수평 다공성 매질층에서의 열전달 상관관계

김민찬, 윤도영+, 최창균*

제주대학교 화학공학과, 광운대학교 화학공학과+, 서울대학교 화학공학과*

Heat Transfer Correlations in Horizontal Porous Media

M.C. Kim, D.Y. Yoon+ and C.K. Choi*

Dept. Chem. Eng., Cheju National Univ., Dept. Chem. Eng., Kwangwoon Univ.+ Dept. Chem. Eng., Seoul National Univ.*

서론

자연대류는 중력장하에서 온도 또는 농도차에 의하여 유발되는 부력 및 표면장력의 변화가 점성 및 확산력을 극복할 때 발생한다. 다공성 매질층에서의 자연대류는 충전탑에서의 물질전달, 농산물 저장계, 지하에서의 오염물질의 이동, 원자로의 냉각등과 밀접한 관련이 있다. 따라서 자연대류의 발생에 의한 전달 특성의 변화는 공정의 설계 및 제어에서 중요한 역할을 한다.

다공성 매질층에 포화된 유체의 유동 지배방정식은 추진력의 크기가 커짐에 따라, Darcy 방정식에서 Forchheimer 방정식으로 전이되어진다[1].  일반적으로 자연대류의 발생은 부력에 의한 추진력이 큰 경우이며 이에 대한 전달상관식의 설정은 중요한 의미를 갖고 있다.  균질 유체층에서의 열전달 상관관계는 Long [2] 과 Cheung [3]에 의하여 체계적으로 연구되었다. 최근에 Arpaci [4]는 난류의 micro-scale을 고려하여 새로운 상관관계식을 유도하였다. 다공성 매질층에 대해서는 Yoon [5]이 Long과 Cheung의 결과를 확장하여 전달상관식을 유도하였다. Yoon의 결과에 의하면 Darcy-Rayleigh 수가 매우 큰 경우에 다공성 매질층의 Prandtl수 [eqn: P r_p]에 따라 Nusselt수가 Darcy-Rayleigh수의 1승에 비례하는 Darcy 영역에서 1/2승에 비례하는 Forchheimer 영역으로 전이한다고 하였다.  이는 크기 위수 해석을 통하여 다공성 매질층의 Prandtl수와 Darcy-Rayleigh 수의 상대적 크기에 따라 Darcy 영역에서 Forchheimer 영역으로 전이할 것으로 제안한 Bejan[6] 의 결과를 구체적인 모델식으로서 제시한 것이다.  한편 Yoon 등[7]은 Cheung 의 모델에 대하여, 점성저항층을 무시한 다공성 매질층에서의 전달상관식을 새로이 유도하여 보다 구체적인 전달상관식을 제시한 바 있다.

본 연구에서는 최근에 제안된 Arpaci의 micro-scale 이론을 다공성 매질층으로 확장하여 새로운 전달 상관식을 유도하고 기존의 해석적 결과 및 실험적 결과와 비교하고자 한다.

전달 상관식

1. Darcy 모델

최근 Arpaci [4]는 난류의 micro-scale을 고려하여 균질 유체층에서의 새로운 전달 상관식을 유도하였다. 여기서는 Arpaci의 해석을 Darcy 법칙이 적용되는 다공성 매질층으로 확장하려 한다. Arpaci의 해석에 의하면 속도 요동의 평균 운동에너지의 수지식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: P_beta ~sim~ P_i ~+~ ( - epsilon )]

여기서 [eqn: P_beta]는 부력 생성항, [eqn: P_i]는 관성 생성항, [eqn: epsilon]은 점성 소산항이다. Darcy 모델에는 관성항이 없으므로 [eqn: P_i]는 무시된다. 따라서 Darcy 영역에서의 속도 요동의 평균 운동에너지 수지식과 엔트로피 수지식은 각각 다음과 같이 된다.

[eqn: P_beta ~sim~ ( - epsilon )],   [eqn: P_theta ~sim~ epsilon_theta]

Arpaci는 부피 평균 점성 소산 속도를 vortex tube에서의 국지 소산 속도 [eqn: nu (u^2 / eta^2 )]와 직경 [eqn: eta]의 vortex tube가 차지하는 부피 분율 [eqn: (eta / lambda )^2]의 곱으로 다음과 같이 나타내었다.

[eqn: epsilon ~sim~ nu { u^2 over eta^2 } left ( eta^2 over lambda^2 right )^2]

여기서 [eqn: lambda]와 [eqn: eta]는 각각 Taylor와 Kolmogrov scale 이다. 다공성 매질층에서 vortex tube에서의 국지 소산 속도를 [eqn: nu ( u^2 / K )]로 가정하면 다음과 같은 관계를 얻는다.

[eqn: nu { u^2 over K } left ( eta^2 over lambda^2 right )^2 ~sim~ P_beta]

또한 엔트로피 수지식으로 부터 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[eqn: u { theta^2 over l } ~sim~ alpha { theta^2 over lambda_theta^2 }]

여기서 [eqn: u]와 [eqn: theta]는 속도와 온도 요동의 rms 값이고, [eqn: l]은 integral scale이고, 난류는 isotropic 이라 가정하였다. 난류 상태에서 속도 경계층 깊이와 온도 경계층 깊이를 같다고 가정하고, [eqn: lambda]와 [eqn: eta]를 [eqn: lambda_theta]와 [eqn: eta_theta]로 대치하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[eqn: lambda_theta ~sim~ l^{1/3} eta_theta^{1/3} left ( {alpha^2 nu } over {P_beta K} right )^{1/6}]

이때[eqn: l]과 [eqn: lambda_theta]가 각기 다른 scale이지만 [eqn: eta_theta]와 같다고 가정하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[eqn: eta_theta^{1/3} ~sim~ left ( {alpha^2 nu } over {P_beta K } right )^{1/6}]

위의 두식으로 부터 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

[eqn: left ( eta_theta over lambda_theta right )^2 `=` lambda_theta over l]

Arpaci의 모델에 의하면, 부력 생성항 [eqn: P_beta] 과 Nusselt 수는 다음과 같이 나타낸다.

[eqn: P_beta ~sim~ g alpha beta theta / eta_theta],   [eqn: N u ~sim~ { l/ eta_theta} over { 1 - ( l/eta_theta ) ( l/ lambda_theta )^-2 }]

따라서, 위의 식들을 정리하면 다음과 같은 결과가 도출된다.

[eqn: eta_theta ~sim~ l left ( {alpha nu } over {K g beta theta} right ) ~sim~ l Ra sub D sup -1]

여기서, 온도 요동의 rms 값인 [eqn: theta]가 다공성 매질층의 온도차 [eqn: Delta T]에 비례한다고 가정되어 있다.  위의 결과들을 종합하면 다음과 같은 전달 상관식이 도출된다.

[eqn: N u = { C_1 Ra_D } over { 1 - C_2 Ra_D^{-1/3} }]

위의 식은 Cheung의 모델을 바탕으로 Yoon [5]이 유도한 다음의 전달상관식과 유사하다.

[eqn: N u = { C_1 Ra_D } over { [ 1 - C_2 ( N u Ra_D )^{-1/6} ]^{2} }]

2. Forchheimer 모델

외력항이 커지게 되면 유동 특성은 관성항을 무시한 Darcy 모델에서 벗어나게 된다. 이러한 경우를 해석하기 위하여 관성항을 포함하는 Forchheimer 모델이 제안되었다. Arpaci는 크기가 [eqn: lambda]인 eddy에서 국지 관성 생성항을 [eqn: u^3 / lambda]로 부피 평균 관성 생성항[eqn: P_i]를 다음과 같이 나타내었다.

[eqn: P_i ~sim~ u^3 over lambda left ( lambda over l right )]

다공질 매질층에서는 국지 관성 생성항이 [eqn: b u^3]이므로 부피 평균 관성 생성항을 고려한 수지식은 다음과 같이 된다.

[eqn: nu { u^2 over K } left ( eta^2 over lambda^2 right )^2 ~+~ b u^3 lambda over l ~sim~ P_beta]

Darcy 모델에서와 마찬가지의 과정을 거치면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

[eqn: left ( eta over l right )^{1/3} ~sim~ left { eta over l ~+~ P r_p^{-1} right }^{1/6} Ra_D^{-1/6}]

[eqn: left ( lambda_theta over l right )^3 ~sim~ {eta_theta^2} over {l^2} { left { eta_theta / l + P r_p^-1 ( l / eta_theta ) (lambda_theta / l ) right}^1/2 } over { left { (eta_theta / l) + P r_p^-1 right }^{1/2} }]

위의 결과를 이용하여 다음과 같은 전달 상관식을 얻을 수 있다.

[eqn: N u `=` { l/ eta_theta } over { 1 - ( l /eta_theta ) ( l / lambda_theta ) ^{-2} }]

[eqn: eta over l ~=~ A left { eta over l ~+~ B ` P r_p^{-1} right }^{1/2} Ra_D^{-1/2}],[eqn: left ( lambda_theta over l right )^2 ~=~ C left ( {eta_theta } over {l} right )^{4/3} { left { eta_theta / l + P r_p^-1 ( l / eta_theta ) (lambda_theta / l ) right}^1/3 } over { left { (eta_theta / l) + D P r_p^-1 right }^{1/3} }]

Yoon 등[7]은 외력이 큰 경우에 적합한 Forchheimer 지배방정식에 대하여 다음과 같은 결과를 얻었다.

[eqn: N u ~=~ { Ra_D^{1/2} } over { [ c_1 (N u Ra_D )^{-1/6} +c_2 P r_p^{-1/3} ( 1 + c_3 (N u Ra_D ) ^{-1/3} ) ]^{3/2} }]

3. 극한의 경우의 비교

여기서 각 모델의 극한의 경우를 살펴보자. 먼저 본 연구의 결과에서 [eqn: Ra_D ~ << ~ P r_p^2]인 경우에는 다음과 같은 결과가 도출된다.

[eqn: eta over l ~=~ A^2 Ra_D^{-1}], [eqn: left ( lambda_theta over l right )^2 ~=~ C cdot A^8/3 Ra_D^{-4/3}]

따라서 위식은 앞의 Darcy 영역과 동일한 결과가 된다. Yoon의 결과는 [eqn: P r_p `->~ infty]의 경우에는[eqn: N u `=` c_3 Ra_D]가 된다. Yoon은 외력이 큰 경우를 가정하고 전달 상관식을 유도하였으므로 Darcy 영역에서의 상관식에서 [eqn: Ra_D]가 큰 경우와 일치하는 결과이다. Bejan은 [eqn: Ra_D `<` P r_p]인 경우에[eqn: N u `=` Ra_D / 40]를 제시하였다.

[eqn: Ra_D ~>>~ P r_p]인 경우에는 다음과 같은 결과가 나온다.

[eqn: eta over l ~=~ A cdot B^1/2 ` ( P r_p Ra_D )^{-1/2}][eqn: left ( lambda_theta over l right )^2 ~=~ C^6/5 cdot D^{-2/5} ( A cdot B^1/2 )^5/6 ( P r_p Ra_D ) ^{-3/5}],

Yoon의 결과는 [eqn: P r_p `->` 0]인 경우에 [eqn: N u `=` c_4 ( P r_p Ra_D )^1/2]의 결과를 얻는다. Bejan은 [eqn: Ra_D `>` P r_p]인 경우에[eqn: N u `sim` ( P r_p Ra_D )^1/2]의 결과를 제시하였다.

결론

본 연구에서 유도된 다공성 매질층에 대한 전달 상관식은 Darcy 영역 및 Forchheimer 영역을 동시에 만족하는 결과를 준다. 또한 기존의 결과를 합리적으로 설명하여 준다.

참고문헌

1. Cheng, P., Natural Convection in a Porous Medium, Natural Convection:

Fundamentals and Applications, Hemisphere, 475 (1985).

2. Long, R.R., J. Fluid Mech., 73, 445 (1976).

3. Cheung, F.B., J. Fluid Mech., 97, 734 (1980).

4. Arpaci, V.S., Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf., 1, 129 (1994).

5. Yoon, D.Y., Seoul National University Ph.D. thesis (1990).

6. Bejan, A., 2nd ASME-JSME joint Thermal Engieering Conf. (1987).

7. Song, H.O., Yoon, D.Y and Cho, K.T., Theories and Applications of Chem.

Eng., 1(1), 785 (1995).