 수 있는 방법을 제시하고자 한다.

이론

Mean free path개념을 사용한 분자운동론은 기체의 전달 현상을 설명하는데 유용하다. 이 이론에 의하면 강체(hard sphere) 기체의 점성은 다음과 같다.

[eqn: eta = { 1} over {3 }nmv lambda]                                         (1)

여기서 □는 평균자유행로(mean free path)이고 n은 입자 수밀도이다. 기체에서 평균속도 v 는 [eqn: SQRT { T}]에 비례하고 다른 물리량, 질량 m과 mean free path □는 온도에 무관하다. 따라서 점성은 [eqn: SQRT { T}]에 비례하는 온도의존성을 보인다. 여기에서 우리는 식 (1)이 Newton의 경험적인 실험식에서 직접 유도된다는 것이므로 유체점성의 실체를 제대로 파악하여 mean free path를 적절히 고려해주면 위 식(1)은 액체나 고체에도 적용될 수 있음을 알 수 있다.

점성계수의 차원분석을 하면, 일차적으로 점성의 물리적 의미를 이해하는데 매우 유용하며, 점성은 [mass][length]-1[time]-1, [force][time][length]-2 또는[pressure] [time]등으로 분석할 수 있다. 점성을 표기하는 Poise단위는 유체 흐름의 수직 방향으로의 단위 속도기울기를 유지하는데 필요로 하는 단위 면적당 힘으로 정의할 수 있으며, 이러한 역학적인 개념은 점성의 본성을 이해하는데 어렵게 한다. 따라서 우리는 유체의 점성을 [pressure][time]의 차원을 갖는 양으로 분석하고 분자론적으로 압력과 시간의 차원을 갖는 각각의 양을 열역학적으로 정의하여 점성을 해석하고자 한다.

따라서 식(1)을 다음과 같이 압력과 충돌수로서 표현할 수 있다.

[eqn: eta =P / z]                                                (2)

여기서 P는 강체 분자의 압력이다.[eqn: P= { 1} over {3 }mn v^{2}]            (3)

즉 분자간 인력이 없는 강체 기체의 점성은 단위충돌당 단위면적에 작용하는 힘(제동력)이라 할 수 있다. 이때 식(3)에서의 압력은 kinetic pressure, PK, 또는 thermal pressure라고 부른다.

점성현상은 유체에 전단응력(shear stress)이 작용할 때 유체내부에서 유체의 흐름을 방해하는 반작용의 결과로 나타나는 것으로, 이것은 유체내부의 내부마찰(internal friction)의 척도이다. 이러한 점성은 입자의 충돌에 의한 molecular momentum transfer나 입자간 인력에 의한 cohesive force로서 나타나게 된다. 따라서 식 (2)에서 표현되는 압력은 유체내부에서 분자들이 작용하는 압력이 아닌, 유체 밖에서 관측되는 압력이므로 이 부분이 올바르게 이해되어야 한다.

Thermal pressure와 viscosity는 둘다 molecular momentum transfer의 결과로 나타나는 현상이며, 그 차이는 momentum transfer의 방향이 유체의 흐름 방향과 같은가 수직방향인가 그리고 가역적 과정인가 relaxation time을 갖는 비가역적 과정이냐의 차이만 있다. Viscosity와 thermal pressure와의 유사성은 일찍이 많은 사람들에 의해 제시되었으며 Boyd는 viscosity ratio의 관계식, [eqn: eta / eta _{1}=P_{K}/P_{i}](여기서 Pi는 ideal gas pressure)이 질소에 대해서 잘 성립함을 보였다. Modified Enskog theory가 dense gas 영역에서 잘 맞는 이유가 여기에 있다. 또한 최근 Zhao Suoqi는 평형정상상태(equilibrium stationary state)에서 entropy production과 entropy flow의 균형식으로부터 점성식을 구하였는데, 점성계수는 (∂S/∂□)에 비례하며, 그 비례상수는 온도의 함수로 되어있음을 밝혔다.     분자간의 거리가 가까워지고 분자상호간의 인력이 작용함에 따라 점성은 증가하는 것으로 알려져 있다. 따라서 real gas 나 dense gas 또는 liquid의 경우 인력이 증가함에 따라 증가되는 점성을 □I라 하고 이 경우 점성은 다음과 같이 놓을 수 있다.

[eqn: eta = eta _{K}+ eta _{I}]                                                (4)

여기서 □K는 단위 충돌당 kinetic motion의 형태로 전달되는 momentum 전달이며 식(2)에 해당한다. 또한 □I는 dense gas나 liquid의 점성 mechanism에서 중요하게 여겨지는 인력으로 인한 제동력의 증가항이며 이 값은 유체의 인력의 척도인 internal pressure에 비례한다고 가정한다.

따라서 유체의 점성식은 다음과 같다.

[eqn: eta = (P _{K}+ P_{I})/z].                                          (5)

즉 유체의 점성은 단위 충돌당 유체분자의 충돌과 인력의 결과로 나타나는 제동력의 합이다. 이것은 마치 자동차 brake의 제동력이 실린더의 유압과 바퀴접촉되는 횟수에 동시에 비례하는 것과 유사하므로 위 식을 점성에 관한 Brake model이라고 하겠다.

Kinetic pressure와 internal pressure는 다음과 같이 정의한다.

[eqn: P_{K}=T( PARTIAL P/ PARTIAL T)_{V}=T { alpha }_{ P}/ beta _{T}]                              (6)

[eqn: P_{I}=( PARTIAL E/ PARTIAL V)_{T}=T { alpha }_{ P}/ beta _{T} -P]                             (7)

여기서 □P는 등압 열팽창계수이고 □T는 등온압축률이다.

식(6)-(7)을 식(5)에 넣으면 Brake model의 점성식은 다음과 같다.

[eqn: eta = (P _{K}+ P_{I})/z=(2P _{K}- P)/z=(2T alpha_{P}/ beta _{T}-P )( lambda /c)]        (8)

위 점성식에서 mean free path와 음속은 유체속을 돌아 다니는 포논의 mean free path와 속도로 가정하면 다음과 같다.

[eqn: lambda =1/( pi d^{2}n_{ph})]                                           (9)

[eqn: c=(V□/M□_{T})^{1/2}] .                                     (10)

식 (9)와 식(10)을 사용하여 Brake model의 점성식은 다음과 같다.

[eqn: eta = (2T alpha_{P}/ beta _{T}-P )=(2T alpha_{P}/ beta _{T}-P )/{(V gamma /M beta _{T})^{1/2} pi d^{2}n_{ph} }]    (11)

점성식 (8)을 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있다.

[eqn: eta = (P _{K}+ P_{I})/z=P _{K}(1+ { P_{I}} over {P _{K} } )( lambda /c)]                         (12)

위 식에서 PK와 음파속도의 비는 kinetic pressure와 sound velocity의 열역학 정의 그리고 다음의 관계식

[eqn: { C_{P}} over {C_{V} }-1= { TV alpha_{P}^{2} } over {C_{V} beta _{T} } = { MTc^{2}alpha_{P}^{2}} over {C_{P} }]                           (13)

을 사용하여 다음과 같이 CP, CV의 항으로 표현할 수 있다.

[eqn: {P_{K} over c}= { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2}]                        (14)

따라서 위 점성식을 다시쓰면 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta = { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} LEFT ( 1+ { P_{I}} over {P_{K} } RIGHT ) pi d^{2} n_{ph}]            (15)

위 식(15)는 기존의 Brake 점성이론을 간단화시켜 표현한 점성식이다.

위 식은 액체영역이나 dense gas 영역에서는 P<<PK 이고 PI□PK 이므로 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta _{liquid}= { 2(MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} CDOT pi d^{2}n_{ph}]               (16)

또한 분자간 인력이 작은 기체 영역에서는 internal pressure의 기여도가 매우 작기 때문에 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

[eqn: eta _{gas}= { (MT)^{1/2}} over {V } LEFT [ C_{V}(1-1/ gamma ) RIGHT ]^{1/2} CDOT pi d^{2}n_{ph}]                 (17)

따라서 어떤 온도에서의 부피와 열용량 CP, CV를 알면 그 온도의 점성을 기체나 액체상태에 관계없이 한 식으로 계산할 수 있으며, 압력의 기여도에 따라 약산한 식 (16)과 식(17)식으로도 계산할 수 있다.  식(16)과 식(17)의 특이한 점은 이 두 식이 같은 형태를 갖으며 차이는 압력효과에 따라 각각 2와 1의 인자만 차이가 있다는 점이다. 따라서 기본적으로 기체와 액체의 점성은 van der Waals가 제안한 것처럼 기체와 액체는 연속적인 상태이므로 같은 mechanism으로 이해할 수 있다는 것을 알 수 있다.

본 연구는 교육부 기초과학연구소 학술조성연구비 (BSRI97-3404)에 의하여 연구되었으며 이에 감사드립니다.

토론

본 논문에서 Brake 점성이론의 타당성을 설명하고 점성계산에 필요한 파라미터를 줄일 수 있는 방법을 제시하였다. Brake 점성이론으로부터 각각 기체와 액체에 대한 간단화된 형태로 점성식을 이끌어낼 수 있었으며 이 형태는 간단한 열역학 변수, 부피와 Cv, Cp만으로 구할 수 있었다.