조업 이상을 고려한 중간저장조의 크기 결정

이 종 선,  이 의 수

동국대학교 화학공학과

Intermediate Storage Sizing Considering Operational Interruption

Jong Sun Lee,  Euy Soo Lee

Deparment of Chemical Engineering, Dongguk University

1. 서 론

회분식 공정은 생산 공정 조건들의 변경이 용이한 특징을 가지고 있으므로, 다품종 소량 생산에 적합한 생산 공정이다.  그러나 회분식 공정에 의한 생산 시에는 다수의 변수가 존재하고, 이들의 변동 폭이 큼으로 인하여 이의 흡수를 위한 중간저장조의 역할이 중요하게 된다. 즉 중간저장조는 공정간의 간섭을 배제시키고 공정변수 값의 변동에 따른 영향을 흡수하여 줌으로써 불연속공정의 운용 효율의 증대를 꾀하게 된다.  또한 중간저장조는 규격에서 벗어나는 제품의 생산이나 장치의 이상에 따른 공정 운용의 장애를 최소화 할 수 있게 하여준다.

본 연구에서는 중간저장조를 중심으로 상류와 하류에 각각 하나씩의 장치가 연결 되어있는 1-1 시스템를 대상으로 장기적인 공정운용시 발생될 수 있는 공정변수의 불확실인자를 고려한 중간저장조의 크기 결정 방법에 대하여 조사하였다.

2. 본 론

본 연구의 모델인 1-1 시스템의 공정변수로는 단기적인 불확실인자로써 한 번의 회분식조업에서 생산되는 생산량(Vi), 이송유량(Ui), 제품이 해당 단위공정들에 머무는 시간([eqn: omega]i), 회전시간 중 이송시간이 차지하는 분률(xi) 및 상류와 하류의 이송 개시 시간의 차이(yi) 등이 있다. 장기적인 공정의 운용시 발생될 수 있는 조업 이상으로는 제품 및 공정의 이상을 들 수가 있다. 즉, 공정 조작의 실수나 원료의 이상 등으로 인하여 정상적인 규격 제품이 생산되지 못하였을 경우(batch failure)와 장치의 이상으로 인하여 공정의 운전이 중단된 경우(equipment failure) 등이다. 이 경우 공정변수중 불확실 인자로는 제품 혹은 장치 이상의 빈도(□i) 및 장치이상으로 부터 정상 상태로의 회복시간(di)의 두 가지로 나타낼 수 있다.

이들을 고려한 중간저장조의 크기 해석 방법으로는 변수가 평균값으로 주어지는 경우(deterministic case)과 어떤 확률분포를 가지고 변하는 경우(stochastic case)로 분류할 수 있다.

Deterministic Case

공정 운용중 제품이상이 발생되는 빈도가 평균값으로 주어지는 경우의 중간저장조 크기를 결정하는 모델식은 다음과 같이 주어진다[3].

U1[eqn: >=][eqn: overline {U_2}] 의 경우

[eqn: V_min = overline { U_2 } omega_2 [Z_1 -x_2 (1-kp)-s]-{U_1 omega_1 x_1} over gamma zeta]                            (1)

[eqn: V_max = overline { U_2 } omega_2 [Z_2 -x_2 (kp+ delta )-s]+U_1 omega_1 x_1 (2-x_1 )({1- 1 over gamma}) -{U_1 omega_1 x_1 } over gamma zeta]    (2)

이때  Z1 = min(y', px2),  Z2 = max(y"-p+x2p,0),  s=max(0,x2+y2-1), □: □-k1  이다.

여기서 중간저장조의 크기 V* = Vmax - Vmin 으로 주어지며, 연속 운전을 위한 제품의 초기 저장요구량 V(0) = -Vmin 으로 표현된다.

상기의 결과로부터 공정변수들의 변동이 중간저장조의 크기변화에 주는 영향을 가변성분석을 통하여 예측할 수 있다.

예를 들어, 장치이상의 빈도(□i)가 공정 가동기간 중 n번에 걸쳐 변화될 경우, 누적 변화량은 [eqn: TRIANGLE k_1^n = SUM from { { k}=1} to n TRIANGLE k_1^k] 과 [eqn: k_1^n = k_1 + TRIANGLE k_1^n] 로 표시된다.  이 결과들이 중간저장조의 크기와 초기 저장요구량 (Initial holdup)에 미치는 영향은 다음의 식으로 부터 분석되어질 수 있다.[3]

[eqn: V_n (t) = V_0 (0) + {V_1 TRIANGLE k_1^n} over gamma + SUM from { { i}=1} to 3 INT _{ 0}^{t } Fi( tau -t_i0 ) d tau]                    (3)

[eqn: V_n (0) >= -V_min - {V_1 TRIANGLE k_1^n} over gamma]                                      (4)

Stochastic Case

확률적인 접근방법은 불확실 인자들이 일정한 형태의 확률분포를 가지고 있을 경우 중간저장조의 크기를 구하는 것이다.  이 방법은 선택된 신뢰구간 안에서 연속성을 보장하기 위한 저장조의 설계로 앞서의 경우에 비해 덜 보수적이다.  본 연구에서는 불확실 인자의 확률분포가 정규분포와 로그정규분포로 주어지는 경우에 대한 해석법을 제시한다.

1) 정규분포

장치이상 빈도(□i)가 평균이 □이고 분산이 □로 표시되는 정규분포를 보일 경우, 공정이 연속적으로 조작되기 위한 기대 확률을 Pop라고 하면 문제는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: Pr({ vert X- mu vert} over { sigma } <= eta (Z))=P_op]                                    (5)

표준정규분포표로부터 연속조업을 위한 표준정규확률변수 [eqn: Z_ gammai ={ vert X- mu vert } over { sigma_gammai }]   를 얻을 수 있다.  위 식으로 부터 장치이상빈도의 범위는 [eqn: ( mu -Z_{ gamma i} sigma, { } mu+Z_{ gamma i} sigma)]  으로 표현된다.  이들 결과를 가변성 분석 기법에 적용할 경우, 중간저장조의 크기를 구해낼 수 있다.

2) lognormal 분포

lognormal 분포에서는 공정중에 자연적으로 나타나는 변수 분포의 비대칭을 고려하여 주므로 정규분포에 비하여 보다 현실적인 것으로 판단된다. 변수가 lognormal 분포로 주어질 경우,  다음의 lognormal 변환을 통하여 정규분포로 변환될 수 있으며 이후의 해석법은 정규분포시와 같다.

lognormal 변환 ;

[eqn: Z = ln(X- theta )]  에서 Z가 정규변수 일 때, 변수 X는 lorgnormal 변수 라 한다.  특히 무작위 변수 X의 three-parameter lognormal 분포는 다음과 같이 정의 된다.

[eqn: Z={ln(X- theta )- zeta } over sigma]                                              (6)

위 식으로부터  X의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

[eqn: px(x)=[(x- theta ) SQRT { 2 pi } sigma ]^{-1} exp[-{1 over 2} [{ln(x- theta )- zeta }]^2 / sigma^ 2 ]]  (x>□)           (7)

two-parameter 분포로부터  X의 평균과 분산은 다음과 같다.

[eqn: E(X)= exp[ zeta + sigma^2 /2]]                                           (8)

[eqn: sigma ^2 (X)=exp[2 mu + sigma ^2 ](exp( sigma ^2 ) -1)]                               (9)

정규분포와 같이 표준 lognormal 확률 변수  [eqn: X_ alpha ^'] 을 정의하면,

[eqn: X_ alpha ^' = { X_ alpha -E(X)} over { sigma (X)} ={exp(U_alpha sigma -{1 over 2} sigma ^2 )-1} over {(exp( sigma ^2 ) -1)^{1over2}}]                     (10)

표준 lognormal 분포표을 만들 수 있고 이로부터 정규분포와 같이 신뢰구간을 구할 수 있다[4].

[eqn: E(X)- sigma (X)X_ alpha ^' <= X_ alpha <= E(X)+ sigma (X)X_ alpha ^']                          (11)

3. 예 제

상류 공정의 흐름이 원료의 유입시간 2시간, 반응시간 6시간, 방출시간 1시간를 가진 회분식 공정으로 가정하고, 중간저장조로의 유입후 1.5시간 후 하류 공정으로의 방출을 시작하고, 하류 공정의 흐름은 4시간의 유입시간과 1시간의 공정조작시간을 갖는 반연속식 공정으로 가정하자. 시장 상황이 두 달의 공정조작시간을 필요로 한다. 상류 공정의 초기 세 번째 공정에서 failure 가 발생하고, 매 평균 여덟 번째 공정에서 failure가 발생한다고 가정하고, 마지막으로 상류공정의 이송유량이 1500kg/hr 로 가정하자.  주어진 공정변수의 평균값으로부터 중간저장조의 크기는 식 (1), (2)에 의하여 V*=2589kg, V(0)=938kg이다.

확률분포의 경우

failure의 주기가 평균값의 10%이내에 머무를 확률이 95%인 정규분포를 따른다고 가정할 때, 주기의 변화 범위는 다음과 같다. [eqn: Pr LEFT { vert TRIANGLE gamma_i vert <= 0.1 gamma_i RIGHT} =0.95] 위의 식으로부터 분산을 구하면 □(□i) = 0.408 이다.  가변성 분석으로 최악조건적인 경우를 고려하면 공정 지연이 평균의 10%씩 연속적으로 발생할 경우 [eqn: TRIANGLE k_1^20 = 16] 이고, 식 (3), (4)로부터 V*=4651kg과 V(0)=2063kg이다.  위식의 경우를 lognormal 분포를 적용하면, 식 (10)으로부터 연속적인 공정지연의 경우 [eqn: TRIANGLE k_1^20 = 14]를 얻을 수 있고 식 (3), (4)로부터 V*=4276kg과 V(0)=1687kg이다.

시뮬레이션에 의한 해석

위의 확률적 접근방법의 강건성을 제공하기 위하여 500회의 몬테칼로 시뮬레이션을 시행한 결과 그림 1과 그림 2로부터 누적확률분포 99%이내의 저장조의 크기 V*=3883kg 와 초기 저장량 V(0)=1639kg 으로 주어졌다.  두 달 동안의 공정조업을 할 경우 확률적인 접근방법으로부터 구한 V*=4615kg와 V(0)=2063kg를 가지고 시뮬레이션을 행한 경우 그림 3에서와 같이 확률적 접근 방법의 3배 정도의 공정조작시간을 가져도 95% 정도의 연속적인 조작이 가능함을 볼 수 있다.  이는 위의 연구의 보수적인 특성 때문이다.

4. 결 론

불확실 인자를 고려한 확률적인 접근방법에 의한 중간저장조의 크기결정 방법에 대하여 연구 하였으며, 몬테칼로 시뮬레이션으로 위 연구 결과에 대한 강건성을 입증하였다.  향후 failure의 주기 뿐만 아니라 장치 이상으로 부터의 회복시간을 고려한 중간저장조의 크기결정방법의 제시로부터 1-1system에서 parallel system과 serial system의 분석을 통하여 일반적 회분식공정 해석의 기본 틀을 마련할 수 있을 것이다.

그림 . 시뮬레이션으로 계산된 V*의          누적분포함수

그림 . 시뮬레이션으로 계산된 V(0)의

누적분포함수

그림 . 시간에 따른 공정의 연속될 기대확률

5. 감 사

본 연구는 95년도 한국과학재단의 연구비 지원(과제번호:951-1107-013-2)에 의해 수행된 연구 결과임.

6. 참고문헌

1. I. A. Karimi and G. V. Reklaitis, "Deterministic Variability Analysis for             Intermediate Storage in Noncontinuous Processes, Part Ⅰ: Allowability              Conditions", AIChE Journal, Vol.31, No.9 pp.1516, 1985

2. I. A. Karimi and G. V. Reklaitis, "Deterministic Variability Analysis for             Intermediate Storage in Noncontinuous Processes, Part Ⅱ: Storage Sizing for         Serial Systems", AIChE Journal, Vol.31, No.9 pp.1528, 1985

3. Lee, E. S. and G. V. Reklaitis, "Intermediate Storage and Availability of Batch       Processes under Batch failure", Computers & Chem. Eng., Vol.13, No.4/5,           pp.419-498, 1989

4. Johnson, N. L., and Kotz S., "Continuous Univariate Distribution-I", Houghton        Mifflin Company, pp. 112-118, 1975