현탁액의 관흐름에서 입자이동 모델

김종엽

충남대학교 고분자공학과

Particle migration model for the pipe flow of suspensions

Chongyoup Kim

Dept. of Polymer Engineering, Chungnam Natinal University

서    론

현탁액내에서 입자이동에 관한 연구는 학문적 뿐만 아니라 실용적으로도 많은 관심의 대상이 되어 왔다. 부력의 효과가 무시되는 입자가 분산된 아주 묽은 현탁액의 경우 Poiseuille 유동장에서는 Segre and Silberberg효과라고 알려진 바와 같이 입자가 중심으로부터 반경의 0.6배에 해당하는 곳에 위치하게 되며 이러한 입자 이동은 관성에 의하여 나타나게 된다. 반면 입자의 농도가 아주 진하여 지면(예로서 40% 이상) 입자가 관 중심 쪽으로 모이는 것으로 알려져 있다. Koh 등(1994)은 10 - 30%의 입자농도를 갖는 현탁액을 대상으로 실험적인 연구를 수행하여 입자가 관의 중앙으로 모이는 것을 보고하였다. 그러나 Koh 등의 실험뿐만 아니라 그 이전에 보고된 실험들이 모두 입구효과(entrance effect)가 적절히 제거되지 못한 상태에서의 실험된 것임이 Nott and Brady(1994)에 의하여 제기 되었고, 또한 대부분의 실험이 유속이 비교적 작은 경우에만 국한되어 있었다. Kim 등(1996)은 입구효과의 문제가 없도록 충분히 긴 관을 사용하여 10 - 30%의 입자농도를 갖는 현탁액의 경우 유속에따라 농도분포의 형태가 달라짐을 보고하였다. 본 연구에서는 이러한 농도범위의 현탁액이 평행평판 사이를 층류로 흐를 때 입자이동에 의한 불균일한 농도분포형성에 관하여 수학적인 모델을 설정한 후 해를 구하였고 이를 Kim 등(1996)이 MRI (magnetic resonance imaging)를 이용하여 실험적으로 구한 결과와 비교검토하였다. 모델과 실험결과의 비교에 있어서 기하학적인 구조에 차이가 있으므로 정량적인 비교는 불가능 하지만 정성적인 비교는 가능할 것으로 생각된다. 특히 관성에 의한 이동에 있어서는 두 구조간에 입자이동 위치에 차이가 전혀 없으므로 이러한 비교도 의미가 있을 것으로 생각된다.

모델의 설정에는 Ho and Leal(1974)의 관성에 의한 입자이동식과 Phillips 등(1992)의 입자상호작용에 의한 입자이동모델을 이용하였다. Phillips 등의 모델은 모델내의 매개변수값에 따라 관 중앙에서의 특이점(singular point)을 갖는 문제가 있지만(Phan-Thien 등, 1996)  실험적인 결과를 정성적으로 해석하는 데에는 유용함을 알수 있었다.

입자이동 모델

관성과 입자입자상호작용에 의한 확산으로 유도되는 농도분포를 예측하기 위하여 다음과 같은 모델을 설정한다. Poiseuille 유동에서 유체의 관성에 의한 입자속(flux) [eqn: N_I]는 다음과 같다:

[eqn: N_I~~ =~ rho phi U_IM ~~=~~ rho `phi` F_L^* ``/`(6pi mu_0 a)]	(1)

여기서 [eqn: rho]는 액체(고체입자)의 밀도, [eqn: phi]는 입자농도, [eqn: U_IM]은 관성에 의하여 입자가 유선에 수직방향으로 이동하는 속도,  [eqn: mu_0]는 액체의 점도,  [eqn: a]는 입자의 반경을 나타내며  [eqn: F_L^*]는 유선에 수직방향으로 입자에 작용되는 힘으로 다음과 같다(Ho and Leal, 1974):

[eqn: F_L^* (s) ~~= ~~rho`` V_m^*2 ``a^2 ``kappa^2 ``G(s)]	(2)

윗식에서 [eqn: kappa]는 입자반경과 평판사이의 거리([eqn: d] )의 비, [eqn: s =z^* /d] 는 아랫면으로 부터의 무차원 좌표,  [eqn: G(s)]는 Ho and Leal(1974)에 주어져 있다. 입자입자 상호작용에 의한 flux([eqn: N_PP])는 Phillips 등(1994)의 모델을 따른다고 가정한다.

[eqn: N_PP = N_c + N_eta]	(3)

[eqn: N_c = - rho K_c a^2 ( phi^2 nabla dot gamma + phi dot gamma nabla phi )]	(5)

[eqn: N_eta = -rho K_eta dot gamma phi^2 left (a^2 over eta right ) left({{d eta} over {d phi}}right ) nabla phi]	(6)

윗 식에서  [eqn: K_c] 와 [eqn: K_eta]는 상수로서 각각 0.41과 0.61로 알려져 있으며,  [eqn: dot gamma]는 전단율,   [eqn: eta]는 다음과 같이 농도의 함수로 표시되는 현탁액의 점도이다.

[eqn: eta = mu_0 mu(phi) = mu_0 left ( 1 - { phi over phi_m} right ) ^-alpha , ~~~ alpha = 1.82]	(7)

정상상태에서는 관성에 의한 flux와 입자상호작용에 의한 flux의 합이 다음과 같은 관계를 갖는다.

[eqn: d over {ds} ( N_IM + N_PP ) = 0]	(8)

한편 운동량 보존식으로 부터

[eqn: d over {dz^*} (eta dot gamma) = {Delta p} over L]	(9)

를 얻는다. 식 (9)에서 [eqn: Delta p/L]은 단위길이당의 압력손실을 나타낸다. 식 (3)과 (9)를 길이에 대하여는 평판간의 거리를, 속도에 대하여는 최대속도를 기준변수로 하여 무차원화 하여 정리한 후 수치해를 구한다. 이때 양 벽면에서의 flux가 0이라는 조건으로 부터

[eqn: N_IM + N_PP = 0]	(10)

임을 알수 있다. 따라서 다음과 같은 입자농도에 관한 방정식을 얻는다:

[eqn: phi left { {Re_p over { 6 pi}} G(s) - 2K_c {C phi} over mu(phi) - { C over mu(phi)} (2s-1) left [ {{alpha phi} over{phi_m - phi}} (K_eta -K_c) + K_c right ] {{d phi} over {ds}} right } =0]     (11)

식 (11) 에서  [eqn: Re_p]는 입자반경을 기준으로한 입자 Reynolds 수, [eqn: C= ({Delta p} / L) (d^2 /mu_0 V_m^* )] = -2로 주어지는 상수이다. 식 (11)에서 벽면에서의 입자 농도가 0이므로 자동 만족되며, 중앙에서는 [eqn: 2s -1 = 0]이므로 중앙에서 특이점(singular point)을 갖고 있기 때문에 한쪽끝에서부터 적분하는 것이 불가능하다. 이러한 문제를 해결하기 위하여는 벽으로 부터 떨어진 곳에서 농도의 한 값을 선택하여 벽쪽 및 중앙으로 적분하였다. 이 경우 입자 평균농도는 결과로 얻어진 농도분포를 적분하면 얻을 수 있다. 속도 분포는 [eqn: phi]가 결정되면 식 (9)로 부터 얻을 수 있다.

결과 및 토론

그림 1-4에는 입자농도가 20%경우의 농도분포와 속도 분포를 도시하였다. Reynolds 수가 작은 경우에는(그림 1) 입자가 중앙 ([eqn: s=0.5])으로 모이며, 이때 중앙에서의 농도는 최대충진율 0.68에 접근하게 된다. 이는 물론 앞에서도 지적한바와 같이 Phillips 등의 모델이 갖는 문제점에 기인한다. 속도분포는 점선으로 표시된 Poiseuille 유동의 포물선형태에서 약간 납작하여진 모양을 갖는것을 볼 수 있다(그림 2). Reynolds 수가 큰 경우에는(그림 3) 농도분포가 전혀 다른 형태를 나타낸다. 관의 중앙뿐만 아니라 관의 중앙과 벽의 중간 위치에도 입자농도가 극대값을 갖는 것을 볼 수 있다. 이는 관성력이 입자를 중앙과 벽사이의 0.6의 위치에 모이게 하는 역할과 입자입자상호작용 입자를 전단율이 작은 중앙으로 모이게하는 역할이 모두 중요하게 되기 때문이다. 속도분포는 Reynolds 수가 작은 경우에 비하여 더 납작해진 것을 볼 수 있으며 특히 중앙부근에서는 포물선에 근접하다가 대략[eqn: s=3/8]의 위치에서 부터 포물선과 벗어나는 것을 볼 수 있다(그림 4). 즉 다단계의 변화형태를 갖고 있다.

모델계산 결과는 실험적인 결과가 없으므로 직접 비교할 수는 없으나 Kim 등(1996)이 관 내에서의 Poiseuille 유동에 관한 실험결과와 정성적인 비교는 할 수 있을 것이다. 그림 5,6에는 Reynolds 수가 작을 때와 클 때 MRI를 이용하여 측정한 농도분포를 도시하였다. Reynolds 수가 작은 그림 5에서 검은 부분이 진할수록 입자가 많은 것을 나타내며 이 때 입자는 중앙에 모이는 것을 볼 수 있다. 속도분포도 포물선에 비하여 납작해지는 것을 볼 수 있었다(속도분포는 지면 관계상 여기서는 생략). Reynolds 수가 큰 그림 6의 경우에는 입자가 중앙뿐만 아니라 중앙과 벽의 가운데에도 모이며, 이때 입자농도는 중앙에 비하여 약간 적은 것을 볼 수 있다. 이러한 두 결과는 모델계산결과와 일치하는 것이다. 속도 분포도 포물선에 비하여 납작할 뿐만 아니라 중앙부근에서 1/4정도 떨어진 곳에서 기울기가 바뀌는 것도 볼 수 있었다.

두가지 Reynolds 수의 경우에 대한 평판사이의 Poiseuille 유동장에서의 입자이동 모델과 원형관에서의 실험결과를 비교하여볼 때 정성적으로는 잘 일치함을 볼 수 있다. Poiseuille 유동장 내에서의 입자 이동과 농도분포는 관성력과 입자상호작용에 의하여 결정되며, 이때 입자간의 상호작용은 Phillips 등이 제시한 두 개의 입자간의 비가역적인 입자의 충돌 및 입자이동에 의하여 생기는 점도기울기에 의한 이동으로 표시될 수 있음을 알 수 있다.

인 용 문 헌

Han, M., M. Kim, C. Kim and S. Lee, 1996, 화학공학의 이론과응용(Proc. KIChE

Spring Meeting) Vol. 2, No. 1, 889-892.

Ho, B.P. and L.G. Leal, 1974, J. Fluid Mech., 65, 365-400.

Koh, C.J., P. Hookam and L.G. Leal, 1994, J. Fluid Mech., 266, 1-32.

Nott, P.B. and J. Brady, 1994, J. Fluid Mech., 275, 157-199.

Phan-Thien, N., Z. Fang and A.L. Graham, 1996, Rheol. Acta, 35, 69-75.

Phillips, R.J., R.C. Armstrong, R.A. Brown, A.L. Graham and J.R. Abbot, 1992,

Phys. Fluids A, 4, 30-40.

감     사

본  연구를  특정기초 연구로 지원하여주신 한국과학재단에 감사드립니다(94- 0502-05-01-3).

Fig 1. Concentration profile,[eqn: Re_p =0.04]	Fig 2. Velocity profile, [eqn: Re_p =0.04]

solid: model, dashed :parabola

Fig 3. Concentration profile,[eqn: Re_p =0.8]	Fig 4. Velocity profile, [eqn: Re_p =0.8]

solid: model, dashed :parabola

Fig. 5. MRI image of concntration	Fig. 6. MRI image of concntration

for pipe flow[eqn: Re_p =0.04]	for pipe flow[eqn: Re_p =0.21]