모델예측제어를 이용한 압출기의 온도 제어

박지연, 이광순

서강대학교 화학공학과

Extruder Temperature Control using MPC

Jee Yeon Park, Kwang Soon Lee,

Department of Chemical Engineering, Sogang University

서론

압출은 고분자 가공 중에 대표적인 공정으로써 압출기내의 온도는 압출공정 후에 얻어지는 고분자의 특성과 물성치에 영향을 미치므로 일관성 있는 좋은 품질의 고분자 가공물의 생산을 위해서는 압출기의 온도 제어는 매우 중요한 일이라 할 수 있다. 그러나, 일반적으로는 압출기의 온도제어를 위해 여러 개의 SISO PID제어기를 이용하고 있는데, 이 경우에 있어서 바렐내부의 열전도에 따른 간섭, 고분자가 용융되면서 필요한 열 및 고분자가 압출기를 통과하면서 발생하는 마찰열등의 여러 요인에 의하여 각각의 온도 센서 사이에는 간섭효과가 존재하고 이로 인해 각각의 온도에 대해 단지 단일 루프 제어만을 행하여 좋은 제어 성능을 기대하기는 어렵다.

본 연구에서는 이처럼 입력의 수가 많고, 특별한 간섭효과가 있는 압출기에 대해 위와 같은 문제점을 해소하고 우수한 제어성능을 얻기 위해 모델 예측 제어를 적용하였다.

본론

공정 모델링

실제 압출 공정은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

그림 1 압출 공정의 개략도

여기서는 공정 모델링을 위해 몇 가지 가정을 하였다. 바렐은 전부 9개의 가열/냉각을 갖고 있고, 온도는 바렐에 꽂혀있는 온도 센서에 의해 측정되며, 온도 센서의 위치는 각각의 가열/냉각 구간 중앙에 한지점이다. 따라서 온도 센서는 실제 고분자의 온도를 측정하는 것이 아니라 고분자와 가까운 위치에 있는 바렐내부의 온도를 측정한다.

공정 모델링을 위하여 바렐부분의 에너지 수지식과 바렐내부의 고분자에 대한 질량과 에너지 수지식을 세워야 한다.

바렐부분의 에너지 수지식은 다음과 같다.

[eqn: {partial T} over {partial t} = alpha LEFT [ {partial^2 T} over {partial z^2} + partial over {partial r} left ( r {partial T} over {partial r}right ) RIGHT ]]

[eqn: &at ~~z=0,~ z=L,~~~{partial T} over {partial z} =0# &at ~~r=R_1 , ~~~k {partial T} over {partial r} = h (T-T_p )# &at ~~r=R_2 , ~~~k {partial T} over {partial r} = q(t,z)]

여기에서 [eqn: T]는 바렐의 온도, [eqn: T_p]는 고분자의 온도, [eqn: L]은 바렐의 길이, [eqn: R_1]은 바렐의 중심에서 바렐 내벽까지의 길이, [eqn: R_2]는 바렐 중심에서 바렐의 외벽까지의 길이, [eqn: q(t,z)]는 외부에서 가해준 가열/제열을 의미한다.

바렐내부의 고분자에 대한 질량 수지식 및 에너지 수지식은 다음과 같다.

질량 수지식 : [eqn: rho v W H = constnat]

에너지 수지식 : [eqn: {partial T_p } over {partial t} = -v tan theta {partial T_p} over {partial z} + h over {H rho C_p} ( T(R_1 ) -T_p ) + {dot q_f } over {HW rho C_p }]

[eqn: at ~~z=0,~~~ T=T_{pI}]

고형수지이송부 : [eqn: dot q_f =0]

용융부와 용융부수송부 : [eqn: dot q_f = {mu(T_p ) W v^2 } over H]

여기에서 [eqn: v]는 [eqn: bar z]축에 대한 고분자의 선속도, [eqn: dot q_f]는 마찰열이다.

그림 2 스크류의 도식도

이 수지식들을 수치해석법으로 풀어서 공정 모델링을 하였다. 바렐부분은 유한 차분법으로 풀었는데, 시간에 대해서는 전방차분법(foward difference)을, 공간에 대해서는 중앙차분법(centered difference)을 이용하였다. 고분자에 대해서는 method of characteristic을 이용하였다. 이 두방법에 대해 연립으로 풀어서 각 온도 센서의 위치에 대한 온도를 구하여 이것을 공정으로 이용하였다.

MPC의 구성

이 공정에서 입력으로 볼 수 있는 것은 바렐 주위에서 가해지는 열(가열/제열)이고, 출력은 바렐에 있는 온도 센서로부터 측정되는 온도이다.

그림 1에서 보여지듯이 압출기의 온도는 온도 센서에 의해 측정된다. 따라서 여기서는 전부 9개의 온도를 측정하여 이 온도를 제어하게 된다. 이런 경우 나타나는 각 온도 센서마다의 간섭을 살펴보면 한 지점의 온도는 그 온도 센서가 위치하는 바로 양옆에서의 열전달에 의해 간섭을 받게 된다. 즉, 어느 한 부분의 입력, 가열량이 변화하면 열전달에 의해 해당하는 부분의 온도뿐만 아니라 그 부분의 양옆의 부분의 온도 또한 변화하게 된다. 단일 루프 제어 시에는 이 간섭효과를 없애주기 위하여 다중입출력공정의 상호간섭을 고려하여 블록선도를 구성하여야 하고 또 이를 제어하기 위해선 단일 루프 제어 후에 연계 제거된 공정의 제어를 해주어야 한다. 압출기처럼 많은 입출력을 가진 경우에는 이 공정의 모델을 다 찾는 것이 어려울 뿐만 아니라 상호간섭항으로 인해 제어기가 구성될 때제어기가 보는 공정이 변화하고 이 공정이 다시 제어기의 함수가 되므로 매우 까다로운 제어문제를 유발시키게 된다. 따라서 본 연구에서는 이런 문제점을 해결하기 위해 MPC를 적용하였다. 우선 9개의 구간을 3구간씩 나누어서 모델인식을 하고 그 각각의 3개의 구간에 대해 unconstrained MPC를 적용하였다.

수치예

1. 공정 모델링

- 초기 온도: 90℃

- 입력: 220s까지는 전부 5000watts

220s 이후에는 4번 입력만 10000watts

- 4번 입력만을 변화시킨 결과 3번과 5번에 영향을 받는 것을 볼 수 있다.  열전달에 의한 간섭현상을 살펴볼 수 있다.

2. 공정 모델 인식

- Subspace Identification을 이용하여 state-space model 얻어냄.

3. MPC 적용

- 초기온도: 90℃

- 설정치

1,2,3부분: 110℃

4,5,6부분: 140℃

7,8,9부분: 160℃

결론

본 연구에서는 입출력의 개수가 많고 상호간섭이 있는 경우에 효과적인 제어를 위해 모델예측제어를 적용해 보았다. 이 방법은 기존에 PID를 이용하여 단일 루프 제어를 하는 경우보다 나은 제어성능을 가지고 있을 뿐 아니라 상호간섭에 의한 영향까지도 고려할 수 있었다. 모델예측제어가 QP를 풀어야 하기 때문에 많은 시간이 소요되는 것을 고려하여 향후 과제로써 이 경우처럼 특정한 구조를 가지고 상호간섭이 일어나는 경우 계산량 감소를 위하여 특정 구조의 모델예측제어를 생각해 볼 수 있다.

참고문헌

1. J.-F. Agassant, P. Avenas, J.-Ph. Sergent and P.J. Carreau, "Polymer Processing. Principles and Modeling", Oxford University Press, 1991.

2. S.J. Farlow, "Partial Differential Equations for Scientists and Engineers", John Wiely & Sons, Inc., 1982.

3. 김성철 외, "고분자 공학 I", 희중당, 1994.

4. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar and Duncan A. Mellichamp, "Process Dynamics and Control", John Wiely & Sons, Inc., 1989.

5. Chang Dae Han and Kee Yoon Lee, "An Experimental Study on Plasticating Single-Screw Extrusion", Polymer Engineering and Science, vol. 30, No. 24, 1990.